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2016年12月の1件の記事

「高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵」補足 (「検算」篇)

本ブログの記事 [高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵] (2016年11月30日 [水]) では結果だけを書いたので、この記事では、その「検算」をしておく。

つまり、4次方程式


\[
 a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4} = 0
\]

の4つの根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ に対して
\[
 a_{0}(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}), a_{0}(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}), a_{0}(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})
\]

の3つを根とし、主項係数が 1 の3次方程式が

\[
 \lambda^{3} - 2a_{2}\lambda^{2} + (-4a_{0}a_{4}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{3})\lambda + a_{0} a_{3}^{2} + a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3} = 0
\]

であることを示すことにする。

まず記号


\begin{align*}
 &V_{1}\equiv(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})\\
 &V_{2}\equiv(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\
 &V_{3}\equiv(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})\\
 &S_{1}\equiv{V_{1}+V_{2}+V_{3}}\\
 &S_{2}\equiv{V_{1}V_{2}+V_{2}V_{3}+V_{3}V_{1}}\\
 &S_{3}\equiv{V_{1}V_{2}V_{3}}\\
 &W_{1}\equiv{a_{0}V_{1}} = a_{0}(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})\\
 &W_{2}\equiv{a_{0}V_{2}} = a_{0}(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\
 &W_{3}\equiv{a_{0}V_{3}} = a_{0}(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})\\
 &A_{1}\equiv{W_{1}+W_{2}+W_{3}} = a_{0}S_{1}\\
 &A_{2}\equiv{W_{1}W_{2}+W_{2}W_{3}+W_{3}W_{1}} = a_{0}^{2}S_{2}\\
 &A_{3}\equiv{W_{1}W_{2}W_{3}} = a_{0}^{3}S_{3}
\end{align*}

を導入する。

これらの記号を用いて、改めて本稿の目的を述べれば、それは3次式

\[
 \lambda^{3}-A_{1}{\lambda}^{2}+A_{2}{\lambda}-A_{3}
\]

\[
 \lambda^{3} - 2a_{2}\lambda^{2} + (-4a_{0}a_{4}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{3})\lambda + a_{0} a_{3}^{2} + a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3}
\]

に一致することを示すことにある。

別の言い方をするなら


\begin{align*}
 &A_{1}=2a_{2}\\
 &A_{2}=a_{2}^{2}+a_{1}a_{3}-4a_{0}a_{4}\\
 &A_{3}=a_{1}a_{2}a_{3} - a_{1}^{2}a_{4} - a_{0} a_{3}^{2}
\end{align*}

を示せばよい。

我々が求めようとしているのは $W_{1},W_{2},W_{3}$ を根とする3次方程式である訣だが、それを構成する前に、それぞれを $a_{0}$ で割った、$V_{1},V_{2},V_{3}$ /> に就いて、若干検討しておく。そこで、まず、根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の置換が $V_{1},V_{2},V_{3}$ に及ぼす作用を見ることにする。

$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ を2個づつに分けて、それぞれから作った和同士を掛け合わせて得られる積は、$V_{1}\equiv{(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}$, $V_{2}\equiv{(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})}$, $V_{3}\equiv{(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})}$ の3通りしかないから、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の置換を行うと、$V_{1},V_{2},V_{3}$ のそれぞれは $V_{1},V_{2},V_{3}$ のいずれかに変化する。

下の表では、根の添え字に対して左の欄の互換を行った際に $V_{1},V_{2},V_{3}$ がどれに変化するかを、右欄に示してある。なお、表を見やすくするために $(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})$, $(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})$, $(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})$ を、それぞれ $\{12\}\{34\}$,$\{13\}\{24\}$ $\{14\}\{23\}$と表記した (勿論、これらは $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の置換を意味しない)。

\[
 \begin{array}{|c|ccc|}
\hline
  & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\}\\
\hline
  (12) & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\}\\
  (13) & V_{3}\equiv\{14\}\{23\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{1}\equiv\{12\}\{34\}\\
  (14) & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\}\\
  (23) & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\}\\
  (24) & V_{3}\equiv\{14\}\{23\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\} & V_{1}\equiv\{12\}\{34\}\\
  (34) & V_{1}\equiv\{12\}\{34\} & V_{3}\equiv\{14\}\{23\} & V_{2}\equiv\{13\}\{24\}\\
\hline
 \end{array}
\]

このように、4次方程式の根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の互換の全てに於いて、$V_{1},V_{2},V_{3}$ は全体として変わらない。当然、そうした根の任意の置換に於いても $V_{1},V_{2},V_{3}$ は全体として変わらない。これは $V_{1},V_{2},V_{3}$ 自体の置換が起こるのみと云う言い方もできる。従って、$V_{1},V_{2},V_{3}$ の対称式は、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ に就いて対称になる。

ちなみに、恒等置換 ($e$ と表すことにする) の他、置換 $(12)(34),(13)(24),(14)(23)$ の4つの置換 (くどくなりそうだが、こちらの方は、4次方程式の根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の置換であって、上記表の右欄の $\{12\}\{34\},\{13\}\{24\},\{14\}\{23\}$ とは異なる) は、個々の $V_{1},V_{2},V_{3}$ そのものを動かさない。この4つの置換 $\{e, (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ は、4次交代群の正規部分群になっている。それは、位数 2 の巡回群2個の直積と同型なアーベル群であり、Klein の4元群と呼ばれている。この Klein の4元群が、4次交代群の正規部分群になっていることが、上記の 3次方程式が分解方程式になっている所以である。

$S_{1},S_{2},S_{3}$ は、$V_{1},V_{2},V_{3}$ に就いての基本対称式 ([代数学講義改訂新版] p.138 参照) となっているから、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ に対しても対称式であり、従って、符号を除けば $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の基本対称式に等しい $\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{0}},\frac{a_{2}}{a_{0}},\frac{a_{3}}{a_{0}},\frac{a_{4}}{a_{0}}$ の多項式として表すことができる (対称式に関する基本定理。[代数学講義改訂新版] p.140)。

さて、4変数 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ から作られる対称式に就いて論じるため、記法と用語を決めておくと、4変数 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ からなる単項式は $Cx_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}$ ($C$ は定数。$\{i_{1},i_{2},i_{3},i_{4}\}=\{1,2,3,4\}$ であり $e_{1}\geq{0}$, $e_{2}\geq{0}$, </span>$e_{3}\geq{0}$, $e_{4}\geq{0}$) と表せるが、こうした単項式で、変数に置換操作を施すと一致させることができる時、それらを「同型の単項式」又は「同型単項式」と呼ぶ ([代数学講義改訂新版] p.139 参照。ただし、そこでは「同型の項」と呼ばれている)。また、各単項式に於いて $C=1$ と置いた単項式を、元の単項式の「基本形」と呼ぶことにする。同型単項式同士の基本形同士は、勿論同型である。

基本形の単項式があった時、それと異なる同型単項式が存在する場合、それぞれの単項式一つひとつの総和は、対称式となる。また、異なる同型単項式が存在しない場合は、それ自体で対称式となっている。いずれにしろ、そうした対称式を「単型対称式」と呼ぶ ([代数学講義改訂新版] p.139 参照。ただし、そこでは「単型の対称式」になっている)。本稿で扱う対称式は、単型対称式の整係数多項式である。

そこで、基本形の単項式 $x_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}$ と同型であるが、その具体的な形に任意性を有するものを $[x_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}]$ で表すことにする。そして、$x_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}$ と同型の単項式が $n$ 個あって、その総和が対称式になっている時、その総和を $n \otimes{[x_{i_{1}}^{e_{1}}x_{i_{2}}^{e_{2}}x_{i_{3}}^{e_{3}}x_{i_{4}}^{e_{4}}]}$ と記することにする。

この記法を、以下の基本対称式に適用するなら、${}_n\mathrm{C}_{m}$ を二項係数として


\begin{align*}
 &\frac{a_{1}}{a_{0}}=-{}_4\mathrm{C}_{1}\otimes[x_{1}]=-4\otimes[x_{1}]\\
 &\frac{a_{2}}{a_{0}}={}_4\mathrm{C}_{2}\otimes[x_{1}x_{2}]=6\otimes[x_{1}x_{2}]\\
 &\frac{a_{3}}{a_{0}}=-{}_4\mathrm{C}_{3}\otimes[x_{1}x_{2}x_{3}]=-4\otimes[x_{1}x_{2}x_{3}]\\
 &\frac{a_{4}}{a_{0}}={}_4\mathrm{C}_{4}[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}]=[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}]=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\
\end{align*}

が成り立つ (4変数 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ を基礎とするなら $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ は、単独で対称式になっていることに注意)。

以下では、基本形の単項式を、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の積を添え字の昇順、指数の降順に並べた

\[
 x_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}x_{3}^{e_{3}}x_{4}^{e_{4}} \qquad (e_{1}{\geq}e_{2}{\geq}e_{3}{\geq}e_{4}{\geq}0)
\]

を以って代表させることにする。

この記法を使うなら、基本形の範囲内にあっては、4変数 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の単項式は

  1. 1次: $[x_{1}]$ の1種類
  2. 2次: $[x_{1}x_{2}]$, $[x_{1}^{2}]$ の2種類
  3. 3次: $[x_{1}x_{2}x_{3}]$, $[x_{1}^{2}x_{2}]$ 及び $[x_{1}^{3}]$ の3種類
  4. 4次: $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$, $[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$, $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$ 及び $[x_{1}^{3}x_{2}]$, $[x_{1}^{4}]$ の5種類
  5. 6次: $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$, $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$, $[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$, $[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}]$ 及び $[x_{1}^{3}x_{2}^{3}]$, $[x_{1}^{4}x_{2}x_{3}]$, [x_{1}^{4}x_{2}^{2}], [x_{1}^{5}x_{2}], $[x_{1}^{6}]$ の9種類
に限られることが分かる。ただし、7次以上の単項式は当然だが、5次の単項式、及び $[x_{1}^{3}]$, $[x_{1}^{3}x_{2}]$, $[x_{1}^{4}]$, 及び $[x_{1}^{3}x_{2}^{3}]$, $[x_{1}^{4}x_{2}x_{3}]$, [x_{1}^{4}x_{2}^{2}], [x_{1}^{5}x_{2}], $[x_{1}^{6}]$ の形式の単項式は、以下登場しない。

このうち


\begin{align*}
 &x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 4{\otimes}[x_{1}] = -\frac{a_{1}}{a_{0}}\\
 &x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4} = 6{\otimes}[x_{1}x_{2}] = \frac{a_{2}}{a_{0}}\\
 &x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}+ = 4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}] = -\frac{a_{3}}{a_{0}}\\
 &x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = \frac{a_{4}}{a_{0}}
\end{align*}

は既述の通り。

以下、単型対称式の幾つかに就いて、基本対称式で表していく。

${x_{1}^{2}}$ から得られる単型対称式 $4{\otimes}[x_{1}^{2}]$ を基本対称式で表すなら


\begin{align*}
 4{\otimes}[x_{1}^{2}] &= (4{\otimes}[x_{1}])^{2} - 2(6{\otimes}[x_{1}x_{2}])\\
                       &= \left(-\frac{a_{1}}{a_{0}}\right)^{2} - 2\left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right)\\
                       &= \frac{a_{1}^{2}}{a_{0}^{2}} - \frac{2a_{2}}{a_{0}}
\end{align*}

次に $[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ の形の単項式が幾つあるかというと、$[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ の形の単項式は、$[x_{1}x_{2}x_{3}]$ 形の単項式の各変数を選んで二乗することで得られるから、$[x_{1}x_{2}x_{3}]$ 形の単項式が4つあり、そのうちの各変数を選んで二乗する仕方が3通りあるから、全体として $4\times{3}=12$ 個になる。

従って、$[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ 形の異なる同型の項 12 個の総和が作る単型対称式 $12\otimes[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ を、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の基本対称式の多項式で表わすと


\begin{align*}
 12\otimes[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}] &= (4{\otimes}[x_{1}])(4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}]) - 4x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\
                                &= \left(-\frac{a_{1}}{a_{0}}\right)\left(-\frac{a_{3}}{a_{0}}\right) - 4\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right)\\
                                &= \frac{a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$ の形の単項式は ${}_4\mathrm{C}_{2}=6$ 個ある。それらの総和が作る単型対称式 $6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$


\begin{align*}
 &(6{\otimes}[x_{1}x_{2}])^{2} =\\
 &\quad (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\\
 &\qquad\qquad \times (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})
\end{align*}

から見て取れるように

\begin{align*}
 6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}] &= (6{\otimes}[x_{1}x_{2}])^{2} - 24{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}] - 6x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\
                                &= (6{\otimes}[x_{1}x_{2}])^{2} - 2(12{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]) - 6x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\
                                &= \left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right)^{2} - 2\left(\frac{a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}\right) - 6\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right)\\
                                &= \frac{a_{2}^{2} - 2a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} + \frac{2a_{4}}{a_{0}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$ の形の単項式は${}_4\mathrm{C}_{2}=6$ 個ある。


\begin{align*}
 6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}] &= (6{\otimes}[x_{1}x_{2}])(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})\\
                                          &= \left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right)\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right)\\
                                          &= \frac{a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$ の形の単項式は ${}_4\mathrm{C}_{3}=4$ 個ある。


\begin{align*}
 4{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}] &= (4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}])^{2} - 12{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]\\
                                       &= (4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}])^{2} - 2(6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}])\\
                                       &= \left(-\frac{a_{3}}{a_{0}}\right)^{2} - 2\left(\frac{a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right)\\
                                       &= \frac{a_{3}^{2}-2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$ の形の単項式は ${}_4\mathrm{C}_{1}=4$ 個ある。


\begin{align*}
 4{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}] &= (4{\otimes}[x_{1}^{2}])(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})\\
                                      &= \left(\frac{a_{1}^{2}}{a_{0}^{2}} - \frac{2a_{2}}{a_{0}}\right)\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right)\\
                                      &= \frac{a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\\
\end{align*}

$[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}]$ の形の単項式は $4!=24$ 個ある。


\begin{align*}
 24{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}] &= (4{\otimes}[x_{1}])(6{\otimes}[x_{1}x_{2}])(4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}]) - (12{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}])\\
                                      &\qquad - (48{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}])- (12{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}])\\
                                      &= (4{\otimes}[x_{1}])(6{\otimes}[x_{1}x_{2}])(4{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}]) - 3(4{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}])\\
                                      &\qquad - 8(6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}])- 3(4{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}])\\
                                      &= \left(-\frac{a_{1}}{a_{0}}\right)\left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right)\left(-\frac{a_{3}}{a_{0}}\right) - 3\left(\frac{a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right)\\
                                      & \qquad - 8\left(\frac{a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right) - 3\left(\frac{a_{3}^{2}-2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right)\\
                                      &= \frac{a_{1}a_{2}a_{3}-3a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} + \frac{4a_{2}a_{4}-3a_{3}^2}{a_{0}^{2}}\\
\end{align*}

この計算で、$[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は、$x_{1}.x_{1}x_{2}.x_{1}x_{3}x_{4}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個であり、$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$ の型の項は $x_{1}.x_{2}x_{3}.x_{1}x_{2}x_{3}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個であるのは容易に分かるが、$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は、$x_{1}.x_{1}x_{2}.x_{2}x_{3}x_{4}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個、$x_{1}.x_{2}x_{3}.x_{1}x_{2}x_{4}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個、 $x_{1}.x_{2}x_{4}.x_{1}x_{2}x_{3}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個の他に、</span>$x_{1}.x_{2}x_{3}.x_{2}x_{3}x_{4}$ の型の積に由来する $4{\times}3{\times}1=12$ 個が存在することに注意すべきである。結果として $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は $12{\times}4=48$ 個である。

これらの結果を踏まえて、$S_{1},S_{2},S_{3}$ の計算をしていく。これらが、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ の整係数の対称式であるから、基本多項式の整係数の多項式として一意に表わされることに注意しておく。

まず、$S_{1}\equiv{V_{1}+V_{2}+V_{3}}$ は、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ は2次多項式であり、個々の変数に就いては1次になっている。従って、$6{\otimes}[x_{1}x_{2}]$ の整数倍になっているが、その項数は $4{\times}3=12$ だから


\[
 S_{1} = 2(6{\otimes}[x_{1}x_{2}]) = 2\left(\frac{a_{2}}{a_{0}}\right) = \frac{2a_{2}}{a_{0}}
\]

である。

$S_{2}{\equiv}V_{1}V_{2}+V_{2}V_{3}+V_{3}V_{1}$ は、$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ は4次多項式であり、個々の変数の最高次数は 2 なので、項として可能であるのは $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$$[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$ との3種類である。

例えば、


\begin{align*}
 V_{1}V_{2} &= (x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\
            &= (x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4})(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4})
\end{align*}

を参考にして、それぞれを数え上げると $S_{2}$ の中には $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ の項が6個、$[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]$ の型の項が36個、$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]$ の型の項が6個あることが分かる。従って

\begin{align*}
 S_{2} &= 6{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}] + 36{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}] + 6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]\\
       &= 6{\otimes}[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}] + 3(12{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}x_{3}]) + 6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}]\\
       &= 6\left(\frac{a_{4}}{a_{0}}\right) + 3\left(\frac{a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}\right) + \left(\frac{a_{2}^{2}-2a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} + \frac{2a_{4}}{a_{0}}\right)\\
       &= \frac{a_{2}^{2} + a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}
\end{align*}

同様に、$S_{3}{\equiv}V_{1}V_{2}V_{3}$ は6次多項式であり、個々の変数の最高次数は 3 なので、項として可能であるのは $[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$$[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}]$$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$


\begin{align*}
  S_{3} &= \{(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{1}+x_{4})\}\{(x_{2}+x_{3})(x_{2}+x_{4})(x_{3}+x_{4})\}\\
        &= \{x_{1}^{3} + (x_{2}+x_{3}+x_{4})x_{1}^{2} + (x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})x_{1} + x_{2}x_{3}x_{4}\}\\   
        &\qquad \times\{x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{4}+x_{2}x_{4}^{2}+x_{3}^{2}x_{4}+x_{3}x_{4}^{2}+2x_{2}x_{3}x_{4}\}
\end{align*}

を見るならば、4種類の項がすべて含まれることが分かる。更に、$x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}$ の係数は 2 になるから、$[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は8個、$x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}$ の係数も 2 だから、$[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}]$ の型の項も8個であることが分かる。また、積の中で、$x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}$ となるのは

\[
  \{x_{2}x_{1}^{2}\}\{2x_{2}x_{3}x_{4}\} + \{x_{3}x_{1}^{2}\}\{x_{2}^{2}x_{4}\} + \{x_{4}x_{1}^{2}\}\{x_{2}^{2}x_{3}\} = 4x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4} 
\]
だけである。これから $[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]$ の型の項は $6{\times}4 = 24$ 個あることが分かる。

従って、


\[
  S_{3} = 2(4{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]) + K(24{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}]) + 4(6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]) + 2(4{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}])\\
\]

を満たす正整数 $K$ が存在することが分かるが、これから項数を抽出すると

\[
 64=8+24K+24+8
\]

が成り立つので、$K=1$ でなければならない。

結局


\begin{align*}
  S_{3} &= 2(4{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}x_{3}x_{4}]) + 24{\otimes}[x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}] + 4(6{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}]) + 2(4{\otimes}[x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}])\\
        &= 2\left(\frac{a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right) + \left(\frac{a_{1}a_{2}a_{3}-3a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} + \frac{4a_{2}a_{4}-3a_{3}^2}{a_{0}^{2}}\right)\\
        &\qquad  + 4\left(\frac{a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right) + 2\left(\frac{a_{3}^{2}-2a_{2}a_{4}}{a_{0}^{2}}\right)\\
        &= \frac{a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{a_{3}^{2}}{a_{0}^{2}}
\end{align*}

このようにして


\begin{align*}
 &A_{1}=a_{0}S_{1}=a_{0}\left(\frac{2a_{2}}{a_{0}}\right)=2a_{2}\\
 &A_{2}=a_{0}^{2}S_{2}=a_{0}^{2}\left(\frac{a_{2}^{2} + a_{1}a_{3}}{a_{0}^{2}} - \frac{4a_{4}}{a_{0}}\right)=a_{2}^{2} + a_{1}a_{3}-4a_{0}a_{4}\\
 &A_{3}=a_{0}^{3}S_{3}=a_{0}^{3}\left(\frac{a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4}}{a_{0}^{3}} - \frac{a_{3}^{2}}{a_{0}^{2}}\right)=a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4} - a_{0}a_{3}^{2}
\end{align*}
が成り立っていることが分かった。

改めて、方程式の形で表すと


\begin{align*}
 \lambda^{3} &-A_{1}\lambda^{2} + A_{2}\lambda - A_{3}\\
             &= \lambda^{3} - 2a_{2}\lambda^{2} + (-4a_{0}a_{4} + a_{2}^{2} + a_{1}a_{3})\lambda + a_{0}a_{3}^{2} + a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3} = 0
\end{align*}

である。

[高木貞治]著 [代数学講義改訂新版] (1965年 共立出版 ISBN 978-4-320-01000-0)

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