以下はフランス語版版ウィキペディア中の [サニャック効果] の項 [Effet Sagnac (Dernière modification de cette page le 31 août 2007 à 09:20.)] の訳文であるただし、フランス語版でのカテゴリ等、編集上のタグは原則として採用していない)。なお、訳文部分の著作権は、原文と同様 [GNU Free Documentation License] に従う。
L'effet Sagnac est un phénomène physique découvert par Georges Sagnac en 1913. C'est une asymétrie de la vitesse relative de signaux lumineux parcourant en sens inverse la circonférence d'un disque en rotation.
「サニャック効果」は、1913年にジョルジュ・サニャック (Georges Sagnac) により発見された物理現象である。それは、回転する円盤の周囲を逆向きに進行する光信号の相対的速度が非対称であると云う現象である。
Introduction et présentation succincte de l'effet Sagnac
On appelle "Effet Sagnac" le décalage temporel de la réception de signaux lumineux "tournant en sens inverse" quand ils sont émis par un émetteur-récepteur fixé sur un disque tournant. En effet, si un émetteur placé sur un disque en rotation envoie deux signaux lumineux contraints de suivre la circonférence du disque, chacun dans un sens, les deux signaux reviennent à l'émetteur après un tour complet mais avec un léger décalage temporel qui dépend de la vitesse de rotation du disque. Ce décalage temporel entre les instants d'arrivée des deux signaux lumineux tournant en sens inverse est très facile à calculer.
サニャック効果の紹介と概要
サニャック効果とは、回転する円盤上に固定された発光・受光器から発射された光信号が戻ってくる時間が、周回の向きが逆だと食い違うと云うものである。実際、回転する円盤上に置かれた発光器が、円盤の外周を、其ぞれ逆向きに辿るようにされた2本の光信号を発射したとすると、その2本の信号が円盤外周を一周して発光器に戻って来る時間には、円盤の回転速度に応じた僅かなズレが生じる。逆方向に周回する2本の光信号の到着時間の差は、非常に簡単に計算できる。
Pour cela, le long de la circonférence d'un disque de rayon R tournant à la vitesse v = ωR (au niveau du rayon R) on fait tourner :
- un rayon lumineux dans le même sens que le disque (il tourne alors à la vitesse relative c - v par rapport à ce disque et en fait donc le tour en un temps 2πR/(c - v))
- un rayon lumineux dans le sens opposé à celui du disque (il tourne alors à la vitesse relative c + v par rapport à ce disque et en fait donc le tour en un temps 2πR/(c + v))
つまり、半径 R であって、速度 v = ωR で回転する円盤の外周 (半径 R と同じ高さ) に沿って周回するのは:
- 円盤と同方向に回転させられる光線 (円盤に対する相対回転速度 c - v であるから、一周にかかる時間は 2πR/(c - v)) と、
- 円盤と逆方向に回転させられる光線 (円盤に対する相対回転速度 c + v であるから、一周にかかる時間は 2πR/(c + v)) とである。
L'anisotropie de la vitesse relative de la lumière par rapport au disque tournant est mise en évidence par le décalage temporel δT (appelé effet Sagnac) entre les instants d'arrivée des deux signaux lumineux :
pour un observateur inertiel
pour un observateur tournant situé au rayon R.
回転円盤に対する光の相対速度の方向依存性は、2つの光信号の到着時間にズレ δT があることから (サニャック効果) から明らかとなった。この時間的ズレは:
- 慣性系の観測者にとっては であり、
- 半径 R 上で回転する観測者にとっては である。
Dans le cas où le signal lumineux se propage dans un milieu réfringent (par exemple une fibre optique faisant le tour du disque) avec une vitesse c'= c/n (où n>1 désigne l'indice de réfraction), on doit tenir compte du fait que, par rapport au référentiel inertiel R où tourne le disque, la vitesse c1 du signal lumineux tournant dans le sens de rotation du disque et la vitesse c2 du signal lumineux tournant en sens inverse ne valent plus c mais, conformément à la loi de composition relativiste des vitesses 
et 
. On a alors :
Une fois le calcul fait, on obtient le même résultat que ci-dessus (l'effet Sagnac ne dépend pas de l'indice de réfraction n).
光信号が、屈折媒質内を、速度 c'= c/n (ここで、n>1 は屈折率) で、伝搬する (例えば、光ファイバが円盤を一周している) 場合、円盤が回転している慣性基準系に関しては、円盤の回転方向と同方向に回転する光信号の速度 c2 と、円盤の回転方向と逆方向に回転する光信号の速度 c1 との値は c ではなくなり、速度の相対論的合成則に従って 及び となることを考慮する必要がある。この場合:
となる。この計算を行なえば、上記と同一の結果が得られる (サニャック効果は、屈折率に依存しない)。
[[訳註:原文の δT の式は、誤り。訳文のように訂正しなければならない。(速度の加算は、c1 及び c2 に織り込まれている。) なお、フランス語原文では、c1 及び c2 の含意が、地の文と式とで喰い違っていたので、これも訳文では補正した。]]
On mesure ce décalage temporel par une expérience d'interférence entre les deux signaux lumineux (en leur point de réception sur le disque tournant). Ce décalage des instants d'arrivée des deux signaux lumineux (tournant en sens inverse le long de la circonférence du disque tournant) provoque en effet un décalage des franges d'interférence mettant ainsi en évidence l'anisotropie de la vitesse relative de la lumière par rapport au disque tournant.
この時間のズレは、2つの光信号間に (回転円盤上の受信点での) 干渉を起こさせれば測定される。(回転円盤の外周に沿って対向する方向で周回した) 2つの光信号の到着時間がズレるため、干渉縞にシフトが生じるが、これは、円盤に対する光の相対的速度が方向により異なることを証明してもいる。
Cet effet fut parfois considéré comme une mise en défaut de la relativité restreinte, en particulier par Sagnac lui-même mais aussi, encore récemment, par Franco Selleri et d'autres dans le courant des [nnées 1990. En effet, ce décalage dans l'arrivée des signaux est constaté avec des signaux lumineux qui ont, dans le repère tournant, la même distance à parcourir (la circonférence du disque). La Relativité Restreinte nous dit que la vitesse de la lumière dans le vide est invariante. Cela semble mettre en évidence un désaccord avec la relativité.
特にサニャック自身がそうであったし、最近では 1990年代にフランコ・セレリ (Franco Selleri) がそうしたように、この効果が特殊相対論の破綻を示すものとみなされることがあった。確かに、信号の到着のズレは、回転する座標系の中では同一距離 (円盤の外周) を伝わる信号の間に起こっている。特殊相対論によれば、真空中での光の速度は不変と云うことになっているから、この効果は、相対論との矛盾を示すように見える。
En réalité, l'effet Sagnac s'explique parfaitement dans le cadre de la Relativité Restreinte. Elle peut conduire à des difficultés et à des paradoxes si on n'a pas bien compris que l'invariance de la vitesse relative de la lumière (et d'une façon plus générale la symétrie des effets relativistes) concerne exclusivement les mouvements relatifs de translation à vitesse constante dans un espace-temps de Minkowski (et n'est valide que localement si on passe en Relativité Générale).
実際には、サニャック効果は特殊相対論の枠組内で完全に説明できる。光の相対的速度の不変性 (そして、より一般的には、相対論的効果の対称性) が、ミンコフスキー時空内での一定速度での相対的並進運動のみに係ること (一般相対論に移行するなら局所的でのみ成立するものであること) を充分に理解していないと、特殊相対論は混乱と矛盾とに迷いこむことがあるのである。
L'analyse plus détaillée de l'effet Sagnac présentée ci-dessous nécessite des outils plus élaborés que ceux utilisés habituellement en Relativité Restreinte. Une lecture superficielle de ce qui suit peut donc laisser croire que l'effet Sagnac est compliqué. En fait il n'en est rien. Une bonne compréhension physique de cet effet est possible avec ce que l'on en a dit ci-dessus donc sans rentrer dans les nombreux détails qui suivent. Cela suffit pour éliminer les erreurs d'interprétation de l'effet Sagnac dues à une mauvaise compréhension intuitive de la relativité ; en particulier l'idée erronée selon laquelle la réciprocité des effets de la Relativité Restreinte (contraction de Lorentz des distances, dilatation temporelle de Lorentz, isotropie de la vitesse de la lumière, relativité de la simultanéité) s'appliquerait globalement à tous les types de mouvements ou encore la confusion fréquente entre symétrie globale vis à vis des actions du groupe de Poincaré (applicable en Relativité Restreinte) et symétrie seulement locale (applicable en Relativité Générale).
以下に示したサニャック効果をより詳細な分析には、特殊相対論で通常利用されているのよりも精巧な道具立てが必要である。以下の記述を表面的にだけ見るのなら、サニャック効果が複雑だと信じられてしまうこともありうる。しかし、そのようなことは全くない。この効果を物理的に正しく理解するのは、上記の説明だけで可能であって、以下の多岐にわたる詳細な説明はなくても良いのである。そのためには、相対性を直感的で粗雑に理解することによるサニャック効果の解釈の誤り、特に、特殊相対論的効果の相互性 (距離のローレンツ収縮、時間のローレンツ遅延、光の速度の等方性、同時性の相対性) を全ての種類の運動に大域的に適用してしまうこと、換言すれば、ポアンカレ群の作用対象である (特殊相対論が適用される) 大域的対称性と (一般相対論が適用される) 局所的であるのみの対称性との間にしばしば見られる混同を解消すれば足りるのである。
Présentation détaillée de l'effet Sagnac
Description du phénomène
L'effet Sagnac consiste à émettre, en même temps et en sens inverse, deux signaux lumineux à l'aide d'un émetteur-récepteur fixé sur un disque tournant, en les contraignant à suivre la périphérie du disque tournant, puis à mesurer le décalage temporel entre les instants de réception de ces deux signaux sur l'émetteur-récepteur. Pour bien comprendre, il est utile de comparer ce cas à celui ou les deux signaux sont envoyés et reçus par un observateur O au repos dans le repère inertiel où tourne le disque.
サニャック効果の詳細
現象の説明
サニャック効果は、回転する円盤状に固定された発光器-受光器により、同時に2つの光信号を逆方向に発信し、回転円盤外周を巡らせて、その2つの信号が発光器-受光器に到達する瞬間の時間的ズレを測定すると現われる。理解を深めるには、このような場合と、円盤が回転している慣性座標系内に静止している観測者 O により2つの信号が発信され・受信されると云う場合とを比較するのが有用である。
[[訳註:"comparer ce cas à celui ou" を "comparer ce cas à celui où" と読み替えた。]]
Un observateur O immobile envoie deux signaux 1 et 2 autour d'un disque de rayon R en rotation à la vitesse angulaire ω. Chaque signal fait le tour du disque.
静止した観測者 O は、角速度 ω で回転している半径 R の円盤の外周を回るように信号 1 及び 2 を送り出す。
Pour cela, on peut utiliser des miroirs, des fibres optiques ou d'autres dispositifs. Voici un dispositif possible (schématisé).
光を周回させるためには、鏡、光ファイバその他の手段を利用すれば良い。ここに手段の一例を示す (概念図)。
Il existe bien d'autres configurations possibles, par exemple employant des fibres optiques, avec des sources en rotation ou pas et des détecteurs interférométriques en rotation ou pas. On peut aussi faire interférer les deux rayons sur l'anneau lui-même de manière à obtenir une onde stationnaire en utilisant deux faisceaux de fréquences légèrement différentes. Cela peut se faire automatiquement en intégrant la cavité laser dans le circuit et en renvoyant les faisceaux dans la cavité après un tour. Ces dispositifs à verrouillage de phase sont les plus précis.
この他にも多くの構成が可能であって、例えば、光ファイバを採用するに際して、これと共に、回転する発光源を用いても用いなくても良いし、回転する干渉検出器を用いても用いなくても良い。また、リング自体において2本の光を干渉させる場合に、僅かに周波数が異なる光束を用いて、定常波を得るようにしても良い。これは、周回構造内にレーザー発振器を一体化し、周回後に発振器へ光束を送り返すことで自動的に行なえる。この「位相拘束 (ロックイン)」手段は、非常に正確である。
Revenons à la disposition circulaire. Nous supposerons dans un premier temps que ce sont deux signaux lumineux se propageant à la vitesse c (comme dans le vide).
円形の配置に戻って論ずることにする。取り敢えずは、2つの光信号が、(真空中と同じに) 速度 c で伝搬するものと仮定しておく。
Évidemment, pour le moment, la rotation du disque n'a pas d'importance. Les deux signaux partis simultanément de O reviennent, après un tour, en O en même temps.
明らかに、今のところは、円盤の回転は重要ではない。同時に O を出発した2つの信号は、一周した後、同時に O に戻ってくる。
Considérons maintenant un observateur O' situé en périphérie du disque et en rotation avec celui-ci. Nous choisissons O' pour qu'il soit en O au moment où les deux signaux sont émis.
さて、円盤の縁にいて一緒に回転している観測者 O' を考える。O' は、2つの信号が発射された瞬間には O と同じ位置にあるように選んでおく。
Comme O' se déplace, lorsque les signaux se rencontrent en O, O' n'est plus au même endroit. O' va à la rencontre du signal 2 qui arrive en O' un peu plus tôt et il fuit le signal 1 qui arrive en O' un peu plus tard.
O' は移動するので、信号が O に戻る時には、O' は、もはやそこにはいない。O' は、信号2を迎えにいくので、信号2とは、やや早く出会い、信号1からは逃げるので、信号1とは、やや遅く出会う。
Voyons ce qui se passe dans le repère de O', c'est-à-dire du point de vue de O'.
以下、O' の座標系で起こることを見ることにする。つまり「O' の視点」で見てみよう。
Dans le repère de O', le disque n'est pas en rotation (O' est immobile dans son propre repère et il est solidaire du disque). Les deux signaux font le tour et se retrouvent en O' après un tour. Mais contrairement au cas de la première figure, comme nous venons de le voir, les deux signaux n'arrivent pas en même temps. Le signal 1 arrive après le signal 2. Pour O', le signal 2 est plus rapide que le signal 1. La vitesse apparente des signaux est anisotrope (différente selon le sens de rotation du signal).
O' の座標系では、円盤は回転していない (O' は、自己の座標系では動いておらず、円盤に対して固定している)。2つの信号は、周回して行って1周した後、O' に戻る。しかし、最初の図の場合とは逆に、以下見るように、2つの信号は同時には到着しない。信号 1 は、信号 2 より遅く到着するのである。O' にとって、信号 2 の方が、信号 1 よりが速いのである。信号の見かけの速度が、方向に依存する (信号の周回方向により異なる)。
L'emploi du terme "apparent" est important car ce qui est mesuré n'est pas directement une vitesse mais les temps de départ et d'arrivée des signaux (ou un déplacement des franges d'interférence dans le cas d'une mesure interférométrique). Nous n'avons pas mesuré la longueur du parcours. Bien sûr, il semble évident que cette longueur soit simplement la longueur du cercle. Mais en relativité restreinte ce n'est pas aussi simple ! Ce qui n'empêche pas de nombreux amateurs de relativité de faire cette confusion facile.
直接測定されたのが速度ではなく、信号の出発時間と到着時間である (あるいは、干渉計による測定の場合には、干渉縞のシフトである) のだから、用語「見かけ」を用いたことには重要性がある。行程の長さは測定されていないのである。勿論、この長さが、単に円周の長さであるのは自明のようにみえる。しかし、特殊相対論では、それほど単純なものではない! 相対論を論じたがる多くのアマチュアが、この混同をしがちであるのが避けられない由縁である。
Voyons maintenant, en physique classique (non relativiste, c'est-à-dire en utilisant les transformations de Galilée), ce que valent ces vitesses apparentes et le décalage de temps d'arrivée des signaux.
取り敢えず、古典物理学的に (非相対論的に、つまり、ガリレオ変換を用いて)、これらの見かけの速度及び信号到着時間のズレの値を見てみよう。
La vitesse angulaire du signal lumineux est simplement c/R. Par conséquent, si on appelle t1 et t2 les temps mis par les signaux 1 et 2 pour rencontrer à nouveau O', nous avons :
Soit
光信号の角速度は、単純に c/R である。従って、信号 1 及び 2 が O' に再び戻ってくる迄にかかる時間を t1 及び t2 とすると、次の式が得られる:
すなわち
となる。
Nous trouvons donc pour le décalage de temps d'arrivée des signaux en O' :
従って、O' における信号の到着時間のズレは、次の式で与えられることが分かる:
Si la vitesse angulaire du disque (ou ce qui revient au même du repère en rotation) est faible par rapport à la vitesse angulaire de la lumière (régime non relativiste), alors
où S est la surface du disque.
もし、円盤 (つまり、これは回転する座標系に帰着する) の角速度が、光の角速度に比べ小さいものである (非相対論的領域である) ならば、
となる。ただし、ここで、S は円盤の面積である。
Pour calculer la vitesse apparente des signaux pour O' (dans son repère), il suffit de diviser le temps de parcours par la circonférence. Cela donne les vitesses apparentes des deux signaux :
(O' の座標系における) O' に対する信号の見かけの速さを計算するには、外周長を経路を巡るのにかかる時間で割れば良い。そこで、2つの信号の見かけの速度を考えると:
[[訳註:原文の記述は間違い。"diviser le temps de parcours par la circonférence" (「経路を巡るのにかかる時間を外周長で割れば」)ではなくて、訳文のように「外周長を経路を巡るのにかかる時間で割れば」。ただし、式そのものは、正しく記載されている。]]
Si l'on note V la vitesse tangentielle du disque (ou de O' ou du repère en rotation), on a :
ここで、円盤の接線方向の (つまり O' の、更につまり回転座標系の) 速度 を V と記すと、次の式が得られる:
On trouve que la vitesse, dans le repère de O', des deux signaux est :
où V est la vitesse de O' dans R (la vitesse tangentielle au disque).
R 内での O' の速度 (円盤の接線方向速度) を V とすると、O' の座標系では、2つの信号の速度は、
となる。
Ce qui est, sommes toute, bien naturel puisque nous retrouvons l'addition des vitesses de Galilée.
結局のところ、極めて自然なことながら、ガリレオの速度の加法則に立ち戻った訣だ。
Résultats expérimentaux
L'effet a d'abord été constaté et mesuré en analysant les franges d'interférences des signaux lumineux en O'. Depuis, l'utilisation de laser, d'horloges atomiques et d'autres dispositifs, permet d'autres mesures et en particulier la mesure directe du décalage temporel (la différence de temps d'arrivée des signaux en O') calculé ci-dessus.
実験結果
この効果は、まず、O' において光信号の干渉縞を分析することで確認・測定がされた。次いで、レーザー、原子時計、その他の手段を用いることで、更に直接的な測定、特に上記で計算した時間のズレ (O' への信号到着時間の差) を直接測定することが可能になった。
En 1893 Sir Oliver Lodge proposa d'étudier les effets de la rotation de la terre avec un grand interféromètre. Puis, en 1897, il proposa d'utiliser des interféromètres sur un disque en rotation. L'effet fut théoriquement anticipé par Michelson en 1904. En 1913, Sagnac a vérifié ces prédictions en utilisant un interféromètre en rotation rapide. Il avait prédit les résultats ci-dessus dans le cadre de la physique classique. Ce fut aussi le premier résultat expérimental rapporté de ce qui fut nommé l'effet Sagnac.
1893 年、オリバー・ロッジ卿 (Sir Oliver Lodge) は、巨大な干渉計によって地球の自転の効果を研究した。次いで、1897 年、彼は、回転する円盤上に設置された干渉計を用いることを提案した。その効果は、1904 年にマイケルソン (Albert Abraham Michelson) により理論的に予言された。1913 年、サニャックは、高速回転する干渉計を用いて、この予言を確認した。サニャックは、上記の結果を、古典物理学の枠内で予測していた。これが、サニャック効果と名付けられたものに関する最初の実験結果でもあった。
Il faut toutefois noter que cet effet fut détecté par Franz Harres en 1912 dans une expérience de Fizeau, mais il ne fut correctement interprété comme étant l'effet Sagnac qu'en 1914 par Harzer.
この効果は、「フィゾー (Hippolyte Fizeau) の実験」を行なっている際、1912 年に フランツ・ハレス (Franz Harres) により検出されてはいたのだったが、1914 年にハーツァ (Harzer) が指摘するまで、それがサニャック効果であったと云う正しい解釈がされないでいた。
[[訳註:上記の "Franz Harres" は、英語版ウィキペディア中にでてくる "Francis Harress" と同一人物だろう。"Harzer" とは "Paul Harzer" のことらしい。ここでは「ハーツァ」としておく。]]
En 1925, Michelson et Gale mesurèrent la rotation de la terre grâce à un grand interféromètre.
1925 年、マイケルソンとゲイルとは、巨大な干渉計により地球の自転を測定した。
Depuis les années soixante, des mesures de plus en plus précises ont pu être effectuées grâce à l'emploi des laser.
それ以後 60 年にわたり、レーザーを用いることで、ますます正確な測定が可能となっている。
Les gyrolasers Sagnac (des gyroscopes à laser exploitant l'effet Sagnac) sont couramment utilisés pour mesurer avec précision la rotation d'un dispositif (relativement à un repère inertiel).
サニャック・ジャイロレーザー (サニャック効果を利用したジャイロスコープ) は、(慣性系に対する) 装置の回転を正確に測定するのに実用されている。
Universalité de l'effet Sagnac
Les formules précédentes restent bien sûr valables pour un signal à vitesse quelconque (à condition de remplacer c par la vitesse du signal, étant entendu que c'est la vitesse du signal mesurée dans le repère R).
サニャック効果の普遍性
以上の式は、 任意の速度を有する信号に対して成立する (ただし、c を信号の速度に置き換るものとする。勿論、信号の速度は R 座標系で測定されたものである)。
Mais ce que l'on désire mesurer ce n'est pas le décalage entre O et O' (la dernière formule avec les vitesses apparentes traduit simplement l'addition galiléenne des vitesses) mais l'éventuel décalage de deux signaux émis dans un repère en rotation (c'est-à-dire avec la vitesse des signaux mesurée par O', la vitesse "normale", mesurée localement, pas en la regardant faire un tour). C'est-à-dire que l'on désire considérer ce qui se passe réellement dans ce genre de repère, indépendamment de ce que fait O.
しかし、測定したいのは、O と O' との間のズレではなく (見かけの速度に就いての最後の式は、単に速度のガリレオ和を示すに過ぎない)、回転座標系内で発射された (つまり、O' により測定された、周回とは関りなく局所的に測定された「正規の」の信号速度を有する) 2つの信号間に発生することがあるズレなのである。これは、つまり、考慮の対象となっているのは、O が何を行なうかとは独立して、この種の座標系内を実際に何が起こるか、と云うことなのである。
[[訳註:"en la regardant" の意味が良く分からない。特に "la" は何を指しているのか? "signaux" では性・数が一致しないのだ。"signal" と考えても、性は一致しない。あるいは、"la" ではなく "le" か？]]
O' envoie des signaux à vitesse connue. Que va-t-il se passer sur un tour?
観測者
O' は既知速度の信号を発信する。一周回する時、何が起こるのか?
Si on emploie autre chose que de la lumière dans le vide, il faut veiller à ce que ce soit O' qui envoie lui-même les signaux afin qu'ils aient localement (en principe) la même vitesse dans R' (comme c'est le cas de la lumière en relativité dont la vitesse est invariante), le repère de O'. Et pour la lumière, un milieu de propagation en rotation si sa vitesse dans ce milieu est inférieure à c (par exemple des fibres optiques fixées au disque, car dans ce cas la vitesse du milieu influence la vitesse du signal, comme dans le cas du son avec l'air, ce que l'on vérifie aisément en mesurant la vitesse du signal sur un aller-retour dans de l'eau en mouvement, c'est la célèbre expérience de Fizeau).
真空中の光以外のものを扱う場合には、O' の座標系である R' 内において (速度が不変である相対論的な光と同様に) 信号が (原則的には) 局所的に同一速度を有するように発信するのは O' 自身であることを忘れてはならない。そして、光に就いては、伝搬媒質中の光の速度が c より小さい場合、回転する伝搬媒質 (例えば、円盤に固定された光ファイバがそうである。この場合には、空気中の音におけるのと同様に、媒体の速度が信号の速度に影響を与える。これは、運動する水中を往復する信号の速度を測定することで容易に確認できる。それをしたのがフィゾー (Fizeau) の有名な実験である)。
[[訳註:このパラグラフ、後半が文章が尻切れトンポになっている。]]
Mais si c'est O' qui envoie le signal, aucun décalage ne peut être prédit par la méthode précédente. Dans O' les deux signaux allant à même vitesse, comme on le voit sur la figure tracée dans le référentiel de O', les deux signaux arriveront en même temps (c'est pour O qu'ils seront décalés). Comme dans la figure ci-dessus, ils parcourent le même cercle à la même vitesse, même si c'est dans des sens différents, et ils doivent arriver en O' en même temps.
しかし、信号を発射するのが O' であるなら、上記の方法では如何なるズレも予測されない。O' にあっては、O' の基準系内を描いた図から分かるように、2つの信号の進行速度は同一であるから、2つの信号の到着時間も同一である (O ではズレることになる)。上に示した図のように、2つの信号は同一の円周を同一速度で通るから、たとえ方向が異なっていたとしても、O' に同時に到着しなければならない。
[[訳註:"et ils doivent arriver en O' en même temps." の "et" は不要だろう。]]
En réalité un décalage est bien constaté ! Et, plus surprenant encore, le décalage (de temps) calculé précédemment est identique quelle que soit la nature du signal et sa vitesse. C'est ce que l'on appelle l'universalité de l'effet Sagnac.
実際には、ズレは明確に確認されている! 更に極めて驚くべきなのは、前もって計算される (時間の) ズレが、信号の性質と速度に関りなく同一だと云うことである。このことは、サニャック効果の普遍性と呼ばれる。
Cet effet est donc difficile à expliquer en physique classique (en fait, avec les transformations de Galilée, c'est même impossible).
従って、この効果を古典物理学で説明するのは困難である (実際、ガリレイ変換では、これは正に不可能である)。
Déjà en 1914 Harzer avait constaté que l'effet subsiste en présence de la réfraction. C'est-à-dire dans un milieu où la lumière va moins vite que c.
既に 1914 年において、ハーツァが、屈折があるような状況下でも (つまり、光が c より遅くなる媒体にあっても)、この効果がやはり発生することを確認している。
L'effet avec des signaux de "matière" fut vérifié plus tard.
- En 1965, Zimmermann et Mercerau utilisèrent des paires de Cooper.
- En 1984, Atwood utilisa des neutrons.
- En 1991, Riehle utilisa des atomes de calcium.
- Et en 1993, Hasselbach et Nicklaus utilisèrent des électrons.
- L'effet de la rotation terrestre avec des neutrons fut mesuré par Werner an 1979.
後年、物質波についても、この効果は確認された:
- 1965年、ジンマーマン (Zimmermann) とメルスロー (Mercerau) とがクーパー対に就いて
- 1984年、アトウッド (Atwood) が中性子に就いて、
- 1991年、リーレ (Riehle) がカルシウム原子に就いて、
- 1993年、ハッセルバッハ (Hasselbach) とニクラウス (Nicklaus) とが電子に就いて、
- 地球の自転の中性子に対する効果は、ウェーナー (Werner) が1979年に測定している。
Le problème de la lumière
En plus du problème de l'universalité, en relativité restreinte un problème supplémentaire se pose. En effet, en relativité restreinte, la vitesse de la lumière dans le vide est invariante et isotrope. Or les raisonnements qui ont conduit aux vitesses apparentes dans ce qui précède sont qualitativement indépendants de la relativité (un facteur gamma pourrait intervenir, tout au plus). Le raisonnement effectué avec les signaux émit par O et le décalage observé par O' (car il s'est déplacé le temps que les signaux fassent le tour) ne semble pas dépendre de la relativité restreinte.
光の場合の問題点
普遍性の問題に加えて、特殊相対論には別の問題点も指摘されている。実際、特殊相対論においては、真空中の光の速度は不変であり、方向に依存しない。ところが、上記で見かけの速度に就いて行なった議論は、量の観点からは、相対論とは無縁である (せいぜい、因子 γ を挟み込むことができるぐらいである)。O から発せられた信号と O' で観測されるズレ (これは信号が周回する時間のズレである) とに関する議論には、特殊相対論に依存するようには見えない。
Rappelez-vous la figure plus haut et le raisonnement effectué :
最初の図と、それについて行なわれた議論を思い出していただきたい:
Ce décalage est évident, inévitable. L'anisotropie de la vitesse de la lumière (émise par O) semble donc incontournable dans un repère tournant (celui de O'). Ennuyant pour une théorie (la relativité restreinte) qui dit que la vitesse de la lumière est invariante et isotrope !
このズレは明白で不可避である。従って、(O から発せられた) 光の速度の方向依存性は、回転座標系 (O' の座標系) でも回避しえないように見える。光の速度が不変で方向に依存しないなどと云う理論 (特殊相対論) は困りものだ!
Ce fait a plusieurs fois été utilisé pour tenter de réfuter la relativité restreinte, même encore récemment, aussi bien par des amateurs de relativité que par des théoriciens ayant en principe des connaissances plus approfondies de la relativité restreinte.
この事実は、相対論を議論したがるアマチュアだけでなく、原則的には特殊相対論を知悉している理論家により、特殊相対論を否定しようとして、何度となく、そして最近でも、利用されている。
En réalité l'effet Sagnac est compatible avec la relativité restreinte et l'isotropie de la vitesse de la lumière dans tout repère mais que la relativité restreinte prédit en plus l'universalité du phénomène.
実際には、サニャック効果は特殊相対論とも、全ての座標系において光の速度が方向に依存しないこととも両立しており、さらに、特殊相対論からは現象の普遍性も予測される。
[[訳註:この訳文、自信がない。"mais que" 以下のつながりが分からないのだ。]]
La déduction des transformations de Lorentz est valable dans tout repère (y compris accéléré) mais uniquement de manière locale dans un repère accéléré (c'est-à-dire dans un voisinage infinitésimal de l'origine du repère et pendant une durée infinitésimale). La vitesse de la lumière est peut-être invariante et isotrope localement, mais qui dit que sur un tour complet cela reste vrai ? Évidemment vous devez certainement vous demander comment cela est possible, comment une vitesse invariante en tout point peut donner quelque chose de variable sur une distance finie (la moyenne d'une valeur constante est égale à cette valeur). Ou comment la même vitesse locale pourrait conduire à une vitesse globale différente selon le sens de parcours du disque (la circonférence ne dépend pas du sens dans lequel on considère le cercle). Il y a effectivement des choses bien étranges qui se passent et, par exemple, définir le repère en rotation de tout le disque pose de grosses difficultés.
ローレンツ変換からの帰結は、(加速座標系を含む) 全ての座標系 で有効であるが、加速座標系においては、局所的にのみ (つまり、原点の無限小近傍の中と無限小時間の間) 有効なのである。光の速度は、局所的にはおそらく、不変であり、方向依存性はないのであるが、全周にわたってその通りでありつづけると誰が言えるだろう? 明らかに、それが如何にして可能なのか、全ての点で不変な速度が、有限区間上で変化するようなものを (一定値の平均値は、その値に等しいのだから) 如何にして産み出すのかを自問する必要が確かにあるのだ。あるいは、如何にして、局所的に同一の速度が、その円盤周回の方向に応じて大域的には異なる速度を引き起こすのか (外周の長さは、円周をどちらの向きで考えるかに依存しない)。確かに奇妙なことである。その上、例えば、円盤全体の回転に対して座標を定義することは、重大な困難を引き起こす。
Mais ne brûlons pas les étapes, avant d'attaquer le problème correctement, rigoureusement et dans toute sa généralité, présentons une dérivation relativiste "simpliste" ainsi qu'une série de paradoxes liés à l'effet Sagnac.
しかし、拙速は避けよう。そして、問題に対し正確・厳密かつ一般的に取り組む前に、サニャック効果に関する一連のパラドクスと同様な相対論からの「単純過ぎる」帰結を紹介しておこう。
[[訳註: 『「単純過ぎる」』と訳した '"simpliste"' には悪意が感じられる。あまりガラの良い言葉とは思えないが「単細胞的」ぐらいにも訳せるかもしれない。]]
Interprétation simpliste
Nous allons maintenant voir ce que deviennent les formules précédentes dans le régime relativiste.
「単純過ぎる」解釈
まず、相対論的には、これまでの式がどうなるかを見てみよう。
Nous allons raisonner de manière simple, sans vouloir être trop rigoureux. Cela peut sembler dangereux, mais vous seriez étonné du nombre d'amateurs de relativité et même de physiciens professionnels qui se contentent de ce genre de raisonnement ! Avec parfois des résultats désastreux.
厳密過ぎるようにしたくないので、議論を単純化する。危険に見えるかもしれないが、読者は、この種の議論で満足している相対論のアマチュアや専門的物理学者の多さに驚かれるであろう。そして、時として、その結果は悲惨である。
Dans le référentiel R de O, les deux signaux arrivent sur O' avec un décalage Δt mesuré sur l'horloge de O. O', en mouvement, doit observer une dilatation du temps. Toutefois ce n'est pas si simple car O' se déplace entre les deux réceptions des signaux. Et nous savons que le temps dépend aussi de la position. Nous devons utiliser les transformations de Lorentz.
O の 基準系 R 内で、2つの信号が、O の時計で測定して、ズレ Δt でもって O' に到着したとする。運動している O' の観測では時間遅延が生じる。しかし、O' は2つの信号の受信と受信との間に移動するから、事態はそれほど単純ではない。また、時間は位置にも依存することが分っている。ローレンツ変換を使わねばならないのである。
Nous allons supposer que la vitesse de rotation du disque n'est pas trop grande pour pouvoir assimiler la trajectoire de O' (entre l'émission et les réceptions des signaux) à un segment de droite. Ainsi, l'utilisation des transformations de Lorentz semble être justifiée
円盤の回転速度が、O' の (信号の発信から受信までの間の) 軌跡と直線分との同一視が不可能になる程には速くないものであることを仮定する。そうすると、ローレンツ変換の使用が正当化されるであろう。
Les signaux seront reçut par O' (dans le repère R) aux coordonnées :
信号は、(座標系 R 内で) 次の座標を有する O' により受信される:
On peut alors appliquer les transformations de Lorentz :
ここでローレンツ変換
を用いて:
[[訳註:分かり切ったかのように、係数 (因子) γ が出てくるが、感心した書き方ではない。勿論、所謂「ローレンツ係数」、「ローレンツ因子」、「γ 係数」などと呼ばれている、 (1-(v/c)2)-1/2 を指す (ここで、v は座標間の相対速度、c は真空中の光速度) のだが、論理上は記号と記号内容との関係に「当然」はあり得ないから、初歩的で、一般に流布している記号なら別の話、論理の運びが重要な局面では、記号の内容は、記号が最初に登場した時点で明示されるべきである。]]
Soit avec les coordonnées précédentes
前記の座標を代入すると、次の式が得られる
On trouve donc dans le repère R' de O'
従って O' の座標系 R' では、次のようになる
Le résultat trouvé, c'est-à-dire le décalage de temps d'arrivée des deux signaux sur O' dans R', est exactement la valeur approchée que nous avions obtenue précédemment, à un facteur gamma près (alors que pour cette expression approchée nous sommes partis de la valeur classique exacte) ! C'est assez étonnant. Habituellement c'est plutôt l'inverse qui se produit (la formule relativiste redonne la formule classique en supposant gamma proche de un et en négligeant les termes d'ordres supérieurs, proportionnels au carré de la vitesse, comme dans le cas de l'effet Doppler).
得られた結果は、R' における O' への2つの信号の到着時間のズレだが、以前に得た近似値 (この近似値は、まさに古典論的な値から導かれたものであった) に因子 γ が付いているものに正確に一致している! これは、充分に驚くべきことである。通例、起こるのは、むしろ、この逆のことである (ドップラー効果の場合のように、相対論的な式が、γ がほぼ 1 であると仮定して、速度の二乗に比例するような高次の項を無視することで、古典論的な式が得られる)。
Pour calculer la vitesse du signal dans R', il faut connaître la longueur de la circonférence. A priori ce n'est pas trivial, car dans R la contraction des longueurs ne s'applique pas de manière homogène selon le point considéré sur la circonférence (l'orientation de la vitesse varie avec l'angle).
R' 内での信号の速度を計算するには、外周の長さが分かれば良い。R 内では長さの短縮が、外周上の点に対して一様には起こらないから、これは、「ア・プリオリ」には自明ではない (速度の方向は、角度と共に変化する)。
Mais grâce à la symétrie par rotation, nous pouvons faire plus simple. En effet, A cause de cette symétrie, dans R et R', un disque reste un disque. En rotation ou pas. La géométrie reste inchangée (ce raisonnement est en fait totalement incorrect). Par conséquent la contraction doit être homogène. De plus, la circonférence étant forcément toujours tangente à la vitesse, la contraction de Lorentz est indépendante de l'angle (voilà qui est assez contradictoire avec ce qui est dit ci-dessus, mais continuons avec notre approche approximative, de toute façon, une contraction variable, donnant une circonférence bizarre, ne ferait que donner un facteur correctif en plus du facteur gamma, cela ne changerait pas les conclusions).
しかし、回転の対称性により、単純化が可能である。実際、この対称性により、R 及び R' 内では、円盤は円盤であり続ける。回転の有無に関らず、幾何学的特徴は変化しない (実は、この議論は全く不正確である)。このため、収縮は一様でなければならない。更に、外周は必然的に常に速度に接し、ローレンツ収縮は、角度に依存しない (これは、以前の議論と充分に矛盾するが、現在の近似的手法を続けていく。いづれにせよ、可変な収縮では、歪んだ外周ができるが、因子 γ 以外の補正因子が得られるだけで、結論には変化はないだろう)。
[[訳註:"A cause de" は "a cause de" とすべき。]]
[[訳註:"En rotation ou pas. La" は "En rotation ou pas, la" とすべき。]]
[[訳註:"ferait" は "faire" の条件法第三人称単数。]]
Si le disque a le périmètre 2πR' dans R' (le disque est immobile dans ce repère, et ne confondez par les repères R et R' avec les rayons du disque dans ces deux repères R et R', il est dommage qu'en français les mots rayon et repère commencent pas la même lettre), alors il aura une longueur plus courte d'un facteur gamma dans R. 2πR = 2πR'/γ. C'est-à-dire que dans R' la longueur parcourue est plus longue.
もし円盤の外周が R' 内において (この座標系では円盤は静止している。座標系 R 及び R' と、この2つの座標系における円盤の半径 R 及び R' とを混同しないようにされたい。これは、「半径 (rayon)」と「座標系 (repère)」とが同じ文字で始まるフランス語の不都合な点である。) 2πR' であるとすると、R 内では因子 γ だけ長さが短くなる。つまり 2πR = 2πR'/γ である。これはつまり、R' 内では、外周長が、長くなると云うことである。
[[訳註:"ne confondez par" は "ne confondez pas" と読み替える。]]
[[訳註:「座標系 R 及び R' と、この2つの座標系における円盤の半径 R 及び R' とを混同しないようにされたい。」私も、読んでいて当初戸惑った。「これは、「半径 (rayon)」と「座標系 (repère)」とが同じ文字で始まるフランス語の不都合な点である。」ハハハ。だったらどっちか記号を変えろよと思う。なお、この翻訳中では、座標系の場合は、ボールド体 (R 等)、半径の場合はイタリック体 (R ) に書き分けてある。]]
Comme la vitesse des signaux est obtenue en divisant cette longueur par le temps de parcours et comme les deux sont augmenté d'un facteur gamma, il y a compensation. Un petit calcul utilisant les transformations de Lorentz pour la position et les coordonnées temporelles ci-dessus montrent que les formules d'addition des vitesses que nous avions trouvées dans le cas classique restent valables :
(où V = ωR est la vitesse au bord du disque, c'est-à-dire la vitesse angulaire fois le rayon, la vitesse angulaire étant le nombre de tours par seconde multiplié par deux pi).
信号の速度は、これらの長さを、周回時間で割れば得られ、そして双方に因子 γ が付いている訣だから、相殺が起こる。位置及び上記の時間座標値に付いてローレンツ変換を使った簡単な計算を行なうと、古典論的に得られた速度の加算式は、やはり成り立つことが示される:
(ここで、V = ωR は、円盤外縁の速度。つまり、半径に角速度を掛けたもの。角速度とは、秒当たり回転数に円周率の2倍を掛けたものである。)
Deux constatations s'imposent :
- Dans R' la vitesse de la lumière est anisotrope, ce qui est a priori en contradiction avec la relativité restreinte. Toutefois celle-ci ayant été établie dans des repères inertiels et non en rotation, nous pouvons l'admettre dans un premier temps.
- L'aspect universel de l'effet Sagnac ne s'explique pas car l'effet n'apparaît ici qu'avec une vitesse de la lumière anisotrope dans R' alors qu'avec des signaux quelconques ayant une vitesse bien précise (même inférieure à c) et isotrope dans R' l'effet Sagnac est malgré tout observé en pratique.
Et cet effet ne peut être dû à une anisotropie non détectée car si la vitesse du signal (inférieure à c) est isotrope dans R et donc anisotrope dans R', faites le calcul, on obtient un écart bien supérieur à celui calculé ci-dessus.
2つの点が確認される:
- R' 内で、光の速度は方向に依存する。これは、「ア・プリオリ」に特殊相対論と矛盾する。それでも、特殊相対論は、回転していない慣性系に対し構成されたものだから、取り敢えずは、これを受け入れても良い。
- サニャック効果の普遍性が、説明できない。なぜなら、この場合、この効果は、R' 内での方向に依存する光の速度に対してのみ発生すると思われるが、R' 内で方向に依存せず、また、極めて明確な速度 (c よりも小さくもある) を有する普通の信号に対しても、サニャック効果は、やはり実際に観測されている。
そして、この効果は、検知されていない方向依存性に起因することはあり得ない。何故なら、もし (c より小さい) 信号速度が R 内で方向依存性を持たず、従って、R' 内で方向依存的であるならば、計算をしていただくと分かることだが、上記で計算したのより遥かに大きい差が得られるからである。
Il est intéressant de voir aussi que ces raisonnements simples (simplistes) conduisent à divers paradoxes.
こうした単純な (単純過ぎる) 議論が様ざまなパラドクスを導き出すのを見るのも楽しいものだ。
Voir le paradoxe d'Ehrenfest.
Voir le paradoxe de Selleri.
"paradoxe d'Ehrenfest" (エーレンフェストのパラドクス) を参照。
"paradoxe de Selleri" (セレリのパラドクス) を参照。
L'addition des vitesses
Les formules précédentes que nous avons vues donnent en fait l'addition des vitesses avec la lumière. Mais qu'en est-il de l'addition des vitesses en général. Que vaut l'addition des vitesses sur la circonférence du disque ?
速度の加算
上述の式は、実質的には、光の速度の加算に就いてのものだった。しかし、一般的な速度の加算はどうなるのだろう。円盤外周での速度の加算を行なうとどうなるのか？
Soit deux observateurs O' et O" se déplaçant à V' et V''. Un rayon lumineux se déplaçant dans le même sens à pour vitesse respectivement pour O' et O" :
2人の観測者 O' と O" とが V' と V'' とで移動しているとする。光信号が、O' 及び O" の速度に対し、それぞれ同一方向に進んでいるものとすると:
[[訳註:"à pour" 中の "pour" の意味が分からない。余計とも思える。]]
[[訳註:原文の式中の "(" は "'" に変えなければならない。]]
Soit V''' la vitesse relative de O' et O". Un raisonnement identique à celui utilisé dans la présentation de l'effet Sagnac (en utilisant O" comme "signal" pour O et O') montre que
Donc
C'est-à-dire
V''' を O' と O" との相対速度とする。サニャック効果に就いての説明で用いたのと同じ議論 (O" を、O と O' とに対する「信号」として用いる) をすると、以下のことが示される
従って、
これは、つまり
と云うことである。
L'addition des vitesses est celle de Galilée ! Ce n'est pas étonnant en voyant les formules pour l'addition avec la vitesse de la lumière : la lumière obéit dans le repère en rotation à l'addition des vitesses galiléenne. Nous avions déjà suggéré cela dans la section précédente.
速度の加算がガリレオ式になっている! これは、回転座標系内で光がガリレオ式の速度加算則に従うと云う光の速度の加算式を見るなら驚くべきことではない。このことは、直前の節で既に示唆しておいた通りである。
Si on effectue un passage à la limite, on tombe sur un paradoxe analogue à celui de Selleri : l'addition des vitesses devient galiléenne dans un repère inertiel.
しかし、もし極端に進めてしまうと、「慣性系内で、速度の加算がガリレイ的になる」と云うセレリのパラドクスと類似のパラドクスに陥ってしまう 。
Avec des arcs de cercles qui sont quasiment des segments de droite, et en utilisant un signal allant dans le sens approprié, nous avons même la possibilité d'avoir des signaux allant plus vite que c entre deux points quelconques. Or, nous savons que cela viole la causalité et conduit donc à des inconsistances en relativité restreinte.
殆ど直線分と言えるような円弧で、適宜な方向に進んでいる信号を用いると、任意の2点間に就いて、c より早く進む信号を得ることも可能である。さて、これでは、因果律に反し、従って特殊相対論の内部矛盾を導き出すことになる。
En fait, l'addition des vitesses galiléenne est compatible avec un espace-temps euclidien mais pas avec un espace-temps de Minkowski qui conduit aux transformations de Lorentz. Comme nous l'avons vu dans la déduction rigoureuse des transformations de Lorentz. C'est-à-dire que ces relations sont incompatibles avec les effets relativistes qui sont pourtant clairement observés !
実際、ガリレイ式の速度加算は、ユークリッド時空に整合し、ローレンツ変換に従うミンコフスキー時空には整合しない。ローレンツ変換の厳密な導出において分っていることだ。つまり、こうした関係は、明白に観測可能な相対論的効果と矛盾する!
[[訳註:文意全体には関わりのないことがだ、文章のまとまりが悪い ("Comme ...." はセンテンスになっていない)。恐らく、"Lorentz. Comme" は "Lorentz, comme" とでもすべきなのだろう。]]
De toute évidence il y a un sérieux problème. Nous venons tout simplement de montrer que la formule donnant la vitesse de la lumière dans un repère tournant est incompatible avec l'invariance de c dans un repère inertiel. Alors que nous sommes sensé avoir déduit ces relations de la relativité elle-même obtenue grâce à l'invariance de c. Cela semble (en apparence) nous mener à une inconsistance non seulement de la relativité restreinte mais des données expérimentales elles-mêmes !
明らかに重大な問題がある。回転座標系内での光の速度を与える式は、慣性座標系内での c の不変性と整合しないことが全く簡単に示せるのだ。我我には良識があるからこそ、c の不変性から相対論諸関係を導き出した。これでは、まるで、我我が、(見かけ上) 特殊相対論だけでなく、経験そのものを内部矛盾に陥れさせてているようだ!
Un problème plus compliqué qu'il n'y paraît
En plus des paradoxes soulevés dans les sections précédentes et du problème de l'universalité de l'effet Sagnac, récapitulons quelques remarques qui montrent que le raisonnement simpliste est faux ou, à tout le moins, qu'il doit être sérieusement mis en doute et que l'analyse de l'effet Sagnac en relativité restreinte nécessite un traitement plus rigoureux.
見かけよりも複雑な問題
これまでの節で提起したパラドクス及びサニャック効果の普遍性の問題のほかに、「単純過ぎる」議論が、誤っている、或いは、少なくとも、重大な疑念を抱かざるをえないものであること、及び、特殊相対論によるサニャック効果の分析には、ヨリ厳密な取り扱いが必要であることを、以下要約しておく。
- Dans l'espace-temps les rayons lumineux ne suivent pas la même trajectoire.
時空内で、複数の光線は、同一の軌跡を取ることはない。
Même dans R les trajectoires sont différentes ! Bien que dans R, la situation des deux trajectoires soit totalement symétrique et aucun problème particulier ne se pose.
たしかに、R 内で も軌跡は異なっている! ただ R 内では、2本の軌跡の状況は、全く対称で、特別何らの問題もないようではある。
Notons que ce dessin peut être trompeur car en relativité restreinte l'espace-temps est de Minkowski et pas euclidien comme cette figure (c'est inévitable). Il faut donc faire attention.
しかし、特殊相対論では時空はミンコフスキー的であって、この図のようにユークリッド的ではない (それは不可避である) ので、この図は誤解を引き起こす可能性があることに留意されたい。注意が必要なのである。
- Dans R', il y a asymétrie de ces trajectoires à cause de la rotation. Cette asymétrie n'existe pas dans R. C'est la très grosse différence entre R et R'.
R' 内では、回転に起因する軌跡の非対称性が存在する。この非対称性は R には存在しない。これが、R と R' との間の大きな相違点である。
- On ne peut pas considérer la circonférence vue dans le repère R comme la longueur des trajectoires dans R', même en lui appliquant la contraction des longueurs, car on ne peut pas sans précaution séparer l'espace du temps (l'espace en relativité restreinte n'est pas absolu) et l'existence de deux trajectoires asymétriques dans l'espace-temps ne simplifie pas les choses.
たとえ、長さの短縮を適用したとしても、座標系 R' 内での軌跡の長さとして座標系 R 内で見られる外周を考えることはできない。何故なら、不用意にに空間を時間から分離することはできないし (特殊相対論における空間は絶対的ではない)、時空内での2つの非対称な軌跡の存在が事態を単純化させないのである。
Dans le dessin, la partie spatiale est l'horizontale (et la longueur des circonférences est indiquée), identique pour les deux trajectoires, mais, répétons le, n'oublions pas que notre figure est faite "sur papier" donc dans un plan obéissant à la géométrie d'Euclide, tandis que l'espace-temps réel est de Minkowski, compliqué ici par la rotation.
図中で、空間部分は水平線方向で示されており (外周の長さも示されている)、2本の軌跡に対して同一になっている。しかし、(繰り返しになるが) この図が「紙の上」に書かれているものであって、ユークリッド幾何学に従った面上にあるのに、実際の時空はミンコフスキー的であり、更にここでは回転により複雑化していることを忘れないようにしていただきたい。
Ce problème peut-être relié aux intervalles de type spatial. Cet intervalle n'ayant pas de signification physique (pas de lien causal), la longueur de l'intervalle n'est pas fixée ''a priori''. Lui attribuer une valeur quelconque ou le considérer comme non invariant ne modifie pas la physique. C'est une simple considération mathématique. Ce n'est que des considérations en rapport avec le principe de relativité qui conduisent à la forme de l'intervalle invariant, y compris spatial, que nous connaissons. Si l'on ne tenait compte que des données physiques (l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide), nous aurions plus de liberté et même si les intervalles lumineux et temporels seraient toujours invariants, l'intervalle spatial pourrait être quelconque.
この問題は、恐らく、空間型の「間隔」に関係している。この「間隔」には物理的な (因果性に関わる) 意味はなく、「間隔」の長さが固定されないのは「ア・プリオリ」に明らかである。それにある値を付与したり、不変量ではないと考えても、事態は変化しない。これは、単純な数学的検討を行なえば分かることである。これは、空間的であるものを含めて、我我が承知する不変「間隔」の形式を導き出す相対性原理に関する考察の結果そのものである。もし物理的事実 (真空中での光の速度の不変性) を考慮に入れないとしたら、我我は一層の自由を手に入れて、たとえ光及び時間の「間隔」が常に不変であっても、空間的な「間隔」は任意にすることができることになる。
La circonférence est la longueur d'une figure géométrique purement spatiale. Par conséquent, on ne peut pas, sans précaution, considérer que la longueur des trajectoires est numériquement égale à la circonférence. Il pourrait y avoir des difficultés et des surprises et violation involontaire du principe de relativité.
外周は、純粋に空間的な幾何学図形の長さである。従って、軌跡の長さが数値的に外周に一致すると不用意に考えることはできない。困難や予想外の出来事、意図しない相対性原理への違反が起こる可能性があるのである。
L'espace n'est pas absolu. On ne peut pas considérer que la physique se déroule sur une "scène de théâtre". La relativité restreinte nous enseigne que tout est relatif et que la physique doit se décrire par les relations entre observateurs et objets. Le choix du repère n'est là que pour donner des valeurs numériques aux variables. On ne peut pas considérer notre dessin avec le cercle comme un cadre absolu qui nous permettrait de mesurer à coup sûr la longueur des trajectoires. Ce n'est pas aussi simple.
空間は絶対的ではない。物理は、「舞台」の上で繰り広げられているとみなす訣にはいかないのだ。特殊相対論の教えるところは、全ては相対的であり、物理は、観測者と対象との間の関係により叙述されねばならないと云うものだ。座標系の選択は、変数に数値を与えるのに過ぎない。円周が描かれている図を、軌跡の長さを確実に測定することができる絶対的な枠組みと見なすことはできないのだ。それほど単純なものではないのである。
- Les rayons lumineux ne suivent pas les géodésiques (c'est-à-dire les chemins les plus court).
光線は測地線 (つまり、最短経路) を辿るのではない。
Si l'on appelle A et B les points où O' rencontre les deux signaux lumineux. Traçons les géodésiques (les lignes les plus courtes) dans R (une droite) et dans R'.
O' と2つの光信号とが出会う場所を A 及び B とする。測地線 (最短線) を R 内 (直線になる) と R' 内とに引いてみよう。
Pourquoi la géodésique ne rejoint-elle pas B dans R' ? Tout simplement parce que les deux évènements spatio-temporels A et B ne peuvent pas être joint par une géodésique lumineuse (la lumière se déplace beaucoup plus vite que O' et les deux ratent leur rencontre) ! Par conséquent A et B sont bien confondu dans R' (puisque O' est immobile dans R') mais la géodésique lumineuse, la ligne droite dans R, est vue comme courbe dans R'. Si l'on n'est pas convaincu, on peut dessiner cette géodésique point par point à partir de celle dans R en tenant compte de la vitesse c et de la vitesse et de la rotation de O', par exemple en utilisant du papier millimétré et une bonne vieille calculette (c'est assez fastidieux).
どうして、R' 内では測地線が B に辿り着かないのか? これは単純なことで、2つの時空事象 A と B とは、光による測地線では結びつきえないからだ (光は O' より遥かに速く移動するので、両者は出会えないのだ)! 従って、(O' は R' 内では静止しているため) A と B とは R' 内で混同されてしまうが、R 内では直線である光測地線が、R' 内では曲がって見える。納得できなのなら、R 内の測地線を元にして、速度 c と O' の回転速度を考慮し、例えば、ミリ方眼紙と「古き良き」電卓とを用いて、この測地線を、一点一点描いていただいても良い (ものすごく退屈だが)。
Les trajectoires lumineuses entre A et B (évènements spatio-temporels) ne sont pas des géodésiques lumineuses et ne sont donc pas les chemins les plus court dans l'espace-temps. C'est logique : on force la lumière à emprunter une trajectoire imposée grâce à des miroirs ou une fibre optique, justement à cause de cela.
(時空事象) A と B との間の光の軌跡は、光測地線ではあり得ないから、時空内で最短の経路ではない。これは当然である: 鏡や光ファイバの助けを藉りて、正にそうなるように、光に所定の軌跡を辿らせたのだから。
Étant donné l'asymétrie des trajectoires on ne peut pas supposer, sans le vérifier, que ces deux trajectoires "allongées" ont la même longueur dans l'espace-temps. Quand on voit la géodésique dans R', c'est loin d'être trivial et dire "oui évidemment" est totalement présomptueux.
軌跡が非対称性であると確定している訣だから、立証することなしに、「拡げ伸ばした」2本の軌跡が時空内で同一の長さを有すると想定する訣にはいかない。R' 内での測地線を論ずる場合、測地線であるか否かは到底自明ではありえず、「勿論明らかだ」と言うのは、それは全くの自惚れである。
Les géodésiques sont les chemins les plus court, par exemple dans un espace plat (une feuille de papier) elles forment le quadrillage de la feuille. Sur une sphère, ce sont des courbes (les grands cercles ou méridiens et équateur).
測地線は最短の経路であり、例えば、平面 (一枚の紙) 上では、紙面を碁盤の目を形成する。球面上では、曲線になる (大円、又は、子午線や赤道)。
Cette courbure de la géodésique montre bien que l'espace soit courbe vu dans R'. Même en physique classique (espace euclidien), l'espace est courbe vu dans un repère accéléré. Mais on n'en parle quasiment jamais car :
こうした測地線が曲がっていると云うことは、R' 内で見るなら空間が曲がっていることを示す。古典物理学 (ユークリッド空間) であってさえ、加速座標系内で見るなら空間は曲がっている。しかし、このことは滅多に指摘されない。なぜなら:
[[訳註:"bonne vieille" (女性形。男性形は "bon vieux") いずれも、「懐かしい」とか「古い馴染みの」と言ったニュアンスがある。ここでは、若干皮肉な意味で使われている。]]
[[訳註:"courbure" は「曲率」とは訳さず、「曲がっていること」と訳しておく。以下では「曲率」と訳すべき場合も出てくる。]]
Précisons tout de même un point important.
それでも、重要な点をハッキリさせておこう。
La courbure d'une variété (une ligne, une surface, etc.) est une propriété locale "intrinsèque" (qui lui est propre). Par exemple, vous ne pouvez pas faire disparaître la courbure d'une sphère en l'aplatissant : elle se déchire. Tout le monde connaît les difficultés pour représenter notre bonne vieille planète sur des cartes plates : il y a toujours quelque chose de déformé.
多様体 (線、面等) の曲率は、「内在的に」(本質的に) 局所的な性質だと云うことだ。例えば、球面の曲率を、球面を潰すことで (それでは、球面が裂けてしまう)、消すことはできない。我らが古き良き惑星を平らな地図上に表現することの難しさは、世界中が知っている。必ず、何かが歪んでしまうのである。
Il ne faut pas la confondre avec la courbure "extrinsèque" imposée de l'extérieur, par exemple en roulant une feuille de papier en cylindre : cela ne modifie pas la feuille de papier, seulement la manière dont nous la voyons.
外部から課せられる「外在的」曲率と混同してはならない。これは、例えば、一枚の紙を丸めて筒状にするような場合を指す。これでは、面としての紙を変えたのではなく、単に見え方を変えたに過ぎない。
Nous ne parlerons pas ici de courbure extrinsèque. Quand on parlera de courbure, nous parlerons toujours de courbure intrinsèque.
ここでは、外在的な曲率を論じていない。曲率に言及する時は必ず内在的な曲率を指す。
Le paradoxe d'Ehrenfest a déjà présenté ce type d'espace courbe (espaces sphériques ou hyperboliques) où la géométrie est différente de celle que nous avons apprise à l'école.
既にエーレンフェストのパラドクスが、測地線が我我が学校で教えているのとは異なる、この種の曲率を有する空間 (球面空間や双曲空間) に関わっていた。
Or l'espace-temps de Minkowski est plat (les trajectoires les plus courtes sont des droites). Ce n'est pas en changeant d'observateur que l'espace-temps va brusquement acquérir une propriété qu'il n'avait pas. La courbure peut d'ailleurs s'exprimer de manière mathématiquement invariante pour tout observateur.
さて、ミンコフスキー時空は平坦である (最短の軌跡は直線である)。このことは、観測者が変わっても、時空が以前を持っていなかった性質を突然獲得するようなことはないと云うことである。その上、曲率は、全ての観測者にとり不変な数学的形式で表現できる。
L'espace-temps dans R' doit donc rester plat. Ce n'est qu'en relativité générale que l'espace-temps est considéré courbe. Et même, on montre par des raisonnements simples qu'en présence de la gravitation l'espace-temps ne peut pas rester plat.
従って R' 内の時空も平坦でなければならない。これは、時空が曲がっているとみなす一般相対論のみに関わる。ところが、簡単な議論により、重力の存在下では時空は平坦でありえないことが示される。
Mais ici nous n'envisageons nullement la gravitation. Nous avons un repère inertiel R dans un espace-temps plat de Minkowski et un observateur O' qui suit une trajectoire courbe (un cercle), c'est tout.
しかし、ここでは、重力のことは全く想定していない。平坦なミンコフスキー時空内の慣性座標系と、曲がった軌跡 (円) を辿る観測者 O' とがあるばかりである。
Mais avoir un espace-temps plat ne signifie pas que l'espace est plat ! Les géodésiques étant courbes ont doit employer des coordonnées curvilignes (un peu comme les coordonnées polaires). Et si l'on effectue une "coupe" dans l'espace-temps pour considérer une "tranche" d'espace (on considère tous les points simultanés dans un repère donné), rien ne dit que cette tranche sera plate !
平坦な時空であると云うことが、そこでの空間が平坦であることを意味する訣ではないのだ! 測地線が曲がっているなら、曲線座標 (敢えて言えば極座標のようなもの) を用いねばならない。空間の「切断面」を (所与の座標系内で同時な全ての点を) 考えようとして、時空を「切る」場合、その切断面が平坦であることとは決して言えないのだ。
C'est vrai en géométrie euclidienne et il est donc difficile d'imaginer qu'il puisse en être autrement. Mais en géométrie de Minkowski on ne peut pas séparer l'espace et le temps de manière arbitraire. Rien ne dit que l'espace sera plat. Le problème étant que ce sont toutes les coordonnées qui sont curvilignes, y compris le temps.
ユークリッド幾何では成り立ってしまうため、他の有り様がありうるとは想像しにくいのだが、ミンコフスキー幾何学では、時間と空間とを任意の仕方で分離することはできない。空間が平坦であるとは決して言えない。問題なのは、時間座標も含めて、座標が全て曲線座標であることである。
[[訳註:このパラグラフの後半は、意味が取りづらい。]]
[[訳註:"notre bonne vieille planète" 「我らが古き良き惑星」とは、勿論地球のこと。世界地図には、
さまざまな図法があるのは周知の通り。]]
[[訳註:"Les géodésiques étant courbes ont doit employer" 中の "ont" は --on-- と読み替えた。]]
- Une analogie avec une autre expérience donne un indice sur l'origine de la difficulté.
他の実験との類比により、この困難な事態の起源への手掛かりが得られる。
Plaçons O et O' non plus sur un cercle mais sur un segment de droite terminé par des miroirs.
O 及び O' を、円上ではなく、鏡で区切られた線分上に置くのである。
Cette expérience est identique à celle de Sagnac sauf que les rayons lumineux font demi-tour sur des miroirs au lieu de faire le tour sur un cercle.
この実験は、光線が円を一周するのではなく、鏡間の行程を半周する点以外では、サニャックによる実験と同じである。
Il est évident qu'ici aussi O' va constater un décalage et une vitesse apparente (en utilisant la longueur du segment pour calculer la vitesse) anisotrope.
この場合でも、O' ではズレが生じ、見かけの速度 (速度の計算には線分の長さが用いられる) が方向に依存するのは明らかである。
Bien entendu, ici l'origine du phénomène est évidente : la longueur des trajectoires, même pour ce qui est de l'espace seul, est différente aussi bien dans R que dans R', et les miroirs se déplacent par rapport à O'.
勿論、ここでの現象の原因は明らかである: 軌跡の長さが、空間単独に就いては同じだが、R 内と R' 内とではやはり異なっており、鏡は O' に対しては移動しているためである。
Se pourrait-il que dans Sagnac on ait un phénomène analogue ? Après tout peu importe la trajectoire choisie pour faire faire demi-tour aux rayons lumineux ou pour leur faire faire le tour. Dans la figure ci-dessus, on pourrait demander à ce que les rayons lumineux fassent un aller-retour avec les deux miroirs, ce qui est équivalent à un tour sur le cercle. Dans ce cas cette figure est simplement la projection sur une droite de l'expérience de Sagnac !
サニャックにおいては、類似の現象はありうるのだろうか? 結局のところ、軌跡を光線が半周させるよう選択するか、一周させるよう選択するかは、ほとんど重要ではない。上記の図で、円を一周するのと等価になるよう、2枚の鏡を使って光線が往復を行なうようにすることもできるのである。この場合、この図は、サニャックの実験を直線上に投影したものに過ぎなくなる。
[[訳註:"pour ce qui est de..."「...に就いては」]]
Rappelons-nous que l'effet Sagnac est indépendant du rayon de courbure et qu'on peut faire tendre l'arc de cercle de O' vers un segment de droite.
サニャック効果が、曲率半径からは独立しており、O' の弧を直線分に引き伸ばしてよいことを思い出しておこう。
Dans ce cas, on devrait aussi considérer que pour R' la longueur des trajectoires n'est pas la même.
この場合、R' については、軌跡の長さが同一にならないことも考慮する必要がある。
Quel est l'équivalent du déplacement des miroirs par rapport à O' dans le cas de Sagnac ? En fait, les miroirs fixent la géométrie de la trajectoire des rayons lumineux. Dire que les miroirs changent ou que les trajectoires changent ou que la géométrie décrite par ces trajectoires change revient au même. Et le changement de géométrie a une cause physique évidente : l'accélération centripète. Dans le cas de Sagnac cela devrait donc se traduire par un changement dans la géométrie. Avec bien sûr une symétrie par rotation. C'est évidemment un peu plus compliqué à étudier qu'une situation linéaire avec deux miroirs.
O' に対する鏡の移動は、サニャックの実験の場合において何に相当するのであろうか? 実際、鏡は光線の軌跡の幾何学的配置を固定している。鏡が変化するとか、軌跡が変化するとか、軌跡により描かれる幾何学的形状が変化するとかと言っても、同じことである。そして、幾何学的な変化には、一つの明らかな物理的原因がある。それは、求心性の加速である。サニャックの実験の場合、これが、幾何学的な変化として現われることになる。勿論、回転による対称性もある。2枚の鏡と直線的な状況よりも、考察がやや複雑になるのは当然である。
[[訳註:["rayon de courbure" "曲率半径"] で (実は、それどころか、["rayon de courbure" "曲率"] ででさえ) google 検索しても何もヒットしない... 当たりまえすぎる訣でもあるまいに。ただし、もし可能なら、現在リンク切れの "
蒙日" (北京师范大学 赵擎寰) の google キャッシュを参照。]]
Résultats expérimentaux récents
Au lieu de mesurer la vitesse apparente des signaux, on peut tenter de mesurer la vitesse de la lumière localement, directement. Comme on le fait sans rotation.
最近の実験結果
信号の見かけの速度を測定する代わりに、無回転における測定と同様に、光の速度を局所的に直接測定することもできる。
[[訳註:"directement. Comme" は "directement comme" としたほうが良かろう。]]
Des expériences ont en effet été menées afin de déterminer s'il y avait une anisotropie dans un repère en rotation. En voici quelques-unes effectuées de différentes manières (sources et récepteurs en rotation ou immobiles, mesures sur un aller simple ou un aller-retour).
実際には、実験は、回転座標系に方向依存性が存在するかを決定するために行なわれた。以下、異なる様態 (回転する、又は、静止した光源及び受信器。片方向又は往復での測定) での実施例を掲げる。
Voir aussi
Articles connexes
以下も参照
関連記事
Bibliographie
Ouvrages généraux
文献
一般的著作
- Jean Hladik, Pierre-Emmanuel Hladik, ''Le calcul tensoriel en physique'', 3ème édition Dunod. ISBN 2100040715, ISBN 2225846537, ISBN 2225841446
- V. Ougarov, ''Théorie de la Relativité Restreinte'', Deuxième Edition, Editions Mir, Moscou. Traduction française Editions Mir, 1979.
- Edgard Elbaz, ''Relativité Générale et Gravitation'', Editions Ellipses-Marketing, 1986, ISBN 2729886516 (épuisé)
- Charles W.Misner, Kip S. Thorne et John Archibald Wheeler, ''Gravitation'', W.H. Freeman and Company, New York. ISBN 0716703440
Articles
論文
- Sagnac M.G., C.R. Acad. Sci. Paris, 157, 708,1410 (1913)
- Harres F., Ph.D. Thesis, University of Jena, Germany (1912)
- Harzer P., Astron. Nachr., 199, 377 (1914)
- Michelson A.A., Gale H.G., Astrophys. J., 61, 137 (1925)
- Chow W.W. et al., Rev. Mod. Phys., 57, 61 (1985)
- Vali V. and Shorthill R.W., Appl. Opt., 15, 1099 (1976)
- Stedman G.E., Rep. Prog. Phys., 60, 615 (1997)
- Zimmermann J.E. and Mercerau J.E., Phys. Rev. Lett., 14, 887 (1965)
- Atwood D.K. et al., Phys. Rev. Lett., 52, 1673 (1984)
- Riehle F. et al., Phys. Rev. Lett., 67, 177 (1991)
- Hasselbach F. and Nicklaus M., Phys. Rev. A, 48, 143 (1993)
- Werner S.A. et al., Phys. Rev. Lett., 42, 1103 (1979)
- Cialdea, Lett. Nuovo Cimento 4 (1972), p821.
- Krisher et al., Phys. Rev. D, 42, No. 2, pp. 731-734, (1990).
- Champeney et al, Phys. Lett. 7 (1963), p241. Champeney, Isaak and Khan, Proc. Physical Soc. 85, p583 (1965). Isaak et al, Phys. Bull. 21 (1970), p255.
- Turner and Hill, Phys. Rev. 134 (1964), B252.
- Gagnon, Torr, Kolen, and Chang, Phys. Rev. A38 no. 4 (1988), p1767.
- Anderson R., Bilger H.R. and Stedman G.E., Am. J. Phys., 62, 975 (1994).
Autres sources
その他
- Bernard LINET,D.E.A. de Physique Théorique - Paris VI, Paris VII, Paris XI, ENS, X, 2003 - 2004, Notes de cours de Relativité Générale.
Liens externes
外部リンク
関連記事 (本サイト内):
- nouse: 英語版ウィキペディア "Sagnac effect" 訳文
- nouse: ドイツ語版ウィキペディア "Sagnac-Interferometer" 訳文
- nouse: オランダ語版ウィキペディア "Sagnac-effect" 訳文
- nouse: 一般相対論によるサニャック効果の導出
平面上で、式 
で表わされる曲線のことである。ちなみに、
が漸近線になる) の曲率の表示式をお探しだったのだろう。
) が使われている。
の陽関数で捉えようとすると、原点の近傍 (正確に言うなら、
が正の微小値である範囲内) では1価関数にならない。したがって、パラメータ (
と表わすことができないかと考えて、葉線の形を見ると、原点を通る直線と葉線との原点以外の交点は、高々1つしかなく、また原点を通る直線の傾きが 
以外なら、原点以外の交点が必ず1つ存在することが容易に確認できる。従って、 
をパラメータとするのが適当であると推測できるので、そのようにすると、
)。従って、求める曲率もまた、このパラメータ 
![\[
\frac{x^\prime y^{\prime\prime} - y^\prime x^{\prime\prime}}{((x^\prime)^2 + (y^\prime)^2)^{3/2}}
\]](http://yeblog.cocolog-nifty.com/images/math/curvature_parameteric_128by46.png){kind=small}
からの曲率の計算式
の式として表わしてから 
となっていて、一般的な形式で書かれていなかったのだな。つまり、(やはりパラメータと呼ぶしかないのだが)パラメータの 
--この記事の書き方でも、Wolfram|Alpha 内の書き方でも同じ記号 
) car ils pensaient que la boucle se répetait dans chaque quart de repère, à la manière des quatre pétales d'une fleur (d'où son nom de folium = feuille). "--フランス語版ウィキペディア"
上に配置された) の意である。ところで、これを横に見ると地層のような層になる。そこで、垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである。この訳がよいか、悪いか、わが国で定着しているかどうか知らないが、この訳語の発案者として、その由来を記しておく。
] p.182-183 (岩波文庫31-034-1) 1962年 東京。岩波書店
