カテゴリー「数学」の42件の記事

PHP研究所 [ABC予想入門] の誤植と微妙箇所

以前 (出版当時) に卒読した [ABC予想入門] (発行:株式会社PHP研究所/2013年4月1日。著者:黒川信重・小川信也) の誤植を纏めておく。瑕疵は後半 (第4章以降) に集中しており、表式上のケアレスミスばかりである。

内容は、「ABC予想」や関連する話題 (ファルマー予想・リーマン予想・ラマヌジャン予想・佐藤テイト予想・スピロ予想・カタラン予想。そして、「予想」の「整数版」と「多項式版」) に亘っており、充分面白かった。

[ABC予想入門] 正誤表
第4章第1節 p.124 第4行
a\left(\frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}\right) = bc\left(\frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}\right) a\left(\frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}\right) = b\left(\frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}\right)
備考:右辺の因子 $c$ は不要。
第4章第1節 p.125 第1行-第2行
\begin{align*}
 \frac{a}{b} &= \frac{\displaystyle\frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}}{\displaystyle\frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}}\\
&= \frac{\displaystyle\rad{abc}\left(\frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}\right)}{\displaystyle\rad{abc}\left(\frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}\right)}
\end{align*} \begin{align*}
 \frac{a}{b} &= \frac{\displaystyle\frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}}{\displaystyle\frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}}\\
&= \frac{\displaystyle\rad{abc}\left(\frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}\right)}{\displaystyle\rad{abc}\left(\frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}\right)}
\end{align*}
備考:中辺と右辺とで、分子・分母を交換する。左辺だけの分子・分母を交換しても正しい等式になるが、後続の議論が、本式で、中辺と右辺を補正した形のものに準じた表式になっているので、こちらの方が、全体としての訂正箇所が少なくなる。
第4章第1節 p.126 第8行
a\Bigm|\rad{abc}\!\left(\frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}\right) a\Bigm|\rad{abc}\!\left(\frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}\right)
備考:p.125 第2行での変更に合わせる。
第4章第1節 p.127 第1行
b\Bigm|\left(\frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}\right) b\Bigm|\rad{abc}\!\left(\frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}\right)
備考:p.125 第2行での変更に合わせ
\[
 \frac{b^{\prime}}{b}-\frac{c^{\prime}}{c}
\]

\[
 \frac{c^{\prime}}{c}-\frac{a^{\prime}}{a}
\]
に変更する。
さらに $\rad{abc}$ を補足する必要がある。
第5章第4節 p.179 第8行
\wp(z)^{2}=y^{2} \wp^{\prime}(z)^{2}=y^{2}
備考:ここでの ワイエルシュトラス (Weierstraß) の $\wp$ 函数 (ペー函数) は微分されていなければならない (p.174 での記述を参照)。
第5章第4節 p.186 第6行
\wp(z_{3}) \neq \wp(z_{2}) \wp(z_{3}) \neq \wp(z_{1})
備考:この式は $f(z_{3})=\wp(z_{3})-\wp(z_{1})\neq{0}$ から導かれたものである。
第6章第3節 p.207 第6行
c_{n+1}=a^{2}_{n} c_{n+1}=c^{2}_{n}
備考:p.209第7行には正しい式が示されている。
第6章第3節 p.208 第10行-第12行
\begin{align*}
 &a_{n}=3^{2n}\cos^{2}(2^{n-1}\theta)\\
 &b_{n}=3^{2n}\sin^{2}(2^{n-1}\theta)\\
 &c_{n}=3^{2n}\\
\end{align*} \begin{align*}
 &a_{n}=3^{2^{n}}\cos^{2}(2^{n-1}\theta)\\
 &b_{n}=3^{2^{n}}\sin^{2}(2^{n-1}\theta)\\
 &c_{n}=3^{2^{n}}\\
\end{align*}
備考:右辺の $3$ の指数は $2n$ ではなくて、$2^{n}$ にする必要がある。高校数学レベルの計算だが、確認しておこう (p.207 の $a_{n},b_{n},c_{n}$ の漸化式を参照されてたい)。
$n=1$ の時は
\begin{align*}
 &a_{1}=3^{2}\cos^{2}(\theta)=9*\left(\sqrt{\frac{8}{9}}\right)^{2}=8\\
 &b_{1}=3^{2}\sin^{2}(\theta)=9*\left(\sqrt{\frac{1}{9}}\right)^{2}=1\\
 &c_{1}=3^{2}=9
\end{align*}

$n\geq{2}$ では
\begin{align*}
&(a_{n}-b_{n})^{2}=\left(3^{2^{n}}\cos^{2}(2^{n-1}\theta)-3^{2^{n}}\sin^{2}(2^{n-1}\theta)\right)^{2}\\
&\qquad=\left(3^{2^{n}}\right)^{2}*\left(\cos^{2}(2^{n-1}\theta)-\sin^{2}(2^{n-1}\theta)\right)^{2}\\
&\qquad=\left(3^{2*(2^{n})}\right)*\left(\cos(2*(2^{n-1}\theta))\right)^{2}\\
&\qquad=3^{2^{(n+1)}}\cos^{2}(2^{n}\theta)\\
&4a_{n}b_{n}=4\left(3^{2^{n}}\cos^{2}(2^{n-1}\theta)\right)\left(3^{2^{n}}\sin^{2}(2^{n-1}\theta)\right)\\
&\qquad=\left(3^{2^{n}}\right)^{2}*\left(4\sin^{2}(2^{n-1}\theta)\cos^{2}(2^{n-1}\theta)\right)\\
&\qquad=\left(3^{2*(2^{n})}\right)*\left(2\sin(2^{n-1}\theta)\cos(2^{n-1}\theta)\right)^{2}\\
&\qquad=3^{2^{(n+1)}}\sin^{2}(2*2^{n-1}\theta)\\
&\qquad=3^{2^{(n+1)}}\sin^{2}(2^{n}\theta)\\
&c^{2}_{n}=\left(3^{2^{n}}\right)^{2} =3^{2*(2^{n})} = 3^{2^{(n+1)}}
\end{align*}
第6章第3節 p.209 第3行
S_{0}(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1})=\frac{(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1})^{\frac{1}{3}}}{\rad{a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}}} S_{0}(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1})=\frac{(a_{n+1}b_{n+1}c_{n+1})^{\frac{1}{3}}}{\rad{a_{n+1}b_{n+1}c_{n+1}}}
備考:p.206 における $S_{\varepsilon}(a,b,c)$$\varepsilon=0$ を当てはめた式に従う。

最後に、誤りとは言えないが、読んでいてビミョーな気分になった所を書いておこう。

「スピロ予想」に関連して、その条件 $\varepsilon>0$ を外して $\varepsilon=0$ とした時には「予想」が成立しなくなることを説明しているなかで、第6章第3節 p.209 第11行の「$a_{n},b_{n},c_{n}$ の中には必ず偶数がある・・・」と云う箇所がある。たしかに、これは、論理的には誤りではない。だが、この $c_{n}$ は蛇足である。何故なら、$c_{n}$ は必ず奇数 ($\displaystyle 3^{2^{n}}$) になるからだ。更に言うなら、

$n=1$ の時は $a_{1}$ が偶数 (定義により $8$) で、$b_{1}$ が奇数 (定義により $1$)。
$n\geq{2}$ では、$a_{n}$ は常に奇数で、$b_{n}$ は常に偶数になる。
全体としては、$a_{n}$ 又は $b_{n}$ のどちらかが必ず偶数になる (他方は必ず奇数)。これは $a_{n}+b_{n}=c_{n}$ と云う関係式が満たされていて、さらに $c_{n}$ が奇数なのだから当然である。

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

$\int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta){\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\theta)}}d\theta$ 及び $\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\theta)}}d\theta$ の計算

以下は、これまで本ブログの [三角関数の幾つかの2次無理式の積分] (2017年10月31日 [火])、[「三角関数の幾つかの2次無理式の積分 (2017年10月31日 [火])」補足その1] (2017年11月30日[木])、及び [[三角関数の幾つかの2次無理式の積分]補足その2] (2017年12月31日[日]) において計算した結果を、まとめたものである。表式に若干手を入れたが、内容に変化はない。

まず、主要な記号の定義を示しておく。

\begin{align*}
 &0<k<1, 0\leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\\
 &\Delta_{\theta} := \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\theta)} = \sqrt{1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\theta)}\\
 &\Delta_{\varphi} := \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\varphi)} = \sqrt{1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi)}\\
 &E(\varphi,k) := \int_{0}^{\varphi}\Delta_{\theta}d\theta, \quad F(\varphi,k) := \int_{0}^{\varphi}\frac{d\theta}{\Delta_{\theta}}\\
 &I^{(m,n)} := \int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta_{\theta}}d\theta\\
 &J^{(m,n)} := \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta\\
\end{align*}

言うまでもなかろうが $F(\varphi,k)$ 及び $E(\varphi,k)$ は、それぞれ「第一種の楕円積分」及び「第二種の楕円積分」である。そして、次の関係式は自明だろう。

\begin{align*}
 &E(\varphi,k) = I^{(0,0)} = I^{(2,0)}+I^{(0,2)}\\
 &F(\varphi,k) = J^{(0,0)} = J^{(2,0)}+J^{(0,2)}\\
\end{align*}

漸化式の纏め。

$m{\geq}2$ の時

\begin{align*}
 &I^{(m,n)} = I^{(m-2,n)} - I^{(m-2,n+2)}\\
 &J^{(m,n)} = J^{(m-2,n)} - J^{(m-2,n+2)}\\
 &J^{(m,n)} = \inverse{k^{2}}\left(J^{(m-2,n)}-I^{(m-2,n)}\right)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{m}(\theta){\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{(2m+1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{m-1}(\varphi)\Delta_{\varphi}^{3}\\
 &\qquad\qquad\qquad + (m-1)I^{(m-2,m)} - (m-1)(1-k^{2})I^{(m.m-2)}\Big\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{m}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{(2m-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{m-1}(\varphi)\Delta_{\varphi}\\
 &\qquad\qquad\qquad + (m-1)J^{(m-2,m)} - (m-1)(1-k^{2})J^{(m,m-2)}\Big\}\\
\end{align*}

$n{\geq}2$ の時

\begin{align*}
 &I^{(m,n)} = I^{(m,n-2)} - I^{(m+2,n-2)}\\
 &J^{(m,n)} = J^{(m,n-2)} - J^{(m+2,n-2)}\\
 &J^{(m,n)} = \inverse{k^{2}}\left(-(1-k^{2})J^{(m,n-2)}+I^{(m,n-2)}\right)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta(\theta,k)}d\theta = -\inverse{(n+2)k^{2}}\left\{(n-1)(1-k^{2})I^{(1,n-2)} + \cos^{n-1}(\varphi)\Delta_{\varphi}^{3} - 1\right\}\\
 &\qquad = -\inverse{(n+2)k^{2}}\Big\{(n-1)(1-k^{2})I^{(1,n-2)} + \Big((1-k^{2})\cos^{n-1}(\varphi) + k^{2}\cos^{n+1}(\theta)\Big)\Delta_{\varphi} - 1\Big\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = -\inverse{nk^{2}}\left\{\left(\cos^{n-1}(\varphi)\Delta_{\varphi}-1\right) + (n-1)(1-k^{2})J^{(1,n-2)}\right\}\\
\end{align*}

$m,n \geq 2$ の時

\begin{align*}
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{({m+n+1})k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta_{\varphi}^{3}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + (m-1)I^{(m-2,n)} - (n-1)(1-k^{2})I^{(m,n-2)}\Big\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{(m+n-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta_{\varphi}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + (m-1)J^{(m-2,n)} - (n-1)(1-k^{2})J^{(m,n-2)}\Big\}\\
\end{align*}

$m \geq 4, n>0$ の時

\begin{align*}
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{(m+n+1)k^{2}}\Big\{\sin^{m-3}(\varphi)\cos^{n+1}(\varphi)\Delta_{\varphi}^{3}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + (m+n-2 + mk^{2})I^{(m-2,n)} - (m-3)I^{(m-4,n)}\Big\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = - \inverse{(m+n-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-3}(\varphi)\cos^{n+1}(\varphi)\Delta_{\varphi}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + (m-3)J^{(m-4,n)} - \left(m+n-2+(m-2)k^{2}\right)J^{(m-2,n)}\Big\}\\
\end{align*}

個別の関係式

\begin{align*}
 &I^{(0,n)}: n=1,2,3\\
 &\int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \frac{\sin(\varphi)\Delta_{\varphi}}{2} + \frac{\arcsin(k\sin(\varphi))}{2k}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\cos^{2}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta_{\varphi}}{3} + \frac{1+k^{2}}{3k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\cos^{3}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta  = \frac{2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+2k^{2}+1}{8k^{2}}\sin(\varphi)\Delta_{\varphi} + \frac{4k^{2}-1}{8k^{3}}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\\
\end{align*}

\begin{align*}
 &I^{(1,n)}: n=0,1,2,3\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \frac{1-\cos(\varphi)\Delta_{\varphi}}{2} - \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left\{\frac{k\cos(\varphi)+\Delta_{\varphi}}{k+1}\right\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \frac{1-\Delta_{\varphi}^{3}}{3k^{2}}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos^{2}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = -\frac{2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+1-k^{2}}{8k^{2}}\cos(\varphi)\Delta_{\varphi} + \frac{1+k^{2}}{8k^{2}}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{(1-k^{2})^{2}}{8k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta_{\varphi}-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos^{3}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = -\inverse{15k^{4}}\left\{3\Delta_{\varphi}^{5} - 5(1-k^{2})\Delta_{\varphi}^{3} - 5k^{2} +2\right\}\\
 &\qquad\qquad = -\frac{3k^{4}\sin^{4}(\varphi)-k^{2}(5k^{2}+1)\sin^{2}(\varphi)+5k^{2}-2}{15k^{4}}\Delta_{\varphi} + \frac{5k^{2}-2}{15k^{4}}\\
\end{align*}

\begin{align*}
 &I^{(2,n)}: n=0,1,2,3\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = -\frac{\Delta_{\varphi}\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3} + \frac{2k^{2}-1}{3k^{2}}E(\varphi,k) + \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\cos(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \frac{2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1}{8k^{2}}\sin(\varphi)\Delta_{\varphi} + \frac{\arcsin(k\sin(\varphi))}{8k^{3}}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \inverse{15k^{2}}\Big\{(-3k^{3}\cos^{2}(\theta)+2k^{2}-1)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta_{\varphi}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{2(k^{4}-k^{2}+1)}{k^2}E(\varphi,k) - \frac{(1-k^{2})(2-k^{2})}{k^{2}}F(\varphi,k)\Big\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\cos^{3}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \frac{-8k^{4}\sin^{4}(\varphi)+2k^{2}(6k^{2}+1)\sin^{2}(\varphi)-6k^{2}+3}{48k^{4}}{\sin(\varphi)\Delta_{\varphi}}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad  + \frac{(2k^{2}-1)\arcsin(k\sin(\varphi))}{16k^{5}}
\end{align*}

\begin{align*}
 &I^{(3,n)}: n=0,1,2,3\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{3}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = -\frac{2k^{2}\sin^{2}(\varphi)+3k^{2}-1}{8k^{2}}\cos(\varphi)\Delta_{\varphi} + \frac{3k^{2}-1}{8k^{2}}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{3k^{4}-2k^{2}-1}{8k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta_{\varphi}}{k+1}\right)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{3}(\theta)\cos(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \inverse{15k^{4}}\left\{3\Delta_{\varphi}^{5}-5\Delta_{\varphi}^{3}+2\right\}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad = \frac{(3k^{4}\sin^{4}(\varphi)-k^{2}\sin^{2}(\varphi)-2)\Delta_{\varphi}}{15k^{4}}+\frac{2}{15k^{4}}\\
%& = \inverse{15k^{4}}\left\{3\Delta_{\varphi}^{5}-5\Delta_{\varphi}^{3}+2\right\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{3}(\theta)\cos^{2}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta =\\
 &\qquad\qquad \inverse{6k^{2}}\Bigg\{\frac{8k^{4}\sin^{4}(\varphi) - 2k^{2}(k^{2}+1)\sin^{2}(\varphi) - 3k^{4} + 2k^{2} - 3}{8k^{2}}\cos(\varphi){\Delta_{\varphi}}\\
 &\qquad +\frac{3k^{4}-2k^{2}+3}{8k^{2}} + \frac{3(1-k^{2})^{2}(1+k^{2})}{8k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+{\Delta_{\varphi}}}{k+1}\right)\Bigg\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{3}(\theta)\cos^{3}(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \inverse{k^{6}}\Big\{\frac{\Delta_{\varphi}^{7}}{7} - \frac{(2-k^{2})\Delta_{\varphi}^{5}}{5} + \frac{(1-k^{2})\Delta_{\varphi}^{3}}{3} + \frac{14k^{2}-8}{105}\Big\}\\
 &\qquad\qquad= \Big(\frac{k^{4}\sin^{4}(\varphi)}{7}-\frac{(7k^{4}-4k^{2})\sin^{2}(\varphi)}{35}-\frac{14k^{2}-8}{105}\Big)(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi)){\Delta_{\varphi}}\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\frac{14k^{2}-8}{105}
\end{align*}

\begin{align*}
 &I^{(4,1)}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\sin^{4}(\theta)\cos(\theta)\Delta_{\theta}d\theta = \inverse{6k^{2}}\Big\{\frac{\sin(\varphi)\Delta_{\varphi}}{8k^{2}}\Big(8k^{4}\sin^{4}(\varphi) - 2k^{2}\sin^{2}(\varphi) - 3\Big)\\
 &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{3\arcsin(k\sin(\varphi))}{8k^{3}}\Big\}
\end{align*}

\begin{align*}
 &J^{(0,n)}: n=1,2,3\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\cos(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{k}\arcsin(k\sin(\varphi))\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\cos^{2}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \frac{E(\varphi,k)}{k^{2}} - \frac{1-k^{2}}{k^{2}}F(\varphi,k)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\cos^{3}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \frac{\sin(\varphi)\Delta_{\varphi}}{2k^{2}} + \frac{2k^{2}-1}{2k^{3}}\arcsin(k\sin(\varphi))
\end{align*}

\begin{align*}
 &J^{(1,n)}: n=0,1,2,3\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{k}\ln\left(\frac{\Delta_{\varphi}-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \frac{1-\Delta_{\varphi}}{k^{2}}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos^{2}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = -\frac{\cos(\varphi)\Delta_{\varphi}}{2k^{2}} + \inverse{2k^{2}} - 
\frac{1-k^{2}}{2k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta_{\varphi}-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos^{3}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = -\frac{(k^{2}\cos^{2}(\varphi)-2+2k^{2})\Delta_{\varphi}}{3k^{4}} + \frac{3k^{2}-2}{3k^{4}}
\end{align*}

\begin{align*}
 &J^{(2,n)}: n=0,1,2,3\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \frac{F(\varphi,k)-E(\varphi,k)}{k^{2}}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)\cos(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = -\frac{\sin(\varphi)\Delta_{\varphi}}{2k^{2}} + \frac{\arcsin(k\sin(\varphi))}{2k^{3}}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = -\frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta_{\varphi}}{3k^{2}} + \frac{2-k^{2}}{3k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2k^{2}-2}{3k^{4}}F(\varphi,k)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)\cos^{3}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{8k^{4}}\Big\{(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-4k^{2}+3){\sin(\varphi)\Delta_{\varphi}} + \frac{4k^{2}-3}{k}\arcsin(k\sin(\varphi))\Big\}\\
\end{align*}

\begin{align*}
 &J^{(3,n)}: n=0,1,2,3\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{3}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \frac{\cos(\varphi)\Delta-1}{2k^{2}} - \frac{1+k^{2}}{2k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta_{\varphi}}{k+1}\right)\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{3}(\theta)\cos(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = -\frac{(k^{2}\sin^{2}(\varphi)+2)\Delta_{\varphi}}{3k^{4}} + \frac{2}{3k^{4}}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{3}(\theta)\cos^{2}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{4k^{2}}\Bigg\{\frac{\cos(\varphi)\Delta_{\varphi}}{2k^{2}}\Big(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)-k^{2}-3\Big) - \frac{k^{2}-3}{2k^{2}} \\
 &\qquad\qquad - \frac{k^{4}+2k^{2}-3}{2k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta_{\varphi}}{k+1}\right)\Bigg\}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{3}(\theta)\cos^{3}(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{15k^{6}}\Big\{\Big(3\Delta_{\varphi}^{4} - 5(2-k^{2})\Delta_{\varphi}^{2} + 15(1-k^{2})\Big)\Delta + 10k^{2} - 8\Big\}\\
 &\qquad\qquad\qquad = \frac{\Delta_{\varphi}}{15k^{6}}\Big(3k^{4}\sin^{4}(\varphi)-(5k^{4}-4k^{2})\sin^{2}(\varphi)-10k^{2}+8\Big)+\frac{10k^{2}-8}{15k^{6}}
\end{align*}

\begin{align*}
 &J^{(4,1)}\\
 &\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{4}(\theta)\cos(\theta)}{\Delta_{\theta}}d\theta = \inverse{4k^{2}}\Big\{-\frac{\sin(\varphi)\Delta_{\varphi}}{2k^{2}}\Big(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)+3\Big) + \frac{3\arcsin(k\sin(\varphi))}{2k^{3}}\Big\}
\end{align*}

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

[三角関数の幾つかの2次無理式の積分]補足その2

$m,n$ を非負整数とし、$k,k^{\prime}$$0<k,k^{\prime}<1,\;k^{2}+k^{\prime2}=1$ を満たすとし、さらに、


\begin{align*}
 \Delta(x,k) :&= \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(x)}\\
&= \sqrt{1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(x)} = \sqrt{k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(x)}
\end{align*}
と定義する時、$I^{(m,n)}$ 及び $J^{(m,n)}$
\begin{align*}
 I^{(m,n)} &:= \int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta(\theta,k)}d\theta\\
 J^{(m,n)} &:= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\Delta(\theta,k)}d\theta\\
\end{align*}
を意味するものとする (以下、文脈から明らかな場合は $\Delta(x,k)$ の変数を明示しないで $\Delta$ とのみ書くことがある。また、以下実際には、記法 $k^{\prime2}$ ではなく $1-k^{2}$ が用いられている)。

[三角関数の幾つかの2次無理式の積分: nouse (2017年10月31日 (火))] 及び [「三角関数の幾つかの2次無理式の積分 (2017年10月31日 [火]」補足その1: nouse (2017年11月30日 (木))] により、現段階では $0{\leq}m+n{\leq}3$$I^{(m,n)}$, $J^{(m,n)}$、そして $I^{(2,2)}$ 及び $J^{(2,2)}$ の表式が得られている。本稿では、それ以降の $I^{(m,n)}$ 及び $J^{(m,n)}$ を、階数 ($=m+n$) に従う漸化式により求めていくことにする。従って、以下では $m+n>3$ が満たされていることを前提とする。

その準備として確認しておくが、[補足その1] の初めの方で既に導いてある関係式より
$m{\geq}2$ の時

\begin{align*}
 &I^{(m,0)} = I^{(m-2,0)} - I^{(m-2,2)}\\
 &J^{(m,0)} = J^{(m-2,0)} - J^{(m-2,2)}
\end{align*}
$n{\geq}2$ の時
\begin{align*}
 &I^{(0,n)} = I^{(0,n-2)} - I^{(2,n-2)}\\
 &J^{(0,n)} = J^{(0,n-2)} - J^{(2,n-2)}
\end{align*}
が成り立つことに注意すると、$I^{(m-2,0)}$, $J^{(m-2,0)}$, $I^{(0,n-2)}$, $J^{(0,n-2)}$ の漸化式と、 $I^{(m-2,2)}$, $J^{(m-2,2)}$, $I^{(2,n-2)}$, $J^{(2,n-2)}$ の漸化式とが得られるなら、$I^{(m,0)}$,$J^{(m,0)}$, $I^{(0,n)}$, $J^{(0,n)}$ の漸化式も得られることが分かる。そして $m+n>3$ が前提となっているから、以下の $I^{(m,n)}$ 及び $J^{(m,n)}$ の計算では $m,n>0$ の場合に限定することにする。

すると

\begin{align*}
 &I^{(m,n)}\\
&\quad = \int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta}d\theta\\
&\quad = \int_{0}^{\varphi}\sin^{m-1}(\theta)\cos^{n-1}(\theta)(\sin(\theta)\cos(\theta){\Delta})d\theta\\
&\quad = -\inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin^{m-1}(\theta)\cos^{n-1}(\theta)\left(\odiff{(\Delta^{3})}{\theta}\right)d\theta\\
&\quad = -\inverse{3k^{2}}\Big[\sin^{m-1}(\theta)\cos^{n-1}(\theta)\Delta^{3}\Big]_{0}^{\varphi}\\
&\qquad + \inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\Big\{(m-1)\sin^{m-2}(\theta)\cos^{n}(\theta)\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad - (n-1)\sin^{m}(\theta)\cos^{n-2}(\theta)\Big\}{\Delta^{3}}d\theta
\end{align*}

まず、$m=1$ 又は $n=1$ の時、上記の最後の式中の $\sin^{m-2}(\theta)$ 又は $\cos^{n-2}(\theta)$ を含む項は不適切になるが、それぞれ、係数 $m-1=0$ 又は $n-1=0$ がかかっており、その不適切性を無視してよいことに注意。

さて $m>1$ なら

\begin{align*}
 I^{(m,n)} &= -\inverse{3k^{2}}\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad + \frac{m-1}{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin^{m-2}(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta^{3}}d\theta\\
&\qquad - \frac{n-1}{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n-2}(\theta){\Delta^{3}}d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad + \frac{m-1}{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin^{m-2}(\theta)\cos^{n}(\theta)(1-k^{2}\sin^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&\qquad - \frac{n-1}{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n-2}(\theta)(1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad + \frac{m-1}{3k^{2}}\left\{I^{(m-2,n)} - k^{2}I^{(m,n)}\right\}\\
&\qquad - \frac{n-1}{3k^{2}}\left\{(1-k^{2})I^{(m,n-2)} + k^{2}I^{(m,n)}\right\}\\
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 \frac{m+n+1}{3}I^{(m,n)} &= -\inverse{3k^{2}}\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad + \frac{m-1}{3k^{2}}I^{(m-2,n)} - \frac{n-1}{3k^{2}}(1-k^{2})I^{(m,n-2)}\\
\end{align*}

つまり

\begin{align*}
 I^{(m,n)} &= \inverse{({m+n+1})k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad + (m-1)I^{(m-2,n)} - (n-1)(1-k^{2})I^{(m,n-2)}\Big\}\\
\end{align*}

特に $m=n{\geq}2$ の場合は、次のようになる。

\begin{align*}
 I^{(m,m)} &= \inverse{(2m+1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{m-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad + (m-1)I^{(m-2,m)} - (m-1)(1-k^{2})I^{(m.m-2)}\Big\}
\end{align*}

また $m=1$ なら (前記の仮定により $n>2$ であることに注意)

\begin{align*}
 I^{(1,n)} &= -\inverse{3k^{2}}\left\{\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3} -1\right\}\\
&\qquad - \frac{n-1}{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos^{n-2}(\theta){\Delta^{3}}d\theta\\
&\quad = -\inverse{3k^{2}}\left\{\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3} -1\right\}\\
&\qquad\quad  - \frac{n-1}{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos^{n-2}(\theta)(1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&\quad = -\inverse{3k^{2}}\left\{\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3} -1\right\}\\
&\qquad\quad  - \frac{(n-1)(1-k^{2})}{3k^{2}}I^{(1,n-2)} - \frac{n-1}{3}I^{(1,n)}
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 \frac{n+2}{3}I^{(1,n)} &= - \frac{(n-1)(1-k^{2})}{3k^{2}}I^{(1,n-2)} - \inverse{3k^{2}}\left\{\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3} -1\right\}\\
&= -\inverse{3k^{2}}\left\{(n-1)(1-k^{2})I^{(1,n-2)} + \cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3} -1\right\}
\end{align*}

つまり

\[
 I^{(1,n)} = -\inverse{(n+2)k^{2}}\left\{(n-1)(1-k^{2})I^{(1,n-2)} + \cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3} - 1\right\}
\]

ここで $\Delta$ の次数を 1 に下げるなら

\begin{align*}
 I^{(1,n)} &=  -\inverse{(n+2)k^{2}}\Big\{(n-1)(1-k^{2})I^{(1,n-2)}\\
&\qquad + \cos^{n-1}(\varphi)(1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\theta))\Delta(\varphi,k) -1\Big\}\\
&= -\inverse{(n+2)k^{2}}\Big\{(n-1)(1-k^{2})I^{(1,n-2)}\\
&\qquad + \Big((1-k^{2})\cos^{n-1}(\varphi) + k^{2}\cos^{n+1}(\theta)\Big)\Delta(\varphi,k) - 1\Big\}\\
\end{align*}

他方

\begin{align*}
&J^{(m,n)}\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\Delta}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\sin^{m-1}(\theta)\cos^{n-1}(\theta)\left(\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta}\right)d\theta\\
&= -\inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin^{m-1}(\theta)\cos^{n-1}(\theta)\left(\odiff{\Delta}{\theta}\right)d\theta\\
&= -\inverse{k^{2}}\Big\{\Big[\sin^{m-1}(\theta)\cos^{n-1}(\theta)\Delta\Big]_{0}^{\varphi}\\
&\quad - \int_{0}^{\varphi}\Big((m-1)\sin^{m-2}(\theta)\cos^{n}(\theta) - (n-1)\sin^{m}(\theta)\cos^{n-2}(\theta)\Big)\left(\frac{\Delta^{2}}{\Delta}\right)d\theta\Big\}
\end{align*}

いま $m>1$ ならば

\begin{align*}
 J^{(m,n)} &= -\frac{\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{k^{2}}\\
&\qquad + \frac{m-1}{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m-2}(\theta)\cos^{n}(\theta)\Delta^{2}}{\Delta}d\theta\\
&\qquad - \frac{n-1}{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n-2}(\theta)\Delta^{2}}{\Delta}d\theta\\
&= -\frac{\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{k^{2}}\\
&\qquad + \frac{m-1}{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m-2}(\theta)\cos^{n}(\theta)(1-k^{2}\sin^{2}(\theta))}{\Delta}d\theta\\
&\qquad - \frac{n-1}{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n-2}(\theta)(1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\theta))}{\Delta}d\theta\\
&= -\frac{\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{k^{2}}\\
&\qquad + \frac{m-1}{k^{2}}\left\{J^{(m-2,n)}-k^{2}J^{(m,n)}\right\}\\
&\qquad - \frac{n-1}{k^{2}}\left\{(1-k^{2})J^{(m,n-2)}+k^{2}J^{(m,n)}\right\}\\
&= -\frac{\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{k^{2}}\\
&\qquad + \frac{m-1}{k^{2}}J^{(m-2,n)} - \frac{n-1}{k^{2}}(1-k^{2})J^{(m,n-2)}\\
&\qquad - (m+n-2)J^{(m,n)}\\
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 (m+n-1)J^{(m,n)} &= -\frac{\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{k^{2}}\\
&\qquad + \frac{m-1}{k^{2}}J^{(m-2,n)} - \frac{n-1}{k^{2}}(1-k^{2})J^{(m,n-2)}\\
\end{align*}

つまり

\begin{align*}
 J^{(m,n)} &= \inverse{(m+n-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + (m-1)J^{(m-2,n)} - (n-1)(1-k^{2})J^{(m,n-2)}\Big\}\\
\end{align*}

特に $m=n{\geq}2$ の場合は、次のようになる。

\begin{align*}
 J^{(m,m)} &= \inverse{(2m-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{m-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + (m-1)J^{(m-2,m)} - (m-1)(1-k^{2})J^{(m,m-2)}\Big\}\\
\end{align*}

$m=1$ (従って $n>2$) なら

\begin{align*}
 J^{(1,n)} &= -\inverse{k^{2}}\Big\{\left(\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)-1\right)\\
&\qquad + (n-1)\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos^{n-2}(\theta)\left(\frac{\Delta^{2}}{\Delta}\right)d\theta\Big\}\\
&= -\inverse{k^{2}}\left(\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)-1\right)\\
&\qquad -\frac{n-1}{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos^{n-2}(\theta)(1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\theta))}{\Delta}d\theta\\
&= -\inverse{k^{2}}\left(\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)-1\right)\\
&\qquad -\frac{(n-1)(1-k^{2})}{k^{2}}J^{(1,n-2)} -(n-1)J^{(1,n)}
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 nJ^{(1,n)} &= -\inverse{k^{2}}\left(\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)-1\right)\\
&\qquad -\frac{(n-1)(1-k^{2})}{k^{2}}J^{(1,n-2)}
\end{align*}

つまり

\[
 J^{(1,n)} = -\inverse{nk^{2}}\left\{\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)-1 + (n-1)(1-k^{2})J^{(1,n-2)}\right\}
\]

さて $I^{(m,n)}$ の表式

\begin{align*}
 I^{(m,n)} &= \inverse{({m+n+1})k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad + (m-1)I^{(m-2,n)} - (n-1)(1-k^{2})I^{(m,n-2)}\Big\}\\
\end{align*}
に戻って、右辺の $I$ の階数を若干引き下げる変形を考えると (ただし $m{\geq}4$ する)

\begin{align*}
 I^{(m,n)} &= I^{(m-2,n)} - I^{(m-2,n+2)}\\
&= I^{(m-2,n)}\\
&\qquad - \inverse{(m+n+1)k^{2}}\Big\{
-\sin^{m-3}(\varphi)\cos^{n+1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad\qquad\qquad + (m-3)I^{(m-4,n+2)}\\
&\qquad\qquad\qquad - (n+1)(1-k^{2})I^{(m-2,n)}\Big\}\\
&= I^{(m-2,n)}\\
&\qquad - \inverse{(m+n+1)k^{2}}\Big\{
-\sin^{m-3}(\varphi)\cos^{n+1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad\qquad\qquad + (m-3)(I^{(m-4,n)}-I^{(m-2,n)})\\
&\qquad\qquad\qquad - (n+1)(1-k^{2})I^{(m-2,n)}\Big\}\\
&= \inverse{(m+n+1)k^{2}}\Big\{\sin^{m-3}(\varphi)\cos^{n+1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)^{3}\\
&\qquad\qquad\qquad + (m+n-2 + mk^{2})I^{(m-2,n)}\\
&\qquad\qquad\qquad - (m-3)I^{(m-4,n)}\Big\}\\
\end{align*}

$J^{(m,n)}$ の表式

\begin{align*}
 J^{(m,n)} &= \inverse{(m+n-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-1}(\varphi)\cos^{n-1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + (m-1)J^{(m-2,n)} - (n-1)(1-k^{2})J^{(m,n-2)}\Big\}\\
\end{align*}
に就いても同様に計算すると (やはり $m{\geq}4$ とする)

\begin{align*}
 J^{(m,n)} &= J^{(m-2,n)} - J^{(m-2,n+2)}\\
&= J^{(m-2,n)}\\
&\qquad - \inverse{(m+n-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-3}(\varphi)\cos^{n+1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + (m-3)J^{(m-4,n+2)} - (n+1)(1-k^{2})J^{(m-2,n)}\Big\}\\
&= J^{(m-2,n)}\\
&\qquad - \inverse{(m+n-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-3}(\varphi)\cos^{n+1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + (m-3)\left(J^{(m-4,n)}-J^{(m-2,n)}\right)\\
&\qquad - (n+1)(1-k^{2})J^{(m-2,n)}\Big\}\\
&= - \inverse{(m+n-1)k^{2}}\Big\{-\sin^{m-3}(\varphi)\cos^{n+1}(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + (m-3)J^{(m-4,n)} - \left(m+n-2+(m-2)k^{2}\right)J^{(m-2,n)}\Big\}
\end{align*}

ここで、一般の漸化式の $(m,n)$ に、幾つかの具体的な値を代入してみよう

$(m,n)=(3,1)$

\begin{align*}
 I^{(3,1)} &= \inverse{5k^{2}}\left\{-\sin^{2}(\varphi)\Delta^{3}+2I^{(1,1)}\right\}\\
&= \inverse{5k^{2}}\left\{-\sin^{2}(\varphi)\Delta^{3}+2\left(\inverse{3k^{2}}(1-\Delta^{3})\right)\right\}\\
&= \inverse{15k^{4}}\left\{-(3k^{2}\sin^{2}(\varphi)+2)\Delta^{3}+2\right\}\\
&= -\frac{(3k^{2}\sin^{2}(\varphi)+2)\Delta^{3}}{15k^{4}}+\frac{2}{15k^{4}}\\
&= -\frac{(3k^{2}\sin^{2}(\varphi)+2)(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))\Delta}{15k^{4}}+\frac{2}{15k^{4}}\\
&= \frac{(3k^{4}\sin^{4}(\varphi)-k^{2}\sin^{2}(\varphi)-2)\Delta}{15k^{4}}+\frac{2}{15k^{4}}\\
\end{align*}

\begin{align*}
 J^{(3,1)} &= \inverse{3k^{2}}\left\{-\sin^{2}(\varphi)\Delta + 2J^{(1,1)}\right\}\\
&= \inverse{3k^{2}}\left\{-\sin^{2}(\varphi)\Delta + \frac{2}{k^{2}}(1-\Delta)\right\}\\
&= \inverse{3k^{4}}\left\{-k^{2}\sin^{2}(\varphi)\Delta + 2(1-\Delta)\right\}\\
&= -\frac{(k^{2}\sin^{2}(\varphi)+2)\Delta}{3k^{4}} + \frac{2}{3k^{4}}
\end{align*}

$(m,n)=(1,3)$

\begin{align*}
 I^{(1,3)} &= -\inverse{5k^{2}}\left\{2(1-k^{2})I^{(1,1)}+\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3} - 1\right\}\\
&= -\inverse{5k^{2}}\left\{2(1-k^{2})\Big(\inverse{3k^{2}}(1-\Delta^3)\Big)+\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3} - 1\right\}\\
&= -\inverse{15k^{4}}\left\{2(1-k^{2})(1-\Delta^3)+3k^{2}\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3} - 3k^{2}\right\}\\
&= -\inverse{15k^{4}}\left\{2-5k^{2}-(2-2k^{2}-3k^{2}\cos^{2}(\varphi))\Delta^{3}\right\}\\
&= -\inverse{15k^{4}}\left\{2-5k^{2}-(2-5k^{2}+3k^{2}\sin^{2}(\varphi))(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))\Delta\right\}\\
&= -\frac{(3k^{4}\sin^{4}(\varphi)-k^{2}(5k^{2}+1)\sin^{2}(\varphi)+5k^{2}-2)\Delta}{15k^{4}} + \frac{5k^{2}-2}{15k^{4}}
\end{align*}

\begin{align*}
 J^{(1,3)} &= -\inverse{3k^{2}}\left\{\cos^{2}(\varphi)\Delta-1+2(1-k^{2})J^{(1,1)}\right\}\\
&= -\inverse{3k^{2}}\left\{\cos^{2}(\varphi)\Delta-1+2(1-k^{2})\Big(\frac{1-\Delta}{k^{2}}\Big)\right\}\\
&= -\inverse{3k^{4}}\left\{k^{2}\cos^{2}(\varphi)\Delta-k^{2}+2(1-k^{2})(1-\Delta)\right\}\\
&= -\frac{(k^{2}\cos^{2}(\varphi)-2+2k^{2})\Delta}{3k^{4}} + \frac{3k^{2}-2}{3k^{4}}
\end{align*}

$(m,n)=(2,3)$

\begin{align*}
 I^{(2,3)} &= \inverse{6k^{2}}\left\{-\sin(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3} + I^{(0,3)}-2(1-k^{2})I^{(2,1)}\right\}\\
&= \inverse{6k^{2}}\Big\{-\sin(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3}\\
&\qquad + \frac{\sin(\varphi)\Delta}{8k^{2}}(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+2k^{2}+1) + \frac{4k^{2}-1}{8k^{3}}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\\
&\qquad - 2(1-k^{2})\Big(\inverse{8k^{2}}\Delta(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1)\sin(\varphi) + \inverse{8k^{3}}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\Big)\Big\}\\
&= \inverse{6k^{2}}\Big\{\frac{\sin(\varphi)\Delta}{8k^{2}}\Big(-8k^{2}\cos^{2}(\varphi)\Delta^2\\
&\qquad + ((2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+2k^{2}+1) - 2(1-k^{2})(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1)\Big)\\
&\qquad + \frac{\arcsin(k\sin(\varphi))}{8k^{3}}\Big(4k^{2}-1-2(1-k^{2})\Big)\Big\}\\
&= \frac{-8k^{4}\sin^{4}(\varphi)+2k^{2}(6k^{2}+1)\sin^{2}(\varphi)-6k^{2}+3}{48k^{4}}{\sin(\varphi)\Delta}\\
&\qquad  + \frac{(2k^{2}-1)\arcsin(k\sin(\varphi))}{16k^{5}}
\end{align*}

\begin{align*}
 J^{(2,3)} &= \inverse{4k^{2}}\left\{-\sin(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta + J^{(0,3)} - 2(1-k^{2})J^{(2,1)}\right\}\\
&= \inverse{4k^{2}}\Big\{-\sin(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta\\
&\qquad + \Big(\frac{\sin(\varphi)\Delta}{2k^{2}} + \frac{2k^{2}-1}{2k^{3}}\arcsin(k\sin(\varphi))\Big)\\
&\qquad - 2(1-k^{2})\Big(-\inverse{2k^{2}}\sin(\varphi)\Delta + \inverse{2k^{3}}\arcsin(k\sin(\varphi))\Big)\Big\}\\
&= \inverse{4k^{2}}\Big\{-\frac{\sin(\varphi)\Delta}{2k^{2}}(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+2k^{2}-3)\\
&\qquad\qquad + \frac{\arcsin(k\sin(\varphi))}{2k^{3}}(4k^{2}-3)\Big\}\\
&= \inverse{8k^{4}}\Big\{(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-4k^{2}+3){\sin(\varphi)\Delta}\\
&\qquad\qquad + \frac{\arcsin(k\sin(\varphi))}{k}(4k^{2}-3)\Big\}\\
\end{align*}

$(m,n)=(3,2)$

\begin{align*}
 I^{(3,2)} &= \inverse{6k^{2}}\left\{-\sin^{2}(\varphi)\cos(\varphi)\Delta^{3} + 2I^{(1,2)} - (1-k^{2})I^{(3,0)}\right\}\\
&= \inverse{6k^{2}}\Bigg\{-\sin^{2}(\varphi)\cos(\varphi)\Delta^{3}\\
&\qquad\qquad + 2\Bigg(-\frac{\cos(\varphi){\Delta}}{8k^{2}}(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+1-k^{2}) + \frac{1+k^{2}}{8k^{2}}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{(1-k^{2})^{2}}{8k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+{\Delta}}{k+1}\right)\Bigg)\\
&\qquad\qquad - (1-k^{2})\Bigg(-\frac{2k^{2}\sin^{2}(\varphi)+3k^{2}-1}{8k^{2}}\cos(\varphi){\Delta} + \frac{3k^{2}-1}{8k^{2}}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{3k^{4}-2k^{2}-1}{8k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+{\Delta}}{k+1}\right)\Bigg)\Bigg\}\\
&= \inverse{6k^{2}}\Bigg\{\frac{\cos(\varphi){\Delta}}{8k^{2}}(8k^{4}\sin^{4}(\varphi) - 2k^{2}(k^{2}+1)\sin^{2}(\varphi) - 3k^{4} + 2k^{2} - 3)\\
&\qquad +\frac{3k^{4}-2k^{2}+3}{8k^{2}} + \frac{3(1-k^{2})^{2}(1+k^{2})}{8k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+{\Delta}}{k+1}\right)\Bigg\}\\
\end{align*}

\begin{align*}
 J^{(3,2)} &= \inverse{4k^{2}}\Big\{-\sin^{2}(\varphi)\cos(\varphi)\Delta + 2J^{(1,2)} - (1-k^{2})J^{(3,0)}\Big\}\\
&= \inverse{4k^{2}}\Bigg\{-\sin^{2}(\varphi)\cos(\varphi)\Delta\\
&\qquad -\frac{\cos(\varphi)\Delta}{k^{2}} + \inverse{k^{2}} + \frac{1-k^{2}}{k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta}{k+1}\right)\\
&\qquad - (1-k^{2})\Bigg(\inverse{2k^{2}}(\cos(\varphi)\Delta-1) - \frac{1+k^{2}}{2k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta}{k+1}\right)\Bigg)\Bigg\}\\
&= \inverse{4k^{2}}\Bigg\{-\frac{\cos(\varphi)\Delta}{2k^{2}}\Big(2k^{2}\sin^{2}(\varphi) + 2 + (1-k^{2})\Big)\\
&\qquad + \frac{3-k^{2}}{2k^{2}} + \frac{1-k^{2}}{2k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta}{k+1}\right)(2+(1+k^{2}))\Big)\Bigg\}\\
&= \inverse{4k^{2}}\Bigg\{\frac{\cos(\varphi)\Delta}{2k^{2}}\Big(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)-k^{2}-3\Big) - \frac{k^{2}-3}{2k^{2}} \\
&\qquad\qquad - \frac{k^{4}+2k^{2}-3}{2k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta}{k+1}\right)\Bigg\}\\
\end{align*}

$(m,n)=(3,3)$
$(3,3)$ に就いては、$\Delta$ を軸にして式を纏める。そのため、式を遡って

\begin{align*}
 I^{(1,3)} &= -\inverse{15k^{4}}\left\{2(1-k^{2})(1-\Delta^3)+3k^{2}\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3} - 3k^{2}\right\}\\
&\qquad = -\inverse{15k^{4}}\left\{2(1-k^{2})(1-\Delta^3)-3(1-k^{2}-\Delta^{2})\Delta^{3} - 3k^{2}\right\}\\
&\qquad = -\inverse{15k^{4}}\left\{3\Delta^{5} - 5(1-k^{2})\Delta^{3} - 5k^{2} +2\right\}\\
 I^{(3,1)} &= \inverse{15k^{4}}\left\{-(3k^{2}\sin^{2}(\varphi)+2)\Delta^{3}+2\right\}\\
&\qquad = \inverse{15k^{4}}\left\{-(-3\Delta^{2}+5)\Delta^{3}+2\right\}\\
&\qquad = \inverse{15k^{4}}\left\{3\Delta^{5}-5\Delta^{3}+2\right\}\\
\end{align*}
であることに注意する。

\begin{align*}
 I^{(3,3)} &= \inverse{7k^{2}}\Big\{-\sin^{2}(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3} + 2I^{(1,3)} - 2(1-k^{2})I^{(3,1)}\Big\}\\
&= \inverse{7k^{2}}\Bigg\{\Big(\frac{1-\Delta^{2}}{k^{2}}\Big)\Big(\frac{1-k^{2}-\Delta^{2}}{k^{2}}\Big)\Delta^{3}\\
&\qquad - \frac{2}{15k^{4}}\left\{3\Delta^{5} - 5(1-k^{2})\Delta^{3} - 5k^{2} +2\right\}\\
&\qquad - \frac{2(1-k^{2})}{15k^{4}}(3\Delta^{5}-5\Delta^{3}+2)\Bigg\}\\
&= \inverse{105k^{6}}\big\{15(1-\Delta^{2})(1-k^{2}-\Delta^{2})\Delta^{3}\\
&\qquad - 2\left\{3\Delta^{5} - 5(1-k^{2})\Delta^{3} - 5k^{2} +2\right\}\\
&\qquad - 2(1-k^{2})(3\Delta^{5}-5\Delta^{3}+2)\big\}\\
&= \inverse{105k^{6}}\Big\{15\Delta^{7} - 21(2-k^{2})\Delta^{5} + 35(1-k^{2})\Delta^{3} + 14k^{2} - 8\Big\}\\
&= \inverse{k^{6}}\Big\{\frac{\Delta^{7}}{7} - \frac{(2-k^{2})\Delta^{5}}{5} + \frac{(1-k^{2})\Delta^{3}}{3} + \frac{14k^{2}-8}{105}\Big\}
\end{align*}

この場合、漸化式によらない次の別解が存在する。まず

\begin{align*}
 &\sin^{3}(\theta)\cos^{3}(\theta)\Delta\\
&\qquad = \sin(\theta)^{2}\cos^{2}(\theta)\Big(\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta\Big)\\
&\qquad = \Big\{\frac{1-\Delta^{2}}{k^{2}}\Big\}\Big\{\frac{-(1-k^{2}-\Delta^{2})}{k^{2}}\Big\}\Big(\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta\Big)\\
&\qquad = -\inverse{k^{4}}\Big\{1-k^{2}-(2-k^{2})\Delta^{2}+\Delta^{4}\Big\}\Big(\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta\Big)\\
&\qquad = -\inverse{k^{6}}\Big\{(1-k^{2})k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad - (2-k^{2})k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta^{3}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad + k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta^{5}\Big\}\\
\end{align*}
に注意する。これより
\begin{align*}
 I^{(3,3)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin^{3}(\theta)\cos^{3}(\theta){\Delta}d\theta\\
&= \inverse{k^{6}}\Big[\frac{(1-k^{2})\Delta^{3}}{3} - \frac{(2-k^{2})\Delta^{5}}{5} + \frac{\Delta^{7}}{7}\Big]_{0}^{\varphi}\\
&= \inverse{k^{6}}\Big\{\frac{(1-k^{2})\Delta^{3}}{3} - \frac{(2-k^{2})\Delta^{5}}{5} + \frac{\Delta^{7}}{7}\\
&\qquad\qquad - \Big(\frac{1-k^{2}}{3} - \frac{2-k^{2}}{5} + \frac{1}{7}\Big)\Big\}\\
&= \inverse{k^{6}}\Big\{\frac{\Delta^{7}}{7} - \frac{(2-k^{2})\Delta^{5}}{5} + \frac{(1-k^{2})\Delta^{3}}{3} + \frac{14k^{2}-8}{105}\Big\}
\end{align*}

ここで、$\Delta$ の冪乗中、$\sin(\varphi)$ の有理式で置き換えられる部分を、実際に置き換えると

\begin{align*}
 I^{(3,3)} &= \Big(\frac{\sin^{4}(\varphi)}{7k^{2}}-\frac{(7k^{2}-4)\sin^{2}(\varphi)}{35k^{4}}-\frac{14k^{2}-8}{105k^{6}}\Big)(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi)){\Delta}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\frac{14k^{2}-8}{105k^{6}}
\end{align*}

同様にして

\begin{align*}
 J^{(3,3)} &= \inverse{5k^{2}}\Big\{-\sin^{2}(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta + 2J^{(1,3)} - 2(1-k^{2})J^{(3,1)}\Big\}\\
&= \inverse{5k^{2}}\Big\{-\sin^{2}(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta\\
&\qquad\qquad + 2\Big\{-\frac{(k^{2}\cos^{2}(\varphi)-2+2k^{2})\Delta}{3k^{4}} + \frac{3k^{2}-2}{3k^{4}}\Big\}\\
&\qquad\qquad - 2(1-k^{2})\Big\{-\frac{(k^{2}\sin^{2}(\varphi)+2)\Delta}{3k^{4}} + \frac{2}{3k^{4}}\Big\}\Big\}\\
&= \inverse{15k^{6}}\Bigg\{-3k^{4}\sin^{2}(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta\\
&\qquad\qquad + 2\Big\{-(k^{2}\cos^{2}(\varphi)-2+2k^{2})\Delta + 3k^{2}-2\Big\}\\
&\qquad\qquad - 2(1-k^{2})\Big\{-(k^{2}\sin^{2}(\varphi)+2)\Delta + 2\Big\}\Bigg\}\\
&= \inverse{15k^{6}}\Big\{-\Big(3k^{4}\sin^{2}(\varphi)\cos^{2}(\varphi) + 2k^{2}\cos^{2}(\varphi)\\
&\qquad\qquad\qquad -2(1-k^{2})k^{2}\sin^{2}(\varphi) - 8(1-k^{2})\Big)\Delta +10k^{2} -8\Big\}\\
&= \inverse{15k^{6}}\Big\{-\Big(3(1-\Delta^{2})(-1+k^{2}+\Delta^{2}) + 2(-1+k^{2}+\Delta^{2})\\
&\qquad\qquad\qquad - 2(1-k^{2})(1-\Delta^{2}) - 8(1-k^{2})\Big)\Delta\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad +10k^{2} -8\Big\}\\
&= \inverse{15k^{6}}\Big\{\Big(3\Delta^{4} - 5(2-k^{2})\Delta^{2} + 15(1-k^{2})\Big)\Delta + 10k^{2} - 8\Big\}\\
\end{align*}

別解:

\begin{align*}
  J^{(3,3)} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{3}(\theta)\cos^{3}(\theta)}{\Delta}d\theta\\
&= -\inverse{k^{6}}\int_{0}^{\varphi}\Big\{(1-k^{2})\Big(\frac{k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta}\Big)\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad - (2-k^{2})k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad + k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta^{3}\Big\}d\theta\\
&= \inverse{k^{6}}\Big[(1-k^{2})\Delta - \frac{(2-k^{2})\Delta^{3}}{3} + \frac{\Delta^{5}}{5}\Big]_{0}^{\varphi}\\
&= \inverse{15k^{6}}\Big[15(1-k^{2})\Delta - 5(2-k^{2})\Delta^{3} + 3\Delta^{5}\Big]_{0}^{\varphi}\\
&= \inverse{15k^{6}}\Big\{15(1-k^{2})\Delta - 5(2-k^{2})\Delta^{3} + 3\Delta^{5}\\
&\qquad\qquad - \Big(15(1-k^{2}) - 5(2-k^{2}) + 3\Big)\Big\}\\
&= \inverse{15k^{6}}\Big\{3\Delta^{5} - 5(2-k^{2})\Delta^{3} + 15(1-k^{2})\Delta + 10k^{2} - 8\Big\}\\
%&= \inverse{15k^{6}}\Big\{\Big(3\Delta^{4} - 5(2-k^{2})\Delta^{2} + 15(1-k^{2})\Big)\Delta + 10k^{2} - 8\Big\}\\
\end{align*}

ここでも、$\Delta$ の有理式で置き換えられる部分を、実際に置き換えると

\begin{align*}
 J^{(3,3)} &= \frac{\Delta}{15k^{6}}\Big(3k^{4}\sin^{4}(\varphi)-(5k^{4}-4k^{2})\sin^{2}(\varphi)-10k^{2}+8\Big)\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\frac{10k^{2}-8}{15k^{6}}\\
\end{align*}

$(m,n)=(4,1)$

\begin{align*}
 I^{(4,1)} &= \inverse{6k^{2}}\Big\{\sin(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3} + (3 + 4k^{2})I^{(2,1)} - I^{(0,1)}\Big\}\\
&= \inverse{6k^{2}}\Big\{\sin(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta^{3}\\
&\qquad + (3 + 4k^{2})\Big(\inverse{8k^{2}}\Delta(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1)\sin(\varphi) + \inverse{8k^{3}}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\Big)\\
&\qquad - \Big(\frac{\sin(\varphi)\Delta}{2} + \inverse{2k}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\Big)\Big\}\\
&= \inverse{6k^{2}}\Big\{\frac{\sin(\varphi)\Delta}{8k^{2}}\Big(8k^{2}\cos^{2}(\varphi)\Delta^{2} + (3+4k^{2})(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1) - 4k^{2}\Big)\\
&\qquad\qquad + \frac{\arcsin(k\sin(\varphi))}{8k^{3}}\Big((3+4k^{2})-4k^{2}\Big)\Big\}\\
&= \inverse{6k^{2}}\Big\{\frac{\sin(\varphi)\Delta}{8k^{2}}\Big(
8k^{4}\sin^{4}(\varphi) - 2k^{2}\sin^{2}(\varphi) - 3\Big)\\
&\qquad\qquad + \frac{3\arcsin(k\sin(\varphi))}{8k^{3}}\Big\}
\end{align*}

\begin{align*}
 J^{(4,1)} &= - \inverse{4k^{2}}\Big\{-\sin(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta + J^{(0,1)} - \left(3+2k^{2}\right)J^{(2,1)}\Big\}\\
&= -\inverse{4k^{2}}\Big\{-\sin(\varphi)\cos^{2}(\varphi)\Delta + \inverse{k}\arcsin(k\sin(\varphi))\\
&\qquad\qquad - (3+2k^{2})\Big(-\inverse{2k^{2}}\sin(\varphi)\Delta + \inverse{2k^{3}}\arcsin(k\sin(\varphi))\Big)\Big\}\\
&= -\inverse{4k^{2}}\Big\{-\frac{\sin(\varphi)\Delta}{2k^{2}}\Big(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)-(3+2k^{2})\Big)\\
&\qquad\qquad + \frac{\arcsin(k\sin(\varphi))}{2k^{3}}\Big(2k^{2}-(3+2k^{2})\Big)\Big\}\\
&= \inverse{4k^{2}}\Big\{-\frac{\sin(\varphi)\Delta}{2k^{2}}\Big(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)+3\Big) + \frac{3\arcsin(k\sin(\varphi))}{2k^{3}}\Big\}
\end{align*}

オマケ:
$(m,n)=(4,0)$

\begin{align*}
 I^{(4,0)} &= I^{(2,0)}-I^{(2,2)}\\
&= -\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3} + \frac{2k^{2}-1}{3k^{2}}E(\varphi,k) + \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\\
&\qquad -\inverse{30k^{4}}\Big\{\Big(2k^{2}(-3k^{2}\cos^{2}(\theta)+2k^{2}-1)\Big)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad\qquad + 4(k^{4}-k^{2}+1)E(\varphi,k) - 2(1-k^{2})(2-k^{2})F(\varphi,k)\Big\}\\
&= \inverse{30k^{4}}\Big\{-\Big(10k^{4}+2k^{2}(-3k^{2}\cos^{2}(\theta)+2k^{2}-1)\Big)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + \Big(10k^{2}(2k^{2}-1)-4(k^{4}-k^{2}+1)\Big)E(\varphi,k)\\
&\qquad + \Big(10k^{2}(1-k^{2})+2(1-k^{2})(2-k^{2})\Big)F(\varphi,k)\Big\}\\
&= \inverse{30k^{4}}\Big\{-2k^{2}(5k^{2}-3k^{2}\cos^{2}(\theta)+2k^{2}-1)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + 2\Big(5k^{2}(2k^{2}-1)-2(k^{4}-k^{2}+1)\Big)E(\varphi,k)\\
&\qquad + 2(1-k^{2})(5k^{2}+2-k^{2})F(\varphi,k)\Big\}\\
&= \inverse{30k^{4}}\Big\{-2k^{2}(3k^{2}\sin^{2}(\theta)+4k^{2}-1)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + 2(8k^{4}-3k^{2}-2)E(\varphi,k) + 4(1-k^{2})(2k^{2}+1)F(\varphi,k)\Big\}\\
&= -\frac{3k^{2}\sin^{2}(\theta)+4k^{2}-1}{15k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + \frac{8k^{4}-3k^{2}-2}{15k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2(1-k^{2})(2k^{2}+1)}{15k^{4}}F(\varphi,k)\\
\end{align*}

\begin{align*}
 J^{(4,0)} &= J^{(2,0)}-J^{(2,2)}\\
&\qquad \inverse{k^{2}}\left(F(\varphi,k)-E(\varphi,k)\right)\\
&\qquad  - \Big(-\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3k^{2}} + \frac{2-k^{2}}{3k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2k^{2}-2}{3k^{4}}F(\varphi,k)\Big)\\
&= \frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{3k^{2}} - \frac{2(1+k^{2})}{3k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2+k^{2}}{3k^{4}}F(\varphi,k)
\end{align*}

$(m,n)=(0,4)$

\begin{align*}
 I^{(0,4)} &= I^{(0,2)}-I^{(2,2)}\\
&= \Big(\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3} + \frac{1+k^{2}}{3k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\Big)\\
&\qquad -\inverse{30k^{4}}\Big\{\Big(2k^{2}(-3k^{2}\cos^{2}(\theta)+2k^{2}-1)\Big)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad\qquad + 4(k^{4}-k^{2}+1)E(\varphi,k) - 2(1-k^{2})(2-k^{2})F(\varphi,k)\Big\}\\
&= \frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{30k^{4}}\Big\{10k^{4}-2k^{2}\big(-3k^{2}\cos^{2}(\theta)+2k^{2}-1)\big)\Big\}\\
&\qquad + \frac{E(\varphi,k)}{30k^{4}}\Big\{10k^{2}(1+k^{2})-4(k^{4}-k^{2}+1)\Big\}\\
&\qquad - \frac{F(\varphi,k)}{30k^{4}}\Big\{10k^{2}(1-k^{2})-2(1-k^{2})(2-k^{2})\Big\}\\
&= \frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{15k^{4}}\big(5k^{2}-(-3k^{2}\cos^{2}(\varphi)+2k^{2}-1)\big)\\
&\qquad + \frac{E(\varphi,k)}{15k^{4}}\big(5k^{2}(1+k^{2})-2(k^{4}-k^{2}+1))\big)\\
&\qquad - \frac{F(\varphi,k)}{15k^{4}}(1-k^{2})\big(5k^{2}-(2-k^{2})\big)\\
&= \frac{3k^{2}\cos^{2}(\varphi)+3k^{2}+1}{15k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + \frac{3k^{4}+7k^{2}-2}{15k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2(1-k^{2})(1-3k^{2})}{15k^{4}}F(\varphi,k)
\end{align*}

\begin{align*}
 J^{(0,4)} &= J^{(0,2)}-J^{(2,2)}\\
&= \Big(\inverse{k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{k^{2}}F(\varphi,k)\Big)\\
&\qquad  - \Big(-\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3k^{2}} + \frac{2-k^{2}}{3k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2k^{2}-2}{3k^{4}}F(\varphi,k)\Big)\\
&= \frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{3k^{2}} - \frac{2(1-2k^{2})}{3k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{(1-k^{2})(2-3k^{2})}{3k^{4}}F(\varphi,k)\\
\end{align*}

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

「三角関数の幾つかの2次無理式の積分 (2017年10月31日 [火]」補足その1

[三角関数の幾つかの2次無理式の積分">] での記号の他に、次の記号を導入する ($m,n$ は非負整数)。

\begin{align*}
 &I^{(m,n)} := \int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta\\
 &J^{(m,n)} := \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)}\\
 &w(x,k) := k^{2}\sin^{2}(x)
\end{align*}

以下、文脈から明らかなときは $\Delta(\theta,k)$ 及び $\Delta(\varphi,k)$ のどちらも $\Delta$ とのみ記するなど、適宜、変数の表示を省略することを、おことわりしておく。

自明な次の等式が成り立つ。

\begin{align*}
 &I^{m,0} = I^{m}_{\mathrm s}, \quad I^{0,n} = I^{n}_{\mathrm c}. \quad I^{(0,0)} = E(\varphi,k)\\
 &J^{m,0} = J^{m}_{\mathrm s}, \quad J^{0,n} = J^{n}_{\mathrm c}, \quad J^{(0,0)} = F(\varphi,k)\\
 &\Delta^{2}\, (:=1-k^{2}\sin^{2}(\theta))\, = k^{\prime2} + k^{2}\cos^{2}(\theta)\\
 &\sin^{2}(\theta) = \frac{1-\Delta^{2}}{k^{2}}, \quad \cos^{2}(\theta) = -\frac{k^{\prime2}-\Delta^{2}}{k^{2}}
\end{align*}

また、$m{\geq}2$ なら、

\begin{align*}
 I^{(m,n)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\sin^{m-2}(\theta)(1-\cos^{2}(\theta))\cos^{n}(\theta){\Delta}d\theta\\
&= I^{(m-2,n)} - I^{(m-2,n+2)}\\
 J^{(m,n)} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\Delta}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m-2}(\theta)(1-\cos^{2}(\theta))\cos^{n}(\theta)}{\Delta}d\theta\\
&= J^{(m-2,n)} - J^{(m-2,n+2)}\\
\end{align*}

$n{\geq}2$ なら

\begin{align*}
 I^{(m,n)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta){\Delta}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n-2}(\theta)(1-\sin^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&= I^{(m,n-2)} - I^{(m+2,n-2)}\\
 J^{(m,n)} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)}{\Delta}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n-2}(\theta)(1-\sin^{2}(\theta))}{\Delta}d\theta\\
&= J^{(m,n-2)} - J^{(m+2,n-2)}
\end{align*}
が成り立つ。

まとめると、$m{\geq}2$ のとき

\begin{align*}
 &I^{m,n} = I^{(m-2,n)} - I^{(m-2,n+2)}\\
 &J^{m,n} = J^{(m-2,n)} - J^{(m-2,n+2)}
\end{align*}

$n{\geq}2$ のとき

\begin{align*}
 &I^{m,n} = I^{(m,n-2)} - I^{(m+2,n-2)}\\
 &J^{m,n} = J^{(m,n-2)} - J^{(m+2,n-2)}
\end{align*}

また

\begin{align*}
 I^{(m,n)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin^{m}(\theta)\cos^{n}{\Delta}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)\Delta^{2}}{\Delta}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)(1-k^{2}\sin^{2}(\theta))}{\Delta}d\theta\\
&= J^{(m,n)} - k^{2}J^{(m+2,n)}\\
 I^{(m,n)} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{m}(\theta)\cos^{n}(\theta)(k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\theta))}{\Delta}d\theta\\
&= k^{\prime2}J^{(m,n)} + k^{2}J^{(m,n+2)}\\
\end{align*}
だから、$I$$J$ との間に、次の基本的な関係式が成立する。

\begin{align*}
 I^{(m,n)} &= J^{(m,n)} - k^{2}J^{(m+2,n)}\\
 I^{(m,n)} &= k^{\prime2}J^{(m,n)} + k^{2}J^{(m,n+2)}\\
\end{align*}

当然、次の逆の関係式が成り立つ。 $m{\geq}2$ の時

\begin{align*}
 J^{(m,n)} &= \inverse{k^{2}}\left(J^{(m-2,n)}-I^{(m-2,n)}\right)
\end{align*}

$n{\geq}2$ の時

\begin{align*}
 J^{(m,n)} &= \inverse{k^{2}}\left(-k^{\prime2}J^{(m,n-2)}+I^{(m,n-2)}\right)
\end{align*}

また [三角関数の幾つかの2次無理式の積分] (2017年10月31日[火]) ) で指摘したように

\begin{align*}
 &I^{(1,0)} = I^{1}_{\mathrm s} = -\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2} - \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta(\varphi,k)}{k+1}\right)\\
 &\qquad\qquad\qquad      = -\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2} + \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
 &I^{(2,0)} = I^{2}_{\mathrm s} = -\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3} + \frac{2k^{2}-1}{3k^{2}}E(\varphi,k) + \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\\
 &I^{(0,1)} = I^{1}_{\mathrm c} = \frac{\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2k}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\\
 &I^{(0,2)} = I^{2}_{\mathrm c} = \frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3} + \frac{1+k^{2}}{3k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\\
 &J^{(1,0)} = J^{1}_{\mathrm s} = \inverse{k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right) = -\inverse{k}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta(\varphi,k)}{k+1}\right)\\
 &J^{(2,0)} = J^{2}_{\mathrm s} = \inverse{k^{2}}\left(F(\varphi,k)-E(\varphi,k)\right)\\
 &J^{(0,1)} = J^{1}_{\mathrm c} = \inverse{k}\arcsin(k\sin(\varphi))\\
 &J^{(0,2)} = J^{2}_{\mathrm c} = \inverse{k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{k^{2}}F(\varphi,k)\\
\end{align*}
である。

以下、前記記事で求めなかった $I^{(m,n)}$ 及び $J^{(m,n)}$ を計算していこう。


まず、前記記事と同様な手法で、$I^{(1,1)}$ を計算すると、次のようになる。

\begin{align*}
 I^{(1,1)} &= \int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\theta)}\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\\
&= \inverse{2k^{2}}\int_{0}^{k^{2}\sin^{2}(\varphi)}\sqrt{1-w}dw\\
&= \inverse{2k^{2}}\Big[-\frac{2}{3}(1-w)^{3/2}\Big]_{0}^{k^{2}\sin^{2}(\varphi)}\\
&= \inverse{3k^{2}}\left(1-(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))^{3/2}\right)\\
&= \inverse{3k^{2}}(1-(\Delta(\varphi,k))^{3})
\end{align*}


実は、これには、簡単な別解がある。つまり、$(\Delta(\theta,k))^{3}$$\theta$ で微分すると、

\[
 \odiff{(\Delta^{3})}{\theta} = 3\Delta^{2}\left(-\frac{k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta}\right) = -3k^{2}\Delta\sin(\theta)\cos(\theta)
\]
だから
\begin{align*}
 I^{(1,1)} &= \int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\odiff{(\Delta^{3})}{\theta}d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\left\{(\Delta(\varphi,k))^{3}-(\Delta(0,k))^{3}\right\}\\
&= \inverse{3k^{2}}\left\{1-(\Delta(\varphi,k))^{3}\right\}\\
\end{align*}


$J^{(1,1)}$ では次のようになる。

\begin{align*}
J^{(1,1)} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)} = \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\theta)}}\\
&= \inverse{2k^{2}}\int_{0}^{k^{2}\sin^{2}(\varphi)}\frac{dw}{\sqrt{1-w}}\\
&= \inverse{k^{2}}\Big[-\sqrt{1-w}\Big]_{0}^{k^{2}\sin^{2}(\varphi)}\\
&= \inverse{k^{2}}(1-\Delta(\varphi,k))
\end{align*}


これも

\[
 \odiff{\Delta}{\theta} = -\frac{k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta}
\]
を使えば、別解
\begin{align*}
 J^{(1,1)} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)}\\
&= -\inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\odiff{\Delta}{\theta}d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}(1-\Delta(\varphi,k))
\end{align*}
が得られる。


\begin{align*}
 J^{(2,1)} &=\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)\cos(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)}\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{(1-(\Delta(\theta,k))^{2})\cos(\theta)d\theta}{k^{2}\Delta(\theta,k)}\\
&= \inverse{k^{2}}\left\{J^{(0,1)}-I^{(0.1)}\right\}\\
&= -\inverse{2k^{2}}\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k) + \inverse{2k^{3}}\arcsin(k\sin(\varphi))\\
\end{align*}


別解:

\begin{align*}
 J^{(2,1)} &=\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)\cos(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)}\\
&= -\inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\left(\odiff{\Delta}{\theta}\right)d\theta\\
&= -\inverse{k^{2}}\left\{\Big[\sin(\theta)\Delta\Big]_{0}^{\varphi} - \int_{0}^{\varphi}\cos(\theta){\Delta}d\theta\right\}\\
&= -\inverse{k^{2}}\left\{\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k) - I^{(0,1)}\right\}\\
&= -\inverse{k^{2}}\left\{\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k) - \frac{\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} - \inverse{2k}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\right\}\\
&= -\inverse{2k^{2}}\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k) + \inverse{2k^{3}}\arcsin(k\sin(\varphi))\\
\end{align*}


\begin{align*}
 J^{(1,2)} &=\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos^{2}(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)}\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)(-k^{\prime2}+(\Delta(\theta,k))^{2})d\theta}{k^{2}\Delta(\theta,k)}\\
&= \inverse{k^{2}}\left\{-k^{\prime2}J^{(1,0)}+I^{(1,0)}\right\}\\
&= \frac{k^{2}-1}{k^{2}}\left\{\inverse{k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\right\}\\
&\qquad +\inverse{k^{2}}\left\{
-\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2} + \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\right\}\\
&= -\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2k^{2}} + \inverse{2k^{2}} - 
\frac{1-k^{2}}{2k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)
\end{align*}


別解:

\begin{align*}
 J^{(1,2)} &=\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)\cos^{2}(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)}\\
&= -\inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)\left(\odiff{\Delta}{\theta}\right)d\theta\\
&= -\inverse{k^{2}}\left\{\Big[\cos(\theta)\Delta(\theta,k)\Big]_{0}^{\varphi} + \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta\right\}\\
&= -\inverse{k^{2}}\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k) + \inverse{k^{2}} - \inverse{k^{2}}I^{(1,0)}\\
&= -\inverse{k^{2}}\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k) + \inverse{k^{2}}\\
&\qquad - \inverse{k^{2}}\left\{-\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2}
+ \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\right\}\\
&= -\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2k^{2}} + \inverse{2k^{2}} - \frac{1-k^{2}}{2k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)
\end{align*}


\begin{align*}
 J^{(2,2)} &=\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)}\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{(1-(\Delta(\theta,k))^{2}))(-k^{\prime2}+(\Delta(\theta,k))^{2})d\theta}{k^{4}\Delta(\theta,k)}\\
\end{align*}

ここで被積分関数を整理すると

\begin{align*}
 &\frac{(1-(\Delta(\theta,k))^{2}))(-k^{\prime2}+(\Delta(\theta,k))^{2})}{k^{4}\Delta(\theta,k)}\\
&\quad = \inverse{k^{4}}\left\{-\frac{k^{\prime2}}{\Delta(\theta,k)} + (1+k^{\prime2})\Delta(\theta,k) - (\Delta(\theta,k))^{3}\right\}\\
&\quad = \inverse{k^{4}}\left\{-\frac{k^{\prime2}}{\Delta(\theta,k)} + (1+k^{\prime2})\Delta(\theta,k) - (1-k^{2}\sin^{2}(\theta))(\Delta(\theta,k))\right\}\\
&\quad = \inverse{k^{4}}\left\{-\frac{1-k^{2}}{\Delta(\theta,k)} + (1-k^{2})\Delta(\theta,k) + k^{2}\sin^{2}(\theta))(\Delta(\theta,k))\right\}\\
\end{align*}

従って

\begin{align*}
%&= \inverse{k^{4}}\int_{0}^{\varphi}\left\{-\frac{k^{\prime2}}{\Delta(\theta,k)} + (1+k^{\prime2})\Delta(\theta,k) - (\Delta(\theta,k))^{3}\right\}d\theta\\
%&= \inverse{k^{4}}\int_{0}^{\varphi}\left\{-\frac{k^{\prime2}}{\Delta(\theta,k)} + (1+k^{\prime2})\Delta(\theta,k) - (1-k^{2}\sin^{2}(\theta))(\Delta(\theta,k))\right\}d\theta\\
J^{(2,2)} &= \inverse{k^{4}}\left\{-(1-k^{2})F(\varphi,k)+(1-k^{2})E(\varphi,k)+k^{2}I^{(2,0)}\right\}\\
&= -\frac{1-k^{2}}{k^{4}}F(\varphi,k) + \frac{1-k^{2}}{k^{4}}E(\varphi,k)\\
&\qquad\qquad\qquad + \inverse{k^{2}}\left\{-\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3}\right.\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad \left.+ \frac{2k^{2}-1}{3k^{2}}E(\varphi,k) + \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k))\right\}\\
&= -\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3k^{2}} + \frac{2-k^{2}}{3k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2k^{2}-2}{3k^{4}}F(\varphi.k)
\end{align*}


別解:

\begin{align*}
 J^{(2,2)} &=\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)d\theta}{\Delta(\theta,k)}\\
&= \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos(\theta)\left(-\inverse{k^{2}}\odiff{\Delta}{\theta}\right)d\theta\\
&= -\inverse{k^{2}}\left\{\Big[\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta(\varphi,k)\Big]_{0}^{\varphi} - \int_{0}^{\varphi}(\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta))\Delta(\varphi,k)d\theta\right\}\\
&= -\inverse{k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k) + \inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}(2\cos^{2}(\theta)-1)\Delta(\varphi,k)d\theta\\
&= -\inverse{k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k) + \frac{2}{k^{2}}I^{(0,2)} - \inverse{k^{2}}E(\varphi,k)\\
&= -\inverse{k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + \frac{2}{k^{2}}\left\{\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3} + \frac{1+k^{2}}{3k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\right\}\\
&\qquad - \inverse{k^{2}}E(\varphi,k)\\
&= -\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3k^{2}} + \frac{2-k^{2}}{3k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2k^{2}-2}{3k^{4}}F(\varphi,k)
\end{align*}


\begin{align*}
 I^{(2,1)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\cos(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}(1-(\Delta(\theta,k))^{2})\cos(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}\left\{\int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\cos(\theta)d\theta - \int_{0}^{\varphi}(\Delta(\theta,k))^{3}\cos(\theta)d\theta\right\}\\
&= \inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\cos(\theta)d\theta - \inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}(\Delta(\theta,k))^{3}(\sin(\theta))^{\prime}d\theta\\
&=\inverse{k^{2}}I^{(0,1)} -\inverse{k^{2}}\Big[(\Delta(\theta,k))^{3}\sin(\theta)\Big]_{0}^{\varphi}
+\inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}((\Delta(\theta,k))^{3})^{\prime}\sin(\theta)d\theta\\
&=\inverse{k^{2}}I^{(0,1)} -\inverse{k^{2}}(\Delta(\varphi,k))^{3}\sin(\varphi)\\
&\qquad\qquad\qquad -\inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\left\{\Big(3(\Delta(\theta,k))^{2}\Big)\left(\frac{k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta(\theta,k)}\right)\sin(\theta)\right\}d\theta\\
&=\inverse{k^{2}}I^{(0,1)} - \inverse{k^{2}}(\Delta(\varphi,k))(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))\sin(\varphi)-3I^{(2,1)}\\
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 I^{(2,1)} &=\inverse{4}\left\{\inverse{k^{2}}I^{(0,1)} - \inverse{k^{2}}(\Delta(\varphi,k))(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))\sin(\varphi)\right\}\\
&= \inverse{4k^{2}}\left\{\frac{\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2k}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\right\}\\
&\qquad\qquad\qquad  - \inverse{4k^{2}}(\Delta(\varphi,k))(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))\sin(\varphi)\\
&= \inverse{8k^{2}}(\Delta(\varphi,k))(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1)\sin(\varphi) + \inverse{8k^{3}}{\arcsin(k\sin(\varphi))}
\end{align*}


別解:

\begin{align*}
 I^{(2,1)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\cos(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\left(\odiff{(\Delta^{3})}{\theta}\right)d\theta\\
 &= -\inverse{3k^{2}}\left\{\Big[\sin(\theta)\Delta^{3}\Big]_{0}^{\varphi} - \int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)\Delta^{3}d\theta\right\}\\
&= -\inverse{3k^{2}}\sin(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3} + \inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)(1-k^{2}\sin^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\sin(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3} + \inverse{3k^{2}}I^{(0,1)} - \inverse{3}I^{(2,1)}\\
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 I^{(2,1)} &= \frac{3}{4}\left\{-\inverse{3k^{2}}\sin(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3} + \inverse{3k^{2}}I^{(0,1)}\right\}\\
&= -\inverse{4k^{2}}\sin(\varphi)(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))(\Delta(\varphi,k))\\
&\qquad\qquad + \inverse{4k^{2}}\left\{ \frac{\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2k}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\right\}\\
&= \inverse{8k^{2}}(\Delta(\varphi,k))(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1)\sin(\varphi) + \inverse{8k^{3}}{\arcsin(k\sin(\varphi))}
\end{align*}


\begin{align*}
 I^{(1,2)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos^{2}(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)(-k^{\prime2}+(\Delta(\theta,k))^{2})\Delta(\theta,k)d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}\left\{-k^{\prime2}\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta + \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)(\Delta(\theta,k))^{3}d\theta\right\}\\
&= -\frac{k^{\prime2}}{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta
 + \inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}(-\cos(\theta))^{\prime}(\Delta(\theta,k))^{3}d\theta\\
&=-\frac{k^{\prime2}}{k^{2}}I^{(1,0)} +\inverse{k^{2}}\Big[-\cos(\theta)(\Delta(\theta,k))^{3}\Big]_{0}^{\varphi}+\inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)\left(\odiff{(\Delta^{3})}{\theta}\right)d\theta\\
&=-\frac{k^{\prime2}}{k^{2}}I^{(1,0)} -\inverse{k^{2}}\left\{\cos(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3}-1\right\}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad -\inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)(3(\Delta(\theta,k))^{2})\left\{\frac{k^{2}\sin(\varphi)\cos(\phi)}{\Delta(\theta,k)}\right\}d\theta\\
&=-\frac{k^{\prime2}}{k^{2}}I^{(1,0)} - \inverse{k^{2}}\cos(\varphi)(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))(\Delta(\varphi,k)) + \inverse{k^{2}} -3I^{(1,2)}\\
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 I^{(1,2)} &= \inverse{4}\left\{-\frac{k^{\prime2}}{k^{2}}I^{(1,0)} - \inverse{k^{2}}\cos(\varphi)(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))(\Delta(\varphi,k)) + \inverse{k^{2}}\right\}\\
&= \inverse{4}\left\{-\frac{1-k^{2}}{k^{2}}
\left\{-\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2} + \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\right\}\right.\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad \left. - \inverse{k^{2}}\cos(\varphi)(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))(\Delta(\varphi,k)) + \inverse{k^{2}}\right\}\\
&= \inverse{4}\left\{\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2k^{2}}(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1-k^{2}) + \frac{1+k^{2}}{2k^{2}}\right.\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad \left.- \frac{(1-k^{2})^{2}}{2k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\right\}\\
&= \frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{8k^{2}}(2k^{2}\sin^{2}(\varphi)-1-k^{2}) + \frac{1+k^{2}}{8k^{2}}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{(1-k^{2})^{2}}{8k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
&= -\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{8k^{2}}(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+1-k^{2}) + \frac{1+k^{2}}{8k^{2}}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{(1-k^{2})^{2}}{8k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
%&= -\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{8k^{2}}(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+1-k^{2}) + \frac{1+k^{2}}{8k^{2}}\\
%&\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{(1-k^{2})^{2}}{8k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
\end{align*}


別解:

\begin{align*}
 I^{(1,2)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos^{2}(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)\left(\odiff{(\Delta^{3})}{\theta}\right)d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\left\{\Big[\cos(\theta)(\Delta^{3})\Big]_{0}^{\varphi} + \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)(\Delta^{3})d\theta\right\}\\
&= -\inverse{3k^{2}}\left\{\cos(\varphi)(\Delta(\varphi,k)^{3})-1\right\} - \inverse{3k^{2}} \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)(k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\cos(\varphi)(k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi))\Delta(\varphi,k) + \inverse{3k^{2}} - \frac{k^{\prime2}}{3k^{2}}I^{(1,0)} - \inverse{3}I^{(1,2)}
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 I^{(1,2)} &= \frac{3}{4}\left\{-\inverse{3k^{2}}\cos(\varphi)(k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi))\Delta(\varphi,k) + \inverse{3k^{2}} - \frac{k^{\prime2}}{3k^{2}}I^{(1,0)}\right\}\\
&= \frac{3}{4}\left\{-\inverse{3k^{2}}\cos(\varphi)(k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi))\Delta(\varphi,k) + \inverse{3k^{2}}\right.\\
& \qquad\qquad - \left.\frac{k^{\prime2}}{3k^{2}}\left\{-\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2} + \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\right\}\right\}\\
&= \frac{3}{4}\left\{-\inverse{3k^{2}}\cos(\varphi)\left(k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi)-\inverse{2}k^{\prime2}\right)\Delta(\varphi,k) + \inverse{3k^{2}}\left(1-\frac{k^{\prime2}}{2}\right)\right.\\
&\qquad\qquad - \left.\frac{k^{\prime2}}{3k^{2}}\cdot\frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)
\right\}\\
&= -\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{8k^{2}}(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+1-k^{2}) + \frac{1+k^{2}}{8k^{2}}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{(1-k^{2})^{2}}{8k^{3}}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
\end{align*}


\begin{align*}
 I^{(2,2)} &=\int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta){\Delta}d\theta = \inverse{4}\int_{0}^{\varphi}(\sin(2\theta))^{2}{\Delta}d\theta\\
&= \inverse{4}\int_{0}^{\varphi}\left(\frac{1-\cos(4\theta)}{2}\right){\Delta}d\theta\\
&= \inverse{8}\left\{\int_{0}^{\varphi}{\Delta}d\theta - \int_{0}^{\varphi}\cos(4\theta){\Delta}d\theta\right\}\\
&= \inverse{8}\left\{E(\varphi,k) - \inverse{4}\int_{0}^{\varphi}(\sin(4\theta))^{\prime}{\Delta}d\theta\right\}\\
&= \inverse{8}E(\varphi,k) - \inverse{32}\left\{\Big[\sin(4\theta)\Delta\Big]_{0}^{\varphi} + k^{2}\int_{0}^{\varphi}\sin(4\theta)\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta}d\theta\right\}\\
&= \inverse{8}E(\varphi,k) - \inverse{32}\sin(4\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad - \frac{k^{2}}{8}\int_{0}^{\varphi}\left\{\sin(\theta)\cos(\theta)\left\{\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)\right\}\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta}\right\}d\theta\\
&= \inverse{8}E(\varphi,k) - \inverse{8}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\left\{\cos^{2}(\varphi)-\sin^{2}(\varphi)\right\}\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad - \frac{k^{2}}{8}\int_{0}^{\varphi}\left\{\frac{\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)\left\{\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)\right\}}{\Delta}\right\}d\theta\\
\end{align*}

しかるに

\begin{align*}
 \cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta) &= \frac{k^{2}-1+\Delta^{2}}{k^{2}} - \frac{1-\Delta^{2}}{k^{2}}\\
&= \frac{-2+k^{2}+2\Delta^{2}}{k^{2}}
\end{align*}

だから

\[
 \frac{\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)}{\Delta} = \frac{-2+k^{2}+2\Delta^{2}}{k^{2}\Delta} = \frac{-2+k^{2}}{k^{2}}\inverse{\Delta} + \frac{2}{k^{2}}\Delta
\]
なので

\begin{align*}
 I^{(2,2)} &= \inverse{8}E(\varphi,k) - \inverse{8}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\left\{\cos^{2}(\varphi)-\sin^{2}(\varphi\right\}\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad - \frac{k^{2}}{8}\int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)\left\{\frac{-2+k^{2}}{k^{2}}\inverse{\Delta} + \frac{2}{k^{2}}\Delta\right\}d\theta\\
&= \inverse{8}E(\varphi,k) - \inverse{8}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\left\{\cos^{2}(\varphi)-\sin^{2}(\varphi)\right\}\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad - \frac{-2+k^{2}}{8}J^{(2,2)} - \inverse{4}I^{(2,2)}
\end{align*}

結局

\begin{align*}
 I^{(2,2)} &= \frac{4}{5}
\left\{\inverse{8}E(\varphi,k) - \inverse{8}\sin(\varphi)\cos(\varphi)\left\{\cos^{2}(\varphi)-\sin^{2}(\varphi)\right\}\Delta(\varphi,k)\right.\\
&\qquad - \left.\frac{-2+k^{2}}{8}\left(-\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3k^{2}} + \frac{2-k^{2}}{3k^{4}}E(\varphi,k) + \frac{2k^{2}-2}{3k^{4}}F(\varphi,k)\right)\right\}\\
&= \inverse{10}\left\{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\left(-(\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta))+\frac{-2+k^{2}}{3k^{2}}\right)\right.\\
&\qquad + \left.\left(1+\frac{(2-k^{2})^{2}}{3k^{4}}\right)E(\varphi,k) -\frac{(2k^{2}-2)(-2+k^{2})}{3k^{4}}F(\varphi,k)\right\}\\
&= \inverse{30k^{4}}\Big\{\Big(-(\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta))(3k^{4})+(-2+k^{2})(k^{2})\Big)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + \Big(3k^{4}+(2-k^{2})^{2}\Big)E(\varphi,k) - 2(1-k^{2})(2-k^{2})F(\varphi,k)\Big\}\\
&= \inverse{30k^{4}}\Big\{\Big(2k^{2}(-3k^{2}\cos^{2}(\theta)+2k^{2}-1)\Big)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + 4(k^{4}-k^{2}+1)E(\varphi,k) - 2(1-k^{2})(2-k^{2})F(\varphi,k)\Big\}\\
\end{align*}

若干変形して

\begin{align*}
 I^{(2,2)} &= \inverse{15k^{2}}\Big\{(-3k^{2}\cos^{2}(\theta)+2k^{2}-1)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad + \frac{2(k^{4}-k^{2}+1)}{k^2}E(\varphi,k) - \frac{(1-k^{2})(2-k^{2})}{k^{2}}F(\varphi,k)\Big\}\\
\end{align*}


別解:

\begin{align*}
 I^{(2,2)} &=\int_{0}^{\varphi}\sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)\Delta(\theta,k)d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\cos(\theta)\left\{-\inverse{3k^{2}}\odiff{(\Delta^{3})}{\theta}\right\}d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\left\{\Big[\sin(\theta)\cos(\theta)\Delta^{3}\Big]_{0}^{\varphi} - \int_{0}^{\varphi}(\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)){\Delta^{3}}d\theta\right\}\\
&= -\inverse{3k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)(\Delta(\varphi,k)^{3}) + \inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}(2\cos^{2}(\theta)-1){\Delta^{3}}d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)(\Delta(\varphi,k)^{3})\\
&\qquad\qquad + \inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}(2\cos^{2}(\theta)-1)(1-k^{2}\sin^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&= -\inverse{3k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)(\Delta(\varphi,k)^{3})\\
&\qquad\qquad + \inverse{3k^{2}}\left\{-2k^{2}I^{(2,2)}+k^{2}I^{(2,0)}+2I^{(0,2)}-E(\varphi,k)\right\}\\
\end{align*}

ところが

\begin{align*}
 &k^{2}I^{(2,0)}+2I^{(0,2)}\\
&\quad = k^{2}\left\{-\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3} + \frac{2k^{2}-1}{3k^{2}}E(\varphi,k) + \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\right\}\\
&\qquad\qquad + 2\left\{\frac{\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{3} + \frac{1+k^{2}}{3k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)\right\}\\
&\quad = \frac{-k^{2}+2}{3}(\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi))\\
&\qquad\qquad + \frac{2k^{4}+k^{2}+2}{3k^{2}}E(\varphi,k) + \frac{-k^{4}+3k^{2}-2}{3k^{2}}F(\varphi,k)
\end{align*}

だから

\begin{align*}
 I^{(2,2)} &= \frac{3}{5}\left\{-\inverse{3k^{2}}\sin(\varphi)\cos(\varphi)(1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\theta))\Delta(\varphi,k)\right.\\
&\qquad\qquad + \inverse{3k^{2}}\left\{\frac{-k^{2}+2}{3}(\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi))\right.\\
&\qquad\qquad\qquad + \left.\left.\frac{2k^{4}+k^{2}+2}{3k^{2}}E(\varphi,k) + \frac{-k^{4}+3k^{2}-2}{3k^{2}}F(\varphi,k)
-E(\varphi,k)\right\}\right\}\\
&= \inverse{15k^{2}}\Big\{(-3k^{2}\cos^{2}(\varphi)+2k^{2}-1)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)\\
&\qquad\qquad + \frac{2(k^{4}-k^{2}+1)}{k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{(1-k^{2})(2-k^{2})}{k^{2}}F(\varphi,k)\Big\}
\end{align*}


\begin{align*}
 J^{(3,0)} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{3}(\theta)d\theta}{\Delta}\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)}{\Delta}\left(\frac{1-\Delta^{2}}{k^{2}}\right)d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}\left\{\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)d\theta}{\Delta} - \int_{0}^{\varphi}\Delta\sin(\theta)d\theta\right\}\\
&= \inverse{k^{2}}(J^{(1,0)} - I^{(1,0)})\\
&= \inverse{2k^{2}}(\cos(\varphi)\Delta-1) - \frac{1+k^{2}}{2k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta}{k+1}\right)
\end{align*}


同様に

\begin{align*}
 J^{(0,3)} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\cos^{3}(\theta)d\theta}{\Delta}\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\cos(\theta)}{\Delta}\left(\frac{-k^{\prime2}+\Delta^{2}}{k^{2}}\right)d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}\left\{-k^{\prime2}\int_{0}^{\varphi}\frac{\cos(\theta)d\theta}{\Delta} + \int_{0}^{\varphi}\Delta\cos(\theta)d\theta\right\}\\
&= \inverse{k^{2}}(-k^{\prime2}J^{(0,1)} + I^{(0,1)})\\
&= \frac{\sin(\varphi)\Delta}{2k^{2}} + \frac{2k^{2}-1}{2k^{3}}\arcsin(k\sin(\varphi))
\end{align*}


\begin{align*}
 I^{(3,0)} &= \int_{0}^{\varphi}\sin^{3}(\theta){\Delta}d\theta = \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)(1-\cos^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&\qquad = I^{(1,0)} - \int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)(\sin(\theta)\cos(\theta)){\Delta}d\theta\\
&\qquad = I^{(1,0)} + \inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)\left(\odiff{(\Delta^{3})}{\theta}\right)d\theta\\
&\qquad = I^{(1,0)} + \inverse{3k^{2}}\left\{\Big[\cos(\theta)\Delta^{3}\Big]_{0}^{\varphi} + \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)(1-k^{2}\sin^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\right\}\\
&\qquad = I^{(1,0)} + \inverse{3k^{2}}\left(\cos(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3}-1\right) + \inverse{3k^{2}}I^{(1,0)} - \inverse{3}I^{(3,0)}
\end{align*}

従って

\[
 \frac{4}{3}I^{(3,0)} = \inverse{3k^{2}}\left(\cos(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3}-1\right) + \frac{3k^{2}+1}{3k^{2}}I^{(1,0)}
\]

つまり

\begin{align*}
 I^{(3,0)} &= \inverse{4k^{2}}\left(\cos(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3}-1\right) + \frac{3k^{2}+1}{4k^{2}}I^{(1,0)}
\end{align*}


以下、暫くの間、$m+n$ を「階数」と呼んでおくと、これまでの $I^{(m,n)}$ 又は $J^{(m,n)}$ の計算で分かるように、その「取り敢えずの」表式には、より低い階数の $I^{(m,n)}$ 又は $J^{(m,n)}$ が登場する。つまり、$I^{(m,n)}$ 又は $J^{(m,n)}$ の表式は、漸化式として成立している。いままでは、そうした得られた階数が十分低くて扱いやすかったので、 その $I^{(m,n)}$ 及び/又は $J^{(m,n)}$ を更に開いた訣だ。しかし、今後、ヨリ高階数となった場合には、漸化式のまま表示することを視野に入れるべきだろう。ここでも、勿論、このまま、漸化式の形で表示したままてもよいのだが、右辺の「印象」にまだ「余裕」があるので、ひとまずは、両方の形式を見比べると云う意味もあって、右辺における $\Delta$ の次数を 1 まで引き下げ、また、$I^{(1,0)}$ を開くなら

\begin{align*}
 I^{(3,0)} &= \inverse{4k^{2}}\left\{\cos(\varphi)(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))(\Delta(\varphi,k))-1\right\}\\
&\qquad + \frac{3k^{2}+1}{4k^{2}}\left\{
-\frac{\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2} - \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta(\varphi,k)}{k+1}\right)\right\}\\
&= -\frac{2k^{2}\sin^{2}(\varphi)+3k^{2}-1}{8k^{2}}\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k) + \frac{3k^{2}-1}{8k^{2}}\\
&\qquad + \frac{3k^{4}-2k^{2}-1}{8k^{3}}\ln\left(\frac{k\cos(\varphi)+\Delta(\varphi,k)}{k+1}\right)
\end{align*}
となる。


\begin{align*}
 I^{(0,3)}&= \int_{0}^{\varphi}\cos^{3}(\theta){\Delta}d\theta = \int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)(1-\sin^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\\
&\qquad = I^{(0,1)} - \int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)(\sin(\theta)\cos(\theta)){\Delta}d\theta\\
&\qquad = I^{(0,1)} + \inverse{3k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\sin(\theta)\left(\odiff{(\Delta^{3})}{\theta}\right)d\theta\\
&\qquad = I^{(0,1)} + \inverse{3k^{2}}\left\{\Big[\sin(\theta)\Delta^{3}\Big]_{0}^{\varphi} - \int_{0}^{\varphi}\cos(\theta)(k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\theta)){\Delta}d\theta\right\}\\
&\qquad = I^{(0,1)} + \frac{\sin(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3}}{3k^{2}} - \frac{k^{\prime2}}{3k^{2}}I^{(0,1)} - \inverse{3}I^{(0,3)}
\end{align*}

従って

\begin{align*}
 \frac{4}{3}I^{(0,3)} = \frac{\sin(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3}}{3k^{2}} + \frac{4k^{2}-1}{3k^{2}}I^{(0,1)}
\end{align*}

つまり

\begin{align*}
 I^{(0,3)} = \frac{\sin(\varphi)(\Delta(\varphi,k))^{3}}{4k^{2}} + \frac{4k^{2}-1}{4k^{2}}I^{(0,1)}
\end{align*}

ここで、右辺における $\Delta$ の次数を 1 まで引き下げ、また、$I^{(0,1)}$ を開くと

\begin{align*}
 I^{(0,3)} &= \frac{\sin(\varphi)(\Delta(\varphi,k))}{4k^{2}}(1-k^{2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi))\\
&\qquad + \frac{4k^{2}-1}{4k^{2}}\left\{
\frac{\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2k}{\arcsin(k\sin(\varphi))}\right\}\\
&\qquad = \frac{\sin(\varphi)(\Delta(\varphi,k))}{8k^{2}}(2k^{2}\cos^{2}(\varphi)+2k^{2}+1) + \frac{4k^{2}-1}{8k^{3}}{\arcsin(k\sin(\varphi))}
\end{align*}

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

三角関数の幾つかの2次無理式の積分

記事になるネタがないので、最近行った、幾つかの三角関数の無理式の積分計算をそのままアップする。

初めに、記号を決めておこう。

\begin{align*}
&0<k<1, 0<k^{\prime}<1, k^{2}+k^{\prime{2}}=1, 0\leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\\
&u(x) := k\sin(x), v(x) :=k\cos(x)\\
&\Delta(x,k) := \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}x} = \sqrt{1-(u(x))^{2}} = \sqrt{k^{\prime2}+(v(x))^{2}}\\
&E(\varphi,k) := \int_{0}^{\varphi}\Delta({\theta},k)d\theta, \quad F(\varphi,k) := \int_{0}^{\varphi}\frac{d\theta}{\Delta({\theta},k)}\\
&I_{\mathrm s}^{n} := \int_{0}^{\varphi}\Delta({\theta},k)\sin^{n}(\theta)d\theta, \quad I_{\mathrm c}^{n} := \int_{0}^{\varphi}\Delta({\theta},k)\cos^{n}(\theta)d\theta\\
&J_{\mathrm s}^{n} := \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{n}(\theta)}{\Delta({\theta},k)}d\theta, \quad J_{\mathrm c}^{n} := \int_{0}^{\varphi}\frac{\cos^{n}(\theta)}{\Delta({\theta},k)}d\theta\\
%&I_{\mathrm s}^{2} := \int_{0}^{\varphi}\Delta({\theta},k)\sin^{2}(\theta)d\theta, \quad I_{\mathrm c}^{2} := \int_{0}^{\varphi}\Delta({\theta},k)\cos^{2}(\theta)d\theta\\
\end{align*}

ここで、F(\varphi,k)E(\varphi,k) とが、それぞれ Legendre の第1種楕円積分と第2種楕円積分であるのは周知のとおり。そして、自明ながら、次の式が成り立っていることを注意しておく。

I_{\mathrm s}^{0} = I_{\mathrm c}^{0} = E(\varphi,k), \qquad J_{\mathrm s}^{0} = J_{\mathrm c}^{0} = F(\varphi,k)

I_{\mathrm s}^{2} + I_{\mathrm c}^{2} = E(\varphi,k), \qquad  J_{\mathrm s}^{2} + J_{\mathrm c}^{2} = F(\varphi,k)

以下では、I_{\mathrm s}^{n}, I_{\mathrm c}^{n}, J_{\mathrm s}^{n} 及び J_{\mathrm c}^{n} について、n=1,2 の場合の計算を行う。

下記の計算で用いる主な関係式は,次の通りの簡単なものだ。

\begin{align*}
 &\sin^{2}\theta = \frac{1 - (\Delta(\theta.k))^{2}}{k^2}\\
 &\cos^{2}\theta = 1 - \frac{1 - (\Delta(\theta.k))^{2}}{k^{2}} = \frac{-k^{\prime2} + (\Delta(\theta.k))^{2}}{k^{2}}\\
 &\odiff{\Delta}{\theta}(\theta,k) = -\frac{k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta(\theta,k)} = -\frac{u(\theta)v(\theta)}{\Delta(\theta,k)}\\
 &\odiff{u}{\theta}(\theta) = v(\theta), \quad \frac{du}{k} = \cos(\theta)d\theta\\
 &\odiff{v}{\theta}(\theta) = -u(\theta), \quad \frac{dv}{k} = -\sin(\theta)d\theta
\end{align*}

では、順次計算していこう。


\begin{align*}
 J^{1}_{\mathrm c} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\cos(\theta)}{\Delta(\theta,k)}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\cos(\theta)}{\sqrt{1-(u(\theta))^{2}}}d\theta\\
&= \inverse{k}\int_{0}^{k\sin(\varphi)}\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\\
&= \inverse{k}\arcsin(k\sin(\varphi))\\
\end{align*}


\begin{align*}
 J^{1}_{\mathrm s} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)}{\Delta(\theta,k)}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin(\theta)}{\sqrt{k^{\prime2}+(v(\theta))^{2}}}d\theta\\
&= -\inverse{k}\int_{k}^{k\cos(\varphi)}\frac{v}{\sqrt{k^{\prime2}+v^{2}}}dv\\
&= -\inverse{k}\left[\ln(v+\sqrt{k^{\prime2}+v^{2}})\right]_{k}^{k\cos(\varphi)}\\
&= \inverse{k}\ln\left(\frac{k+\sqrt{k^{\prime2}+k^{2}}}{k\cos(\varphi)+\sqrt{k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi)}}\right)\\
%&= \inverse{k}\ln\left(\frac{k+\sqrt{k^{\prime2}+k^{2}}}{k\cos(\varphi)+\sqrt{k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi)}}\right)\\
&= \inverse{k}\ln\left(\frac{k+1}{k\cos(\varphi)+\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\varphi)}}\right)\\
&= \inverse{k}\ln\left(\frac{(k+1)\left(k\cos(\varphi)-\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\varphi)}\right)}{k^{2}\cos^{2}(\varphi)-(1-k^{2}\sin^{2}(\varphi))}\right)\\
&= \inverse{k}\ln\left(\frac{(k+1)\left(k\cos(\varphi)-\Delta(\varphi,k)\right)}{k^{2}-1}\right)\\
&= \inverse{k}\ln\left(\frac{\Delta(\varphi,k)-k\cos(\varphi)}{1-k}\right)\\
\end{align*}


\begin{align*}
 I^{1}_{\mathrm c} &= \int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\cos(\theta)d\theta\\
&= \inverse{k}\int_{0}^{k\sin(\varphi)}\sqrt{1-u^{2}}du\\
&= \inverse{k}\left[\inverse{2}\left(u\sqrt{1-u^{2}}+\arcsin(u)\right)\right]_{0}^{k\sin(\varphi)}\\
&= \inverse{2k}\left(k\sin(\varphi)\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(\varphi)} + \arcsin(k\sin(\varphi))\right)\\
&= \frac{\sin(\varphi)\Delta(\varphi,k)}{2} + \inverse{2k}\arcsin(k\sin(\varphi))
\end{align*}


\begin{align*}
 I^{1}_{\mathrm s} &= \int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\sin(\theta)d\theta\\
&= -\inverse{k}\int_{k}^{k\cos(\varphi)}\sqrt{k^{\prime2}+v^{2}}dv\\
&= -\inverse{k}\left\{\inverse{2}\left[v\sqrt{k^{\prime2}+v^{2}} + k^{\prime2}\ln(v+\sqrt{k^{\prime2}+v^{2}})\right]_{k}^{k\cos(\varphi)}\right\}\\
&= -\inverse{2k}\left\{k\cos(\varphi)\sqrt{k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi)} - k\sqrt{k^{\prime2}+k^{2}}\right\}\\
&\qquad\qquad\qquad - \frac{k^{\prime2}}{2k}\ln\left\{\frac{k\cos(\varphi) + \sqrt{k^{\prime2}+k^{2}\cos^{2}(\varphi)}}{k+\sqrt{k^{\prime2}+k^{2}}}\right\}\\
&= -\inverse{2}\cos(\varphi)\Delta(\varphi,k) + \inverse{2} - \frac{1-k^{2}}{2k}\ln\left\{\frac{k\cos(\varphi)+\Delta(\varphi,k)}{k+1}\right\}
\end{align*}


\begin{align*}
 J^{2}_{\mathrm s} &= \int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^{2}(\theta)}{\Delta(\theta,k)}d\theta\\
&= \int_{0}^{\varphi}\inverse{\Delta(\theta,k)}\left\{\inverse{k^{2}}(1-(1-k^{2}\sin^{2}(\theta))\right\}d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\left(\inverse{\Delta(\theta,k)} - \Delta(\theta,k)\right)d\theta\\
&= \inverse{k^{2}}\left(F(\varphi,k)-E(\varphi,k)\right)
\end{align*}


\begin{align*}
 J^{2}_{\mathrm c} &= F(\varphi,k) - J^{2}_{\mathrm s}\\
&=(1-\inverse{k^{2}})F(\varphi,k) + \inverse{k^{2}}E(\varphi,k)\\
&=\inverse{k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{k^{2}}F(\varphi,k)
\end{align*}


\begin{align*}
 I^{2}_{\mathrm c} &= \int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\cos^{2}(\theta)d\theta = \int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\left(\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\right)d\theta\\
&=\inverse{2}\int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)d\theta + \inverse{2}\int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\cos(2\theta)d\theta\\
&=\inverse{2}E(\varphi,k) + \inverse{2}\int_{0}^{\varphi}\Delta(\theta,k)\left(\inverse{2}\sin(2\theta)\right)^{\prime}d\theta\\
&=\inverse{2}E(\varphi,k) + \inverse{4}\left\{\left[\Delta(\theta,k)\sin(2\theta)\right]_{0}^{\varphi} - \int_{0}^{\varphi}
\left(\Delta(\theta,k)\right)^{\prime}\sin(2\theta)d\theta\right\}\\
&=\inverse{2}E(\varphi,k) + \inverse{4}\left[\Delta(\theta,k)\sin(2\theta)\right]_{0}^{\varphi}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad + \inverse{4}\int_{0}^{\varphi}\frac{k^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)}{\Delta(\theta,k)}\sin(2\theta)d\theta\\
&=\inverse{2}E(\varphi,k) + \inverse{4}\Delta(\varphi,k)\sin(2\varphi)\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{k^{2}}{2}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}{\Delta(\theta,k)}d\theta\\
&=\inverse{2}E(\varphi,k) + \inverse{2}\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{k^{2}}{2}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}{\Delta(\theta,k)}d\theta
\end{align*}

しかるに
\begin{align*}
 &\frac{k^{2}}{2}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}{\Delta(\theta,k)}d\theta\\
&\quad = \frac{k^{2}}{2}\int_{0}^{\varphi}\left(\inverse{{\Delta(\theta,k)}}\right)\left(\frac{1 - (\Delta(x.k))^{2}}{k^2}\right)\left(\frac{-k^{\prime2} + (\Delta(x.k))^{2}}{k^{2}}\right)d\theta\\
&\quad = \inverse{2k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\left(\inverse{\Delta(\theta,k)}\right)\left(-k^{\prime2} + (1+k^{\prime2})(\Delta(x.k))^{2} - (\Delta(x.k))^{4}\right)d\theta\\
&\quad = -\frac{k^{\prime2}}{2k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\frac{d\theta}{\Delta(\theta,k)} + \frac{1+k^{\prime2}}{2k^{2}}\int_{0}^{\varphi}\Delta(x.k)d\theta\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad - \inverse{2k^{2}}\int_{0}^{\varphi}(1-k^{2}\sin^{2}\theta)\Delta(x.k)d\theta\\
&\quad = -\frac{k^{\prime2}}{2k^{2}}F(\varphi,k) + \frac{k^{\prime2}}{2k^{2}}E(\varphi,k) + \inverse{2}\int_{0}^{\varphi}\sin^{2}\theta\Delta(x.k)d\theta\\
&\quad = -\frac{k^{\prime2}}{2k^{2}}F(\varphi,k) + \frac{k^{\prime2}}{2k^{2}}E(\varphi,k) + \inverse{2}\int_{0}^{\varphi}(1 - \cos^{2}\theta)\Delta(x.k)d\theta\\
&\quad = -\frac{k^{\prime2}}{2k^{2}}F(\varphi,k) + \left(\frac{k^{\prime2}}{2k^{2}} + \inverse{2}\right)E(\varphi,k) - \inverse{2}I^{2}_{\mathrm c}\\
\end{align*}
だから、まとめると
\begin{align*}
\frac{3}{2}I^{2}_{\mathrm c} &= \inverse{2}E(\varphi,k) + \inverse{2}\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\\
&\qquad\qquad + \left(-\frac{k^{\prime2}}{2k^{2}}F(\varphi,k) + \left(\frac{k^{\prime2}}{2k^{2}} + \inverse{2}\right)E(\varphi,k)\right)\\
&= \inverse{2}\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi) + \left(\frac{k^{\prime2}+2k^{2}}{2k^{2}}\right)E(\varphi,k) - \frac{k^{\prime2}}{2k^{2}}F(\varphi,k)\\
&= \inverse{2}\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi) + \frac{1+k^{2}}{2k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{2k^{2}}F(\varphi,k)
\end{align*}
となる。

結局
\begin{align*}
 I^{2}_{\mathrm c} = \inverse{3}\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi) + \frac{1+k^{2}}{3k^{2}}E(\varphi,k) - \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)
\end{align*}
が得られる。


\begin{align*}
 I^{2}_{\mathrm s} &= E(\varphi,k) - I^{2}_{\mathrm c}\\
 &= -\inverse{3}\Delta(\varphi,k)\sin(\varphi)\cos(\varphi) + \frac{2k^{2}-1}{3k^{2}}E(\varphi,k) + \frac{1-k^{2}}{3k^{2}}F(\varphi,k)
\end{align*}\end{align*}


| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

メモ:岩波全書[数学公式 III] p.48 におけるヤコビのテータ関数の虚変換公式の誤り

本稿の草稿段階で、用語「Jacobi の虚変換」と「Jacobi の虚数変換」のどちらがヨリ広く通用しているのだろうと、google 検索してみたら、ウィキペディアに「ヤコビの虚数変換式」と云う項目が立てられていて、そこで、本稿の主題である [数学公式III] の誤りのことが指摘されていることに気が付いた (以前にも、テータ関数に就いてネットで調べたことがあるのは、下記にある通りだが、その時は見落としたらしい)。従って、本稿を書く意味はホボ無くなっている。しかし、新たに記事のネタを考えるのもメンドーなので、今までに書いた草稿を少しくドレッシングして投稿することにする。

更に、いきなり話を混線させるようなことをして申し訣ないが、[数学公式III] での誤りとは別に、ウィキペディア「ヤコビの虚数変換式」の第2の式 (つまり $\vartheta_{1}$ に就いての式) の右辺冒頭のマイナス符号は不要である。ウィキペディア [テータ関数] の小節 [恒等式] では正しく示されているので、それを参照されたい。

岩波書店発行 [数学公式III] (1960年。著者: 森口 繁一, 一松 信, 宇田川 銈久。新装版が 1987年に発行されている) は、もっぱら [特殊関数] に関わる。この記事は、新装版に基づいている (1960年版も所持しているのだが、現在手元に見当たらない)。

その [第II篇楕円関数第2章](pp.46-51) は 「楕円テータ関数」を扱うが、p.48 に示されている「Jacobi の虚変換」の恒等式は次の通りである。

Jacobis_imaginary_transformation_false

しかし、この内、第2の式は誤っており、第1の式を含め、全体として、次のようにすべきである。

Jacobis_imaginary_transformation_true

「Jacobi の虚数変換式」([数学公式III] では「Jacobi の虚変換」) と云う通り名があるくらいの公式で、誤植レベルを超えた瑕疵があるのは、やや面妖ではある。更に、この恒等式は、モジュラー形式に至る「数学の大道」にあることに思いを致すなら、この間違いの [面妖さ] は倍増する。

まぁ、それでも、これを「編集ミス」レベルと言ってしまったら、「編集ミスレベル」になる。人間、間違える時は間違えるものなのだ。「編集者」は「編集ミス」をする性である。「犯人」探しをしても、仕方がない。

ただ、それはそれとして、この件については、「重要参考人」の如きものが、存在する。

それは、[数学公式] の少し前に発行された、所謂「テラカン」、つまり寺澤寛一著 [自然科學者のための数學概論 (增訂版) ](岩波書店1954年。[增訂版] と云うことは、[オリジナル版] も存在する訣だが、そして、たしか以前所持していた記憶があるが、引っ越しの際に廃棄してしまった筈であり、両者間の比較は諦めることにする) である。その pp.544-546 には「Jacobi の虚數變換」が解説されていて、特に p.546 には、虚数変換式が、次のように示されている。

Jacobis_imaginary_transformation_TERAKAN

「テラカン」では、[岩波数学公式III] に対し、変数 $v$ の代わりに $z$ が使われ、コンマの代わりに「縦棒」が使われ、そして、テータ関数の添え字では、[岩波数学公式] では、$\nu$ のみが使われているのに比して、jk とが使われいる点を除けば、両者が同一であることがわかる ($\sqrt{i}=e^{{\pi}i/4}$ 及び $i\sqrt{i}=e^{3{\pi}i/4})$ に注意)。

そして重要なのは、「テラカン」においては、上記の式に続いて

ここに $j=0$ なら $k=2$, $j=2$ なら $k=0$, $j=3$ なら $k=3$ である.
と補足されていることである。

ここから先は、妄想にしかなりえないが、公式集の原稿作成時、「テラカン」もしくは同等の内容を有する「種本」から、上記のテータ関数の虚数変換式を、(公式集の内部の文脈に合わせて適宜、変数・定数・添え字の記法を書き換えて) 引き写した時に、元はあった添え字に就いての注意書きを転記し忘れたのなら、例えばゲラ刷りの段階では、左辺と右辺の添え字の相違が意味不明になる。その相違を hypercorrection して統一してしまうと、丁度、[岩波数学公式集III] における式が誕生するのだ。

こうしたことが実際に起こったかどうかは分からない。

非当事者には想像しがたい失策であっても、当人の表層的現実意識では「ウッカリしていた」と表現するしかないこともありうる。原因の調査自体に特段の意味があるのでない限り、whodunit ばりの詮索に拘るより、次の段階に進んだ方がよい。この話は、「そうかもしれない」と云う、それまでのことである。

結局、読み手としては Caveat lector の二語を肝に銘ずるしかない。

この件と関係するのかどうか、不明だが、以前、この記事の起稿を意識していない段階でテータ関数に就いての情報を求めてネット内を彷徨していた際、立川裕二 (たちかわ ゆうじ: 。東京大学理学系研究科物理学科准教授、東京大学国際高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構科学研究員 --その長さに感動せざるを得ない。海堂尊の小説の中の登場人物を思い出してしまった。その海堂尊自身が「独立行政法人放射線医学総合研究所重粒子医科学センターAi情報研究推進室室長」なんだそうだが--。立川さんの専門分野は素粒子物理学、特に超弦理論における場の理論や数理物理) と云う方の駒場での授業の講義録のなかに『「岩波公式集」。これは僕が学生のとき(の少しまえ) ぐらいまでは日本の(理論) 物理屋の必携書だったが』と前振りした後で、

有名な噂として、岩波公式集のテータ関数の恒等式が間違っていたせいで、日本の弦理論研究者が一年ほど混乱して研究が遅れた、という話がある。
--Yuji Tachikawa [線形代数の復習 離散および連続フーリエ変換 ]
と云う逸話を紹介されているのことを知った。

私の感想は述べないでおこう。

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

メモ: 所謂「モンティ・ホール問題 (Monty Hall problem)」に就いて

以前、図書館から「放浪の天才数学者エルデシュ」と云う本を借りて読んだ時、彼が、所謂「モンティ・ホール問題 (Monty Hall problem)」に引っかかったと云うエピソードが紹介されていて (その後、文庫版を購入した。文庫版 /*草思社文庫 ISBN978-4-7942-1854-4*/ では第6章「はずれ」に書かれている)、その「問題」に就いて無知であった私は、ザッとネットで調べたことがある。

有名な問題らしく、ウィキペディアに項目が立てられていた (「モンティ・ホール問題」)。それに対する印象は、「説明がピンとこない」と云うものだった。実は、「放浪の天才数学者エルデシュ」にも解説があって、それも読んでいた訣だが、キツネにつままれた気分だった。しかし、「読んでいて理解できない・腑に落ちない」と云うことは、私のように超絶的に頭の悪い人間にはデフォルトで発生する現象なので、そうした場合のルーチンである、「何度も読み直す」とか、「新規まき直し自分の頭で考えてみる」とかをする訣だが、この場合も、結局は納得したのだった。ただ、「少なくとも、私自身にとっては、もっと分かりやすい説明の仕方がある」と云うオマケが付いたりする。

今回は、そのオマケを紹介しておく。ただ、当時、そして今回もこの原稿を書くに当たって、ごく簡単に調べただけだから、以下のことは、ネット上に、(あるいは、それどころか、私が気が付かないだけで、ウィキペディアの記事自体の中に)、既に指摘されているかもしれない。そうした場合は、笑殺していただきたい。調べたり考えたりしたことの前回分と今回分とが、私の頭の中で錯綜しているような気がするが、弁別することはしないでおく。そうしたことに拘るほど、大した内容ではないのだ。

ます、スタートラインとして、ウィキペディアに従って、本稿で論ずる「モンティ・ホール問題」とは、いかなるものかを確定しておこう。

「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?」

1990年9月9日発行、ニュース雑誌 ''Parade'' にて、マリリン・ボス・サヴァントが連載するコラム「マリリンにおまかせ」において上記の読者投稿による質問に「正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ」と回答した。すると直後から、読者からの「彼女の解答は間違っている」との約1万通の投書が殺到し、本問題は大議論に発展した。
--モンティ・ホール問題(最終更新 2017年3月1日 [水] 04:14)

引用者註:「司会のモンティ」は、あらかじめ、アタリとハズレのドアを知っている。

こうした反論に対して、マリリン・ヴォス・サヴァント (Marilyn vos Savant) は、「ドアを変えれば勝てるのは3回の内2回、負けるのは3回の内1回だけ、しかしドアを変えなければ勝てるのは3回の内1回だけ」と反論したそうだ。私に言わせれば、私が読んだ説明の中では、最終的には、これが一番単純で分かりやすい。私の以下の説明も、このヴォス・サヴァントの指摘の枠内に留まるものであることをあらかじめ認めておく。


では、わたしなりの解釈を述べることにする。

いま、1つの「アタリ」と2つの「ハズレ」からなる3つの回答候補がある問題があって、それに対しに2つの異なるフォーマットのクイズ・プログラムを作るとする。それを F1 と F2 と呼ぶことにする。

フォーマットF1 のルールは所謂「三択(三者択一)」である。挑戦者は、3つの候補の内の1つドアを選択して、それがアタリであるなら、ウィナーになり、ハズレであればルーザーになる。挑戦者がウィナーになる確率は 1/3 である。

フォーマットF2 のルールでは、3つの候補の内、2個の選択が許される。選択した2つのドアを開けたとき、その内の中にアタリが含まれているなら挑戦者はウィナーになり、両方ともハズレであればルーザーになる。挑戦者がウィナーになる確率は 2/3 である。ここで、注意しておくと、「開けるドアを2つ選択する」と云うことは、「開けないドアを1つ選択する」と云うことと同じであることである。

私の「納得」のキッカケも、「モンティ・ホール問題」では、司会者の提案を受け入れると、挑戦者が「開けるドアを1つ選択する」状態から「開けないドアを1つ選択する」状態に推移することに気づいたことだった。

さて、次のような、プロトタイプのプログラムを考える。

プログラム0: 司会者 (上記の例で言うなら「司会のモンティ」) が、プログラムの冒頭で、挑戦者 (プレーヤー) に対して、フォーマットF1のクイズと、フォーマットF2のクイズとを提示して、そのどちらのフォーマットでクイズを行っても良いと宣言する。つまり、ドアの選択の前に、クイズ・フォーマットの選択をする。

そして、挑戦者が選択したフォーマットに従って、プログラムが進行する。この場合、どちらのフォーマットが挑戦者にとり有利かと言えば、当然 F2 (アタリの確率が 2/3) の方が F1 (アタリの確率が 1/3) の2倍有利である。

プログラム0 は、フォーマット自体の選択を行うことが明示されている。「モンティ・ホール問題」の核心は、プログラムの途中で、フォーマットF1 からフォーマットF2のへ切り替えが行われているのに、それが気づきづらいようにされていることである (フォーマットの切り替え自体、「ルール違反」だろう)。以下、フォーマット切り替えが容易に透けて見えるプログラムから、フォーマット切り替えがホボ隠蔽されているプログラムへと順次変更していく。

プログラムI: フォーマットF1のクイズでプログラムを開始して、挑戦者が開けるべき1つのドアを選択した時点で、司会者が、開けるドアをもう1つ追加して、2つにしても良いと宣言する。つまり、フォーマット F1 からフォーマット F2 への切り替えを提案する。

もし、挑戦者がこの提案に同意するなら、挑戦者がウィナーになる確率は 1/3 から 2/3 へと倍増する。

このプログラムI を以下の系列で、「 フォーマットF1 を、それの2倍有利なフォーマットF2 に切り替える提案が行われる」と云う事実を変えないまま、プログラムI のコンテンツを「モンティ・ホール」型のコンテンツへ徐々に変形していく。

プログラムII: フォーマットF1のクイズでプログラムを開始して、挑戦者が開けるべき1つのドアを選択した時点で、司会者が挑戦者に対して、当初選択した1つのドアを開けない代わりに、当初選択しなかった2つのドアを開けることを提案する。

この変更は、「開けるドアの集合」の包含関係を意味しない。つまり、「開けるドア」の追加ではない。しかし、「開けるドア」の個数 (集合の濃度) は、1つから2つへと2倍になっている。フォーマットF1 と F2 の要件は、「開けるドア」の個数のみに依存することに注意するなら、この場合も、フォーマットF1 から、フォーマットF2 への切り替えになっていることが分かる。

挑戦者は、司会者の提案に応じるか応じないかに従って、2つ又は1つのドアを開ける。当然のことながら、挑戦者がウィナーになる確率は、司会者の提案を受け入れた場合の方が、受け入れない場合の2倍になる。

プログラムIII: フォーマットF1のクイズでプログラムを開始して、挑戦者が開けるべき1つのドアを選択した時点で、司会者が挑戦者に対して、当初選択したドアを開けない代わりに、当初選択しなかった2つのドアを開けることを提案する。つまり、フォーマットF1 から、フォーマットF2 への切り替えを提案する。ここまでは、プログラムII と同じである。

しかし、プログラムIII では、挑戦者が提案を受け入れた場合、開けるべき2つのドアのうちの一つを挑戦者自身が、そして他方のドアを司会者が同時に開ける

ただし、「同時に開ける」のは、司会者が、「挑戦者の分身」としてドアを開けることを際立たせるためであり、フォーマットF2 への転換後なら、司会者が、挑戦者の前にドアを開けても (次のプログラムIV 参照)、後でドアを開けても、そして、勿論同時に開けても (このプログラムIIIの場合)、いずれの場合も、司会者が挑戦者の分身であることには変わりはない。どの場合も,挑戦者がウィナーになる確率の値は等しく 2/3 である。それらが、コンテンツとして訴求性を有するかどうかは問題にしていない。

プログラムIII以降では、フォーマットF2 への切り替えが行われるなら、司会者が、あるドアを開けるようになっている。ここで、確率の導出のため、挑戦者自身がドアを開ける最終段階までプログラムが進んだ状態を想定するなら、挑戦者自身と司会者がどう関わるにしろ、2つのドアの両方が開くという最終形態は同一であるのだから、その順番も (あるいは同時であっても)、また、司会者及び/又は挑戦者のどちらが開けるかも、挑戦者がウィナーになる確率には影響しない。しかも、司会者がドアを開けるのは、必ず挑戦者の分身としてであることが重要な意味を持つ。司会者はウィナーにもルーザーにもならないのである。

従って、以下、プログラムの変形で指針となるのは、「挑戦者自身の行為により、挑戦者がウィナーになるか、ルーザーになるかが決定する」と云う籤引き型クイズとしての基本的要請を守ることである。ただし、そのことは、確率の計算とは無関係である。

プログラムIV: フォーマットF1のクイズでプログラムを開始して、挑戦者が開けるべき1つのドアを選択した時点で、司会者が挑戦者に対して、当初選択したドアを開けない代わりに、当初選択しなかった2つのドアを開けることを提案する。つまり、フォーマットF1 から、フォーマットF2 への切り替えを提案する。ここまでは、プログラムII 及びプログラムIII と同一である。

しかし、プログラムIV では、挑戦者が提案を受け入れたなら、開けるべき2つのドアのうち、司会者が挑戦者より先に、2つのドアの内、少なくとも一つはあるハズレのドア (司会者は、アタリ・ハズレのドアを知っている) を開けてしまい。残りのドアを挑戦者自身に開けさせる。

この場合でも、時間が前後しているだけで、司会者が挑戦者の分身としてドアを開けると云う事実には変わりはないから、挑戦者がウィナーになる確率は、やはり、提案を受け入れない場合の確率の2倍になる。

このプログラムの場合、司会者がハズレのドアを開けた時点で、「挑戦者がウィナーになる確率は?」と云う設問に対して、「1/3」又は「1/2」と考える人たちが多数いたことが「モンティ・ホール問題」がスキャンダルになった理由だった。しかし、これは間違っている

つまり、F2 への切り替わり当初は「2/3」だったが、司会者がハズレのドアを開けた時点では「1/3」又は「1/2」になると云うようなことは、起こらない。開かないで残っているドアが2つになっていても、挑戦者がウィナーになる確率は 2/3 である。

ドアが2つになったことで、「二者択一」になったように見えても (この見かけにより、プログラムは「盛り上がる」かもしれないが)、それはあくまで「見かけ」であり、ウィナーになる確率には影響しない。アタリ/ハズレを知っている司会者が、意図的にハズレのドアをあけており、挑戦者が正解する可能性を減らしていないから、挑戦者がウィナーになる確率は 2/3 のままである。

挑戦者がウィナーになるかどうかは「フォーマットF2 では、開けることになった2つのドアにどちらかがアタリであればよい」と云う事実に変化はなく、少なくともその片方が必ずハズレと云うフォーマットF2移行時当初からの確定事項が意図的に暴露されたとしても、最終結果の確率には影響は出ないのである。

プログラムIV を変形して、フォーマットF2において開けるべき2つのドアのどちらかにアタリのドアがある場合に「司会者が先にアタリ・ハズレに関わらずドアを開く」としも、挑戦者がウィナーになる確率は 2/3 である。ただし、この場合は、上記の「挑戦者自身の行為により、挑戦者がウィナーになるか、ルーザーになるかが決定する」と云う籤引き型クイズとしての基本的要請に反することになる (この場合、司会者は、アタリのドアであることを承知で開ける訣で、プログラムとして滑稽なことが起こる)。

プログラムV: フォーマットF1のクイズでプログラムを開始して、挑戦者が開けるべき1つのドアを選択した時点で、司会者は、挑戦者が選択しなかったドアの内、少なくとも一つはあるハズレのドア (挑戦者は、アタリ・ハズレのドアを知っている) を開けてしまった後、挑戦者に対して、当初選択したドアを開けない代わりに、「当初選択しなかった2つのドアで、ハズレであることが分かっているドアの他」に、「まだ開いていない残りのドアも」開けることを提案する。

開けるドアは2つだから、これも、フォーマットF1 から、フォーマットF2 への切り替えになっている。ただし、フォーマット切り替えの提案が、プログラムIV では、司会者によるハズレのドア開扉の前に行われているのに対し、プログラムV では、司会者がハズレのドアを開けてしまった後に、フォーマットの切り替えが提案されているので、フォーマット切り替えという事実が認識しにくくなっている。

もし、挑戦者が提案を受け入れたなら、開けるべき2つのドアのうちのうち、司会者が既に開けてしまったドアとは別のドアを挑戦者自身に開けさせる。この場合でも、2つのドアを開けると云う選択を行ったのは挑戦者自身だから、時間が前後しているだけで、司会者が挑戦者の分身としてドアを開けると云う事実には変わりはない。従って、挑戦者がウィナーになる確率は、やはり、受け入れない場合に確率の2倍になる。

このように、このプログラムV (そして、次のプログラムVI) では、興味深いことが発生している。もし、挑戦者が司会者の提案を受け入れると、提案以前に司会者が、挑戦者と別主体として行ったドアを開けると云う行為が、挑戦者の分身としての行為に、時間を遡及して転化するのである。これは、フォーマットF1 及びフォーマットF2 の構成要件に時間が関係しないことから起こるパラドクスである。「モンティ・ホール問題」の解析にベイズ理論が親和するのも、これに起因するのだろう。

プログラムVI: フォーマットF1のクイズでプログラムを開始して、挑戦者が開けるべき1つのドアを選択した時点で、司会者は、挑戦者が選択しなかった2つのドアの内、少なくとも一つはあるハズレのドア (挑戦者は、アタリ・ハズレのドアを知っている) を開けてしまう。ここまでは、プログラムV と同一である。そして、挑戦者に対して、開けるドアを、「挑戦者が当初選択したドア」から、「挑戦者が当初選択しなかった2つのドアの内、まだ開いていないドア」に「切り替える」ことを提案する。

ここで、プログラムVI と司会者の提案の文言が異なっているだけであることに注意。司会者は挑戦者が開けるドアの「切り替え」を提案している形だが、実際には、開けるドアの追加を提案しているのである。

しかし、司会者がこうした言い方をすることで、実際にはフォーマットF1からフォーマットF2への切り替えが提案されているのに、そのことがホボ隠蔽されてしまっている。

提案を受け入れることにより、「切り替え」られるのは、「挑戦者が開けるドア」ではなく、クイズのフォーマットである。挑戦者は、司会者と云う「潜在的な分身」により、ドアを1つ開けており、提案を受け入れることは、「分身を含めて挑戦者が開けるドア」を2つにすることを意味する。従って、挑戦者がウィナーになる確率は、やはり、受け入れない場合に確率の2倍になる。

このプログラムVI は、「モンティ・ホール問題」そのものである。

付言すると、司会者の Monty と云う名前は、three-card Monte や three-cup Monte (これらに就いては、適宜、YouTube をご参照頂きたい) などの、short con game (イメージとしての訳語を当てるなら「大道芸」ならぬ「大道詐欺」) を連想させる。

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

岩波書店「位相解析の基礎」 [延長定理] (pp.59-60) の証明における初歩的ミス

自分の疎漏な知識を補強するために測度論や積分論の基礎に就いて書かれた本を拾い読みすることがある。その時に読む本は大体決まっているのだが、岩波書店の「位相解析の基礎」(1960年。吉田耕作・河田敬義・岩村聯) は、その中に入っていない。

それでも、他の本を読んでいて釈然としないときは、手がかりを求めて手を出すことがある。しかし、「位相解析の基礎」の第1編第4章 20.8 の [延長定理] (pp.59-60) の証明を読んで、少し残念だった。初歩的なミスをしているのだ。

[延長定理] は、集合 $X$ の冪集合 $\mathfrak{P}(X)$ の部分集合の内、一定の条件 (「位相解析の基礎」p.52) を満たすものである「集合体」 (つまり「有限加法族」) $\mathfrak{K}$ 上の Jordan 式測度 $v$ が、$\mathfrak{K}$ から生成される最小の Borel 集合体 $\mathfrak{B}=B(\mathfrak{K})$ 上に延長される必要十分条件として $v$$\mathfrak{K}$ 上での可算加法性

\[
 A,A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{K}, A=\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}}A_{n}, A_{i}{\cap}A_{j}=\emptyset\; (i{\neq}j)
\]
ならば
\[
 v(A)=\sum_{n=1}^{\infty}v(A_{n})
\]
であること を主張する。

必要なことは明らかなので、十分であることを示すために「位相解析の基礎」では次の段階を踏む。

(a) $v$ から $\mathfrak{P}(X)$ 全体を定義域とする集合関数 $m^{\ast}$ を、任意の $E{\in}\mathfrak{P}(X)$ に対し


\[
 m^{\ast}(E)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}v(A_{n});{\,} E{\subset}\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n},{\,} A_{n}{\in}\mathfrak{K}{\;} (n=1,2,\cdots)\right\}
\]
とすることで、構成する。そして $m^{\ast}$Carathéodry の外測度であることを示す。

(b) 次に、$\mathfrak{P}(X)$ に要素のうち $m^{\ast}$ 可測な集合全体を $\mathfrak{B}^{\ast}$ とする時、$\mathfrak{K}{\subset}\mathfrak{B}^{\ast}$ であることを示す。Carathéodry の外測度に就いて可測な集合 $\mathfrak{B}^{\ast}$ の全体は、Borel 集合体をなすから (「位相解析の基礎」p.57)、$\mathfrak{K}{\subset}\mathfrak{B}^{\ast}$ と云うことは $\mathfrak{B}=B(\mathfrak{K}){\subset}\mathfrak{B}^{\ast}$ を含意する。

(c) 最後に $m^{\ast}$$\mathfrak{B}^{\ast}$ 上に制限するなら測度となる (「位相解析の基礎」p.57) ので、その測度を $m$ で表すなら、$m$$\mathfrak{K}$ への制限 (これは、つまり $m^{\ast}$$\mathfrak{K}$ への制限と云うこと) が $v$ に一致することを示す。

実は、この最後の (c) 段階の [証明] が、間違っている (勿論、[主張] そのものは正しい)。原文を引用すると次の通り (「位相解析の基礎」p.60)。

(c) $m^{\ast}|\mathfrak{K}=v$ の証明. $A{\in}\mathfrak{K}$ に対して $m^{\ast}(A){\leqq}v(A)$ は明らかであるが、$A{\subset}\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n},{\:}A_{n}{\in}\mathfrak{K}}$であれば、$v$ の可算加法性によって $v(A)=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}v(A_{n}{\cap}A){\leqq}\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}v(A_{n})$ である。ゆえに $v(A){\leqq\inf}\{\sum{v(A_{n})}\}=m^{\ast}(A)$ となる。

しかしながら、可算加法性では、可算和を取られる個々の要素の集合は共通部分を持たないこと、つまり

\[
 A_{i}{\cap}A_{j}=\emptyset \quad(i,j=1,2,3,\cdots,{\;}i{\neq}j)
\]
が前提となっている。ところが、この (c) 段階の議論では、これは担保されていない。

勿論、この瑕疵は、初等的なテクニックで回避できる。と云うか、その初等的なテクニックを適用し忘れているので、私はがっかりしたのだ。

烏滸がましいが、その「初等的なテクニック」を書いておく。

\[
 B_{1}=A_{1}{\cap}A,{\quad}B_{n}=(A_{n}-\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}){\cap}A{\;}(n=2,3,\cdots)
\]
とおくと、当然 $B_{n}{\subset}A_{n}{\cap}A{\,}(n=1,2,3,\cdots)$"" であるが、また、$\mathfrak{K}$ が集合体 (有限加法族) と云う前提から $B_{n}{\in}\mathfrak{K}{\,}(n=1,2,3,\cdots)$ が言える。そして $B_{n}{\,}(n=1,2,3,\cdots)$ の構成法により $n>1$ なら $B_{1}{\cap}B_{n}=\emptyset$ であり $i,j>1,i{\neq}j$ なら、以下の演算で $i<j$ としても一般性を失わないことに注意して
\begin{align*}
 B_{i}{\cap}B_{j} &= \left((A_{i}-\bigcup_{k=1}^{i-1}A_{k}){\cap}A\right){\cap}\left((A_{j}-\bigcup_{k=1}^{j-1}A_{k}){\cap}A\right)\\
                  &=\left((A_{i}-\bigcup_{k=1}^{i-1}A_{k}){\cap}(A_{j}-\bigcup_{k=1}^{j-1}A_{k})\right){\cap}A\\
                  &{\subset} \left(A_{i}{\cap}(A_{j}-\bigcup_{k=1}^{j-1}A_{k})\right){\cap}A\\
                  &{\subset} (A_{i}-\bigcup_{k=1}^{j-1}A_{k}){\cap}A =\emptyset{\cap}A = \emptyset
\end{align*}
そして
\begin{align*}
 \sum_{n=1}^{\infty}B_{n} &= (A_{1}{\cap}A) + \sum_{n=2}^{\infty}\left((A_{n}-\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}){\cap}A\right)\\
                          &= (\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}){\cap}A = A
\end{align*}

こうして $B_{1},B_{2},\cdots$ は、$v$$\mathfrak{K}$ における可算加法性の前提を満足するから

\[
 v(A) = \sum_{n=1}^{\infty}v(B_{n}) \leqq \sum_{n=1}^{\infty}v(A_{n})
\]
が言える。これから、$v(A){\leqq\inf}\{\sum{v(A_{n})}\}=m^{\ast}(A)$ が導かれるのは原文通りである。

参照: 伊藤清三著「ルベーグ積分」(裳華房。1963年) p.52-53 の定理9.1 (E.Hopf の拡張定理) 及び p.23-24 の定理5.1、特に、その ii)。

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

「高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵」補足 (「検算」篇)

本ブログの記事 [高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵] (2016年11月30日 [水]) では結果だけを書いたので、この記事では、その「検算」をしておく。

つまり、4次方程式


\[
 a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4} = 0
\]

の4つの根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ に対して
\[
 a_{0}(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}), a_{0}(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}), a_{0}(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})
\]

の3つを根とし、主項係数が 1 の3次方程式が

\[
 \lambda^{3} - 2a_{2}\lambda^{2} + (-4a_{0}a_{4}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{3})\lambda + a_{0} a_{3}^{2} + a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3} = 0
\]

であることを示すことにする。

まず記号


\begin{align*}
 &V_{1}\equiv(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})\\
 &V_{2}\equiv(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\
 &V_{3}\equiv(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})\\
 &S_{1}\equiv{V_{1}+V_{2}+V_{3}}\\
 &S_{2}\equiv{V_{1}V_{2}+V_{2}V_{3}+V_{3}V_{1}}\\
 &S_{3}\equiv{V_{1}V_{2}V_{3}}\\
 &W_{1}\equiv{a_{0}V_{1}} = a_{0}(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})\\
 &W_{2}\equiv{a_{0}V_{2}} = a_{0}(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\
 &W_{3}\equiv{a_{0}V_{3}} = a_{0}(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})\\
 &A_{1}\equiv{W_{1}+W_{2}+W_{3}} = a_{0}S_{1}\\
 &A_{2}\equiv{W_{1}W_{2}+W_{2}W_{3}+W_{3}W_{1}} = a_{0}^{2}S_{2}\\
 &A_{3}\equiv{W_{1}W_{2}W_{3}} = a_{0}^{3}S_{3}
\end{align*}

を導入する。

これらの記号を用いて、改めて本稿の目的を述べれば、それは3次式

\[
 \lambda^{3}-A_{1}{\lambda}^{2}+A_{2}{\lambda}-A_{3}
\]

\[
 \lambda^{3} - 2a_{2}\lambda^{2} + (-4a_{0}a_{4}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{3})\lambda + a_{0} a_{3}^{2} + a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3}
\]

に一致することを示すことにある。

別の言い方をするなら


\begin{align*}
 &A_{1}=2a_{2}\\
 &A_{2}=a_{2}^{2}+a_{1}a_{3}-4a_{0}a_{4}\\
 &A_{3}=a_{1}a_{2}a_{3} - a_{1}^{2}a_{4} - a_{0} a_{3}^{2}
\end{align*}

を示せばよい。

我々が求めようとしているのは $W_{1},W_{2},W_{3}$ を根とする3次方程式である訣だが、それを構成する前に、それぞれを $a_{0}$ で割った、$V_{1},V_{2},V_{3}$ /> に就いて、若干検討しておく。そこで、まず、根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の置換が $V_{1},V_{2},V_{3}$ に及ぼす作用を見ることにする。

$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ を2個づつに分けて、それぞれから作った和同士を掛け合わせて得られる積は、$V_{1}\equiv{(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}$, $V_{2}\equiv{(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})}$, $V_{3}\equiv{(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})}$ の3通りしかないから、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の置換を行うと、$V_{1},V_{2},V_{3}$ のそれぞれは $V_{1},V_{2},V_{3}$ のいずれかに変化する。

下の表では、根の添え字に対して左の欄の互換を行った際に $V_{1},V_{2},V_{3}$ がどれに変化するかを、右欄に示してある。なお、表を見やすくするために $(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})$, $(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})$, $(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})$ を、それぞれ $\{12\}\{34\}$,$\{13\}\{24\}$ $\{14\}\{23\}$と表記した (勿論、これらは $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の置換を意味しない)。

\[
 \begin{array}{|c|ccc|}
\hline
  & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\}\\
\hline
  (12) & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\}\\
  (13) & V_{3}\equiv\{14\}\{23\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{1}\equiv\{12\}\{34\}\\
  (14) & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\}\\
  (23) & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\}\\
  (24) & V_{3}\equiv\{14\}\{23\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{1}\equiv\{12\}\{34\}\\
  (34) & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\}\\
\hline
 \end{array}
\]

このように、4次方程式の根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の互換の全てに於いて、$V_{1},V_{2},V_{3}$ は全体として変わらない。当然、そうした根の任意の置換に於いても $V_{1},V_{2},V_{3}$ は全体として変わらない。これは $V_{1},V_{2},V_{3}$ 自体の置換が起こるのみと云う言い方もできる。従って、$V_{1},V_{2},V_{3}$ の対称式は、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ に就いて対称になる。

ちなみに、恒等置換 ($e$ と表すことにする) の他、置換 $(12)(34),(13)(24),(14)(23)$ の4つの置換 (くどくなりそうだが、こちらの方は、4次方程式の根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の置換であって、上記表の右欄の $\{12\}\{34\},\{13\}\{24\},\{14\}\{23\}$ とは異なる) は、個々の $V_{1},V_{2},V_{3}$ そのものを動かさない。この4つの置換 $\{e, (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ は、4次交代群の正規部分群になっている。それは、位数 2 の巡回群2個の直積と同型なアーベル群であり、Klein の4元群と呼ばれている。この Klein の4元群が、4次交代群の正規部分群になっていることが、上記の 3次方程式が分解方程式になっている所以である。

$S_{1},S_{2},S_{3}$ は、$V_{1},V_{2},V_{3}$ に就いての基本対称式 ([代数学講義改訂新版] p.138 参照) となっているから、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ に対しても対称式であり、従って、符号を除けば $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の基本対称式に等しい $\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{0}},\frac{a_{2}}{a_{0}},\frac{a_{3}}{a_{0}},\frac{a_{4}}{a_{0}}$ の多項式として表すことができる (対称式に関する基本定理。[代数学講義改訂新版] p.140)。

さて、4変数 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ から作られる対称式に就いて論じるため、記法と用語を決めておくと、4変数 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ からなる単項式は $Cx_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}$ ($C$ は定数。$\{i_{1},i_{2},i_{3},i_{4}\}=\{1,2,3,4\}$ であり $e_{1}\geq{0}$, $e_{2}\geq{0}$, </span>$e_{3}\geq{0}$, $e_{4}\geq{0}$) と表せるが、こうした単項式で、変数に置換操作を施すと一致させることができる時、それらを「同型の単項式」又は「同型単項式」と呼ぶ ([代数学講義改訂新版] p.139 参照。ただし、そこでは「同型の項」と呼ばれている)。また、各単項式に於いて $C=1$ と置いた単項式を、元の単項式の「基本形」と呼ぶことにする。同型単項式同士の基本形同士は、勿論同型である。

基本形の単項式があった時、それと異なる同型単項式が存在する場合、それぞれの単項式一つひとつの総和は、対称式となる。また、異なる同型単項式が存在しない場合は、それ自体で対称式となっている。いずれにしろ、そうした対称式を「単型対称式」と呼ぶ ([代数学講義改訂新版] p.139 参照。ただし、そこでは「単型の対称式」になっている)。本稿で扱う対称式は、単型対称式の整係数多項式である。

そこで、基本形の単項式 $x_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}$ と同型であるが、その具体的な形に任意性を有するものを $[x_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}]$ で表すことにする。そして、$x_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}$ と同型の単項式が $n$ 個あって、その総和が対称式になっている時、その総和を $n \otimes{[x_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}]}$ と記することにする。

この記法を、以下の基本対称式に適用するなら、${}_n\mathrm{C}_{m}$ を二項係数として


\begin{align*}
 &\frac{a_{1}}{a_{0}}=-{}_4\mathrm{C}_{1}\otimes[x_{1}]=-4\otimes[x_{1}]\\
 &\frac{a_{2}}{a_{0}}={}_4\mathrm{C}_{2}\otimes[x_{1}x_{2}]=6\otimes[x_{1}x_{2}]\\
 &\frac{a_{3}}{a_{0}}=-{}_4\mathrm{C}_{3}\otimes[x_{1}x_{2}x_{3}]=-4\otimes[x_{1}x_{2}x_{3}]\\
 &\frac{a_{4}}{a_{0}}={}_4\mathrm{C}_{4}[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}]=[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}]=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\
\end{align*}

が成り立つ (4変数 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ を基礎とするなら $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ は、単独で対称式になっていることに注意)。

以下では、基本形の単項式を、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の積を添え字の昇順、指数の降順に並べた

\[
 x_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}x_{3}^{e_{3}}x_{4}^{e_{4}} \qquad (e_{1}{\geq}e_{2}{\geq}e_{3}{\geq}e_{4}{\geq}0)
\]

を以って代表させることにする。

この記法を使うなら、基本形の範囲内にあっては、4変数 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の単項式は

  1. 1次: $[x_{1}]$ の1種類
  2. 2次: $[x_{1}x_{2}]$, $[x_{1}^{2}]$ の2種類
  3. 3次: $[x_{1}x_{2}x_{3}]$, $[x_{1}^{2}x_{2}]$ 及び $[x_{1}^{3}]$ の3種類
  4. 4次: $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$, $[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$, $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$ 及び $[x_{1}^{3}x_{2}]$, $[x_{1}^{4}]$ の5種類
  5. 6次: $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$, $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$, $[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$, $[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}]$ 及び $[x_{1}^{3}x_{2}^{3}]$, $[x_{1}^{4}x_{2}x_{3}]$, [x_{1}^{4}x_{2}^{2}], [x_{1}^{5}x_{2}], $[x_{1}^{6}]$ の9種類
に限られることが分かる。ただし、7次以上の単項式は当然だが、5次の単項式、及び $[x_{1}^{3}]$, $[x_{1}^{3}x_{2}]$, $[x_{1}^{4}]$, 及び $[x_{1}^{3}x_{2}^{3}]$, $[x_{1}^{4}x_{2}x_{3}]$, [x_{1}^{4}x_{2}^{2}], [x_{1}^{5}x_{2}], $[x_{1}^{6}]$ の形式の単項式は、以下登場しない。

このうち


\begin{align*}
 &x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 4{\otimes}[x_{1}] = -\frac{a_{1}}{a_{0}}\\
 &x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4} = 6{\otimes}[x_{1}x_{2}] = \frac{a_{2}}{a_{0}}\\
 &x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}+ = 4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}] = -\frac{a_{3}}{a_{0}}\\
 &x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = \frac{a_{4}}{a_{0}}
\end{align*}

は既述の通り。

以下、単型対称式の幾つかに就いて、基本対称式で表していく。

${x_{1}^{2}}$ から得られる単型対称式 $4{\otimes}[x_{1}^{2}]$ を基本対称式で表すなら


\begin{align*}
 4{\otimes}[x_{1}^{2}] &= (4{\otimes}[x_{1}])^{2} - 2(6{\otimes}[x_{1}x_{2}])\\
                       &= \left(-\frac{a_{1}}{a_{0}}\right)^{2} - 2\left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right)\\
                       &= \frac{a_{1}^{2}}{a_{0}^{2}} - \frac{2a_{2}}{a_{0}}
\end{align*}

次に $[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ の形の単項式が幾つあるかというと、$[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ の形の単項式は、$[x_{1}x_{2}x_{3}]$ 形の単項式の各変数を選んで二乗することで得られるから、$[x_{1}x_{2}x_{3}]$ 形の単項式が4つあり、そのうちの各変数を選んで二乗する仕方が3通りあるから、全体として $4\times{3}=12$ 個になる。

従って、$[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ 形の異なる同型の項 12 個の総和が作る単型対称式 $12\otimes[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ を、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の基本対称式の多項式で表わすと


\begin{align*}
 12\otimes[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}] &= (4{\otimes}[x_{1}])(4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}]) - 4x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\
                                &= \left(-\frac{a_{1}}{a_{0}}\right)\left(-\frac{a_{3}}{a_{0}}\right) - 4\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right)\\
                                &= \frac{a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$ の形の単項式は ${}_4\mathrm{C}_{2}=6$ 個ある。それらの総和が作る単型対称式 $6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$


\begin{align*}
 &(6{\otimes}[x_{1}x_{2}])^{2} =\\
 &\quad (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\\
 &\qquad\qquad \times (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})
\end{align*}

から見て取れるように

\begin{align*}
 6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}] &= (6{\otimes}[x_{1}x_{2}])^{2} - 24{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}] - 6x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\
                                &= (6{\otimes}[x_{1}x_{2}])^{2} - 2(12{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]) - 6x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\
                                &= \left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right)^{2} - 2\left(\frac{a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}\right) - 6\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right)\\
                                &= \frac{a_{2}^{2} - 2a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} + \frac{2a_{4}}{a_{0}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$ の形の単項式は${}_4\mathrm{C}_{2}=6$ 個ある。


\begin{align*}
 6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}] &= (6{\otimes}[x_{1}x_{2}])(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})\\
                                          &= \left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right)\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right)\\
                                          &= \frac{a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$ の形の単項式は ${}_4\mathrm{C}_{3}=4$ 個ある。


\begin{align*}
 4{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}] &= (4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}])^{2} - 12{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]\\
                                       &= (4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}])^{2} - 2(6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}])\\
                                       &= \left(-\frac{a_{3}}{a_{0}}\right)^{2} - 2\left(\frac{a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right)\\
                                       &= \frac{a_{3}^{2}-2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$ の形の単項式は ${}_4\mathrm{C}_{1}=4$ 個ある。


\begin{align*}
 4{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}] &= (4{\otimes}[x_{1}^{2}])(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})\\
                                      &= \left(\frac{a_{1}^{2}}{a_{0}^{2}} - \frac{2a_{2}}{a_{0}}\right)\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right)\\
                                      &= \frac{a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}]$ の形の単項式は $4!=24$ 個ある。


\begin{align*}
 24{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}] &= (4{\otimes}[x_{1}])(6{\otimes}[x_{1}x_{2}])(4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}]) - (12{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}])\\
                                      &\qquad - (48{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}])- (12{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}])\\
                                      &= (4{\otimes}[x_{1}])(6{\otimes}[x_{1}x_{2}])(4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}]) - 3(4{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}])\\
                                      &\qquad - 8(6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}])- 3(4{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}])\\
                                      &= \left(-\frac{a_{1}}{a_{0}}\right)\left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right)\left(-\frac{a_{3}}{a_{0}}\right) - 3\left(\frac{a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right)\\
                                      & \qquad - 8\left(\frac{a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right) - 3\left(\frac{a_{3}^{2}-2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right)\\
                                      &= \frac{a_{1}a_{2}a_{3}-3a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} + \frac{4a_{2}a_{4}-3a_{3}^2}{a_{0}^{2}}\\
\end{align*}

この計算で、$[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は、$x_{1}.x_{1}x_{2}.x_{1}x_{3}x_{4}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個であり、$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$ の型の項は $x_{1}.x_{2}x_{3}.x_{1}x_{2}x_{3}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個であるのは容易に分かるが、$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は、$x_{1}.x_{1}x_{2}.x_{2}x_{3}x_{4}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個、$x_{1}.x_{2}x_{3}.x_{1}x_{2}x_{4}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個、 $x_{1}.x_{2}x_{4}.x_{1}x_{2}x_{3}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個の他に、</span>$x_{1}.x_{2}x_{3}.x_{2}x_{3}x_{4}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個が存在することに注意すべきである。結果として $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は $12{\times}4=48$ 個である。

これらの結果を踏まえて、$S_{1},S_{2},S_{3}$ の計算をしていく。これらが、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の整係数の対称式であるから、基本多項式の整係数の多項式として一意に表わされることに注意しておく。

まず、$S_{1}\equiv{V_{1}+V_{2}+V_{3}}$ は、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ は2次多項式であり、個々の変数に就いては1次になっている。従って、$6{\otimes}[x_{1}x_{2}]$ の整数倍になっているが、その項数は $4{\times}3=12$ だから


\[
 S_{1} = 2(6{\otimes}[x_{1}x_{2}]) = 2\left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right) = \frac{2a_{2}}{a_{0}}
\]

である。

$S_{2}{\equiv}V_{1}V_{2}+V_{2}V_{3}+V_{3}V_{1}$ は、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ は4次多項式であり、個々の変数の最高次数は 2 なので、項として可能であるのは $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$$[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$ との3種類である。

例えば、


\begin{align*}
 V_{1}V_{2} &= (x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\
            &= (x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4})(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4})
\end{align*}

を参考にして、それぞれを数え上げると $S_{2}$ の中には $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ の項が6個、$[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ の型の項が36個、$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$ の型の項が6個あることが分かる。従って

\begin{align*}
 S_{2} &= 6{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}] + 36{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}] + 6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]\\
       &= 6{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}] + 3(12{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]) + 6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]\\
       &= 6\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right) + 3\left(\frac{a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}\right) + \left(\frac{a_{2}^{2}-2a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} + \frac{2a_{4}}{a_{0}}\right)\\
       &= \frac{a_{2}^{2} + a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}
\end{align*}

同様に、$S_{3}{\equiv}V_{1}V_{2}V_{3}$ は6次多項式であり、個々の変数の最高次数は 3 なので、項として可能であるのは $[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$$[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}]$$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$


\begin{align*}
  S_{3} &= \{(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{1}+x_{4})\}\{(x_{2}+x_{3})(x_{2}+x_{4})(x_{3}+x_{4})\}\\
        &= \{x_{1}^{3} + (x_{2}+x_{3}+x_{4})x_{1}^{2} + (x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})x_{1} + x_{2}x_{3}x_{4}\}\\   
        &\qquad \times\{x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{4}+x_{2}x_{4}^{2}+x_{3}^{2}x_{4}+x_{3}x_{4}^{2}+2x_{2}x_{3}x_{4}\}
\end{align*}

を見るならば、4種類の項がすべて含まれることが分かる。更に、$x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}$ の係数は 2 になるから、$[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は8個、$x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}$ の係数も 2 だから、$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$ の型の項も8個であることが分かる。また、積の中で、$x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}$ となるのは

\[
  \{x_{2}x_{1}^{2}\}\{2x_{2}x_{3}x_{4}\} + \{x_{3}x_{1}^{2}\}\{x_{2}^{2}x_{4}\} + \{x_{4}x_{1}^{2}\}\{x_{2}^{2}x_{3}\} = 4x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4} 
\]
だけである。これから $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は $6{\times}4 = 24$ 個あることが分かる。

従って、


\[
  S_{3} = 2(4{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]) + K(24{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}]) + 4(6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]) + 2(4{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}])\\
\]

を満たす正整数 $K$ が存在することが分かるが、これから項数を抽出すると

\[
 64=8+24K+24+8
\]

が成り立つので、$K=1$ でなければならない。

結局


\begin{align*}
  S_{3} &= 2(4{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]) + 24{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}] + 4(6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]) + 2(4{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}])\\
        &= 2\left(\frac{a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right) + \left(\frac{a_{1}a_{2}a_{3}-3a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} + \frac{4a_{2}a_{4}-3a_{3}^2}{a_{0}^{2}}\right)\\
        &\qquad  + 4\left(\frac{a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right) + 2\left(\frac{a_{3}^{2}-2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right)\\
        &= \frac{a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{a_{3}^{2}}{a_{0}^{2}}
\end{align*}

このようにして


\begin{align*}
 &A_{1}=a_{0}S_{1}=a_{0}\left(\frac{2a_{2}}{a_{0}}\right)=2a_{2}\\
 &A_{2}=a_{0}^{2}S_{2}=a_{0}^{2}\left(\frac{a_{2}^{2} + a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}\right)=a_{2}^{2} + a_{1}a_{3}-4a_{0}a_{4}\\
 &A_{3}=a_{0}^{3}S_{3}=a_{0}^{3}\left(\frac{a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{a_{3}^{2}}{a_{0}^{2}}\right)=a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4} - a_{0}a_{3}^{2}
\end{align*}
が成り立っていることが分かった。

改めて、方程式の形で表すと


\begin{align*}
 \lambda^{3} &-A_{1}\lambda^{2} + A_{2}\lambda - A_{3}\\
             &= \lambda^{3} - 2a_{2}\lambda^{2} + (-4a_{0}a_{4} + a_{2}^{2} + a_{1}a_{3})\lambda + a_{0}a_{3}^{2} + a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3} = 0
\end{align*}

である。

[高木貞治]著 [代数学講義改訂新版] (1965年 共立出版 ISBN 978-4-320-01000-0)

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵

[高木貞治]著 [代数学講義改訂新版] (1965年 共立出版 ISBN 978-4-320-01000-0) p.194 では、4次方程式


\[
 a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4} = 0
\]
と、その根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ に就いて、次のような記載がある。

四次方程式 
\[
 a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4} = 0
\]
を解くことは, 連立二元二次方程式


\begin{align*}
&x^{2} = y \\
&a_{0}y^{2}+a_{1}xy+a_{2}y+a_{3}x+a_{4} = 0
\end{align*}
から $x$ を求めるのと同じである. この場合 (3) は
\begin{equation*}
すなわち

\[
 \lambda^{3} - 2a_{2}\lambda^{2} + (-4a_{0}a_{4}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{3})\lambda + a_{0} a_{3}^{2} + a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3} = 0
\]
になる. これは $(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}), (x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}), (x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})$ を根とする三次分解方程式である。

[以下、引用者 (ゑ) 補足]
ただし、ここで (3) とあるのは、[代数学講義改訂新版] pp.192-193 に見られるように、連立2元2次方程式

</p>

<p>\begin{align*}
 &F= ax^{2} +2hxy +by^{2} +2gx +2fy +c =0\\
 &G= a^{\prime}x^{2} +2h^{\prime}xy +b^{\prime}y^{2} +2g^{\prime} +2f^{\prime}y +c^{\prime} =0
\end{align*}
から導かれる2次式
\begin{align*}
 F+{\lambda}G = &(a+{\lambda}a^{\prime})x^{2} + 2(h+{\lambda}h^{\prime})xy + (b+{\lambda}b^{\prime})y^{2}\\
                &\qquad +2(g+{\lambda}g^{\prime})x + 2(f+{\lambda}f^{\prime})y + (c+{\lambda}c^{\prime})
\end{align*}
が2つの1次式の積に分解されるための条件式

\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
 a+{\lambda}a^{\prime} &h+{\lambda}h^{\prime}  &g+{\lambda}g^{\prime}  \\
&&\\
 h+{\lambda}h^{\prime} &b+{\lambda}b^{\prime}  &f+{\lambda}f^{\prime}  \\
&&\\
 g+{\lambda}g^{\prime} &f+{\lambda}f^{\prime}  &c+{\lambda}c^{\prime}
\end{vmatrix} 
=0
\end{equation*}
を指す。 [引用者補足終了。]

しかし、上記引用部分の最後の箇所は間違っている。単純なケアレスミスだと思うが、「三次分解方程式の根」のそれぞれは、係数 $a_{0}$ を乗じて


\[
 a_{0}(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}), a_{0}(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}), a_{0}(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})
\]
としなければならない。

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

より以前の記事一覧