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2016年11月の1件の記事

高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵

[高木貞治]著 [代数学講義改訂新版] (1965年 共立出版 ISBN 978-4-320-01000-0) p.194 では、4次方程式


\[
 a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4} = 0
\]
と、その根 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ に就いて、次のような記載がある。

四次方程式 
\[
 a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4} = 0
\]
を解くことは, 連立二元二次方程式


\begin{align*}
&x^{2} = y \\
&a_{0}y^{2}+a_{1}xy+a_{2}y+a_{3}x+a_{4} = 0
\end{align*}
から $x$ を求めるのと同じである. この場合 (3) は
\begin{equation*}
すなわち

\[
 \lambda^{3} - 2a_{2}\lambda^{2} + (-4a_{0}a_{4}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{3})\lambda + a_{0} a_{3}^{2} + a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3} = 0
\]
になる. これは $(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}), (x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}), (x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})$ を根とする三次分解方程式である。

[以下、引用者 (ゑ) 補足]
ただし、ここで (3) とあるのは、[代数学講義改訂新版] pp.192-193 に見られるように、連立2元2次方程式

</p>

<p>\begin{align*}
 &F= ax^{2} +2hxy +by^{2} +2gx +2fy +c =0\\
 &G= a^{\prime}x^{2} +2h^{\prime}xy +b^{\prime}y^{2} +2g^{\prime} +2f^{\prime}y +c^{\prime} =0
\end{align*}
から導かれる2次式
\begin{align*}
 F+{\lambda}G = &(a+{\lambda}a^{\prime})x^{2} + 2(h+{\lambda}h^{\prime})xy + (b+{\lambda}b^{\prime})y^{2}\\
                &\qquad +2(g+{\lambda}g^{\prime})x + 2(f+{\lambda}f^{\prime})y + (c+{\lambda}c^{\prime})
\end{align*}
が2つの1次式の積に分解されるための条件式

\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
 a+{\lambda}a^{\prime} &h+{\lambda}h^{\prime}  &g+{\lambda}g^{\prime}  \\
&&\\
 h+{\lambda}h^{\prime} &b+{\lambda}b^{\prime}  &f+{\lambda}f^{\prime}  \\
&&\\
 g+{\lambda}g^{\prime} &f+{\lambda}f^{\prime}  &c+{\lambda}c^{\prime}
\end{vmatrix} 
=0
\end{equation*}
を指す。 [引用者補足終了。]

しかし、上記引用部分の最後の箇所は間違っている。単純なケアレスミスだと思うが、「三次分解方程式の根」のそれぞれは、係数 $a_{0}$ を乗じて


\[
 a_{0}(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}), a_{0}(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}), a_{0}(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})
\]
としなければならない。

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