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2016年10月の1件の記事

メモ: H.フランダース「微分形式の理論」第X章 問題7「サンヴナンの適合条件」(p.234) の前提に就いて。付け足し: 第X章 問題2 及び 問題3 (p.233) に就いての個人的述懐

以前、H.フランダース著「微分形式の理論」(1967年岩波書店刊。訳: 岩堀長慶) を通読したことがある。

著者自身が [まえがき] で認めているように、本書は、「微分形式」と云う「非常に偉大な力をもった新しい道具を, 工学者や物理学者のお役に立て」(p.vi) ることを主目的としている (「本書の材料を数学科の大学院学生に, 現代微分幾何学への入門として推薦することを躊躇はしない」(p.vii)とも豪語しているが・・・)。

原著発行 (1963年) から、半世紀以上経過しているため、的外れな評価になる可能性が高いことを認めつつも、それを棚上げして言うなら、本書の利点と、読んでいて感じる「歯がゆさ」とは、両方とも、この点に集約されるといってよいだろう。

ただし、「無いものねだり」を諦めるなら、微分形式の具体的利用の見本帖として充分に「お役に立つ」。

理論物理・数学の著作ではありがちなことだが、校正ミスが目立つ (著者・訳者又はその補助者が、よほど気を入れないと、これは防げまい。また、理論物理・数学の著作は、「他人の目」で見ると、校正ミスや計算の誤りが、かなり明瞭に分かる、と云う側面もある)。

本書では、p.168 の下から6行目に於けるように、「楕円的」とすべきところを「随円的」とするような「惜しいね!」とでも言うしかない校正ミスばかりでなく、数式内部でのミスも二・三にとどまらないので (原書由来かもしれないが、未確認)、まとめた方が良いのだろうが、そこまで時間をかけることをあるまいと云う気が頻りにするするのでやめておく。

一応、原書 H. Flanders "Differential Forms with Applications to the Physical Sciences" (Dover, 1989) の [Google ブックス] のページのリンクを貼っておく。

ただし、校正ミスのチェックには向いていないように見えるので、それ以上のことことはしないでおく。

それよりも、本題である p.234 の [問題X-7] に急ごう。問題文は次のとおりである。

7. $a_{ij}$ 達を $x^{1},x^{2},\cdots,x^{n}$$n^{2}$ 個の函数とする. このとき積分可能条件

\[
\partialsecondmixed{a_{ij}}{x^{k}}{x^{l}} - \partialsecondmixed{a_{ik}}{x^{j}}{x^{l}} =
\partialsecondmixed{a_{lj}}{x^{k}}{x^{i}} - \partialsecondmixed{a_{lk}}{x^{j}}{x^{i}}
\]
が, 函数 $u_{1},\cdots,u_{n}$ が存在して
\[
 a_{ij} = \inverse{2}\left(\pdiff{u_{i}}{x^{j}}+\pdiff{u_{j}}{x^{i}}\right)
\]
を満たすための必要十分条件であることを証明せよ. $n=3$ および $n=2$ の場合を調べよ. (Saint-Venant による. Love[18], 49頁参照.)

ちなみに、この Love[18] の、[Google ブックス] は "A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity - A. E. H. Love - Google ブックス" で見られる。

必要条件になっていることを示すのは容易である。単に 下の式の添え字を適宜変更して、上の式の各項に代入するなら、左辺は

\begin{align*}
 \partialsecondmixed{a_{ij}}{x^{k}}{x^{l}} - \partialsecondmixed{a_{ik}}{x^{j}}{x^{l}} &=
\inverse{2}\left(\cancelto{A}{\partialthirdmixed{u_{i}}{x^{k}}{x^{l}}{x^{j}}} - \partialthirdmixed{u_{j}}{x^{k}}{x^{l}}{x^{i}}\right) -
\inverse{2}\left(\cancelto{A}{\partialthirdmixed{u_{i}}{x^{j}}{x^{l}}{x^{k}}} - \partialthirdmixed{u_{k}}{x^{j}}{x^{l}}{x^{i}}\right)\\
&= - \inverse{2}\left(\partialthirdmixed{u_{j}}{x^{k}}{x^{l}}{x^{i}} - \partialthirdmixed{u_{k}}{x^{j}}{x^{l}}{x^{i}}\right)
\end{align*}

右辺は

\begin{align*}
 \partialsecondmixed{a_{lj}}{x^{k}}{x^{i}} - \partialsecondmixed{a_{lk}}{x^{j}}{x^{i}} &=
\inverse{2}\left(\cancelto{B}{\partialthirdmixed{u_{l}}{x^{k}}{x^{i}}{x^{j}}} - \partialthirdmixed{u_{j}}{x^{k}}{x^{i}}{x^{l}}\right) -
\inverse{2}\left(\cancelto{B}{\partialthirdmixed{u_{l}}{x^{j}}{x^{i}}{x^{k}}} - \partialthirdmixed{u_{k}}{x^{j}}{x^{i}}{x^{l}}\right)\\
&= - \inverse{2}\left(\partialthirdmixed{u_{j}}{x^{k}}{x^{i}}{x^{l}} - \partialthirdmixed{u_{k}}{x^{j}}{x^{i}}{x^{l}}\right)
\end{align*}
となるから (ストライクスルーして同じ文字 $A$ 又は $B$ が付されている項は、相殺する)、両辺は等しい。

しかし、十分条件の方を確認しようとして、私は行き詰まってしまった。何が原因かは、明瞭だった。函数 $a_{ij}$ が添え字に就いて対称、つまり、$a_{ij}=a_{ji}$ であることが使えないと、式の変形が前進しないのだ。

$a_{ij}$ が添え字に就いて対称であるのは、第2の表式を見れば明らかだ。しかし、原状の設問では、第1の式から、$a_{ij}$ の添え字に就いての対称性も導出することを要求していることになる。しばらく途方に暮れましたね。

上記 [Google ブックス] の Love の本の、 該当箇所を読んでみたけれど、どうもピンとこなかったのだが、もし $a_{ij}$ に対応するのが、歪テンソルだとすると、これが添え字に対して対称なのは、物理的な与件として前提に含まれるとして良い。

そこで、今度は "Saint-Venant" を google にかけて、ネットを右往左往していくと、結局、次のページが見つかった。

Saint-Venant's compatibility condition - Wikipedia (last modified on 23 February 2015, at 19:08.)

そこに曰く、

For a symmetric rank 2 tensor field $F$ in n-dimensional Euclidean space the integrability condition takes the form of the vanishing of the Saint-Venant's tensor $W(F)$ defined by

\[
W_{ijkl} = \frac{\partial^2 F_{ij}}{\partial x_k \partial x_l} + 
\frac{\partial^2 F_{kl}}{\partial x_i \partial x_j} - \frac{\partial^2 F_{il}}{\partial x_j \partial x_k} -\frac{\partial^2 F_{jk}}{\partial x_i \partial x_l}
\]

The result that, on a simply connected domain $W=0$ implies that strain is the symmetric derivative of some vector field, was first described by Barré de Saint-Venant in 1864 and proved rigorously by Beltrami in 1886.

n 次元ユークリッド空間における対称2階テンソル場 $F$ に対する積分可能条件は

\[
W_{ijkl} = \frac{\partial^2 F_{ij}}{\partial x_k \partial x_l} + 
\frac{\partial^2 F_{kl}}{\partial x_i \partial x_j} - \frac{\partial^2 F_{il}}{\partial x_j \partial x_k} -\frac{\partial^2 F_{jk}}{\partial x_i \partial x_l}
\]
で定義されるサンヴナン・テンソル $W(F)$ が消えると云う形で言い表される。

この結果は、単連結領域上で $W=0$ が成立しているなら、歪は、何らかのベクトル場の対称微分となっていることを意味するものであるが、1864年にバレ・ド・サンヴナンにより言及され、そして、1886年になって、ベルトラミにより厳密に証明された。

これを見ても、$a_{ij}$ が添え字に就いて対称であることを、前提として含めるべきことが分かるから、以下、これに従って、「十分条件」部分の確認をすることにする。

そこで

\[
 \omega_{jk} := \sum_{i}\left(\pdiff{a_{ij}}{x^{k}}-\pdiff{a_{ik}}{x^{j}}\right)dx^{i}
\]
と云う 1 形式を考える。

この $\omega_{jk}$ が添え字に就いて反対称 (つまり $\omega_{jk}+\omega_{kj}=0$ である) ことに注意。

すると、まさに上記第1の式により

\[
 d\omega_{jk} = \inverse{2}\sum_{i,l}\left\{\pdiff{}{x^{l}}\left(\pdiff{a_{ij}}{x^{k}}-\pdiff{a_{ik}}{x^{j}}\right) - \pdiff{}{x^{i}}\left(\pdiff{a_{lj}}{x^{k}}-\pdiff{a_{lk}}{x^{j}}\right)\right\}dx^{l}{\wedge}dx^{i} = 0
\]
となる。従って、ポアンカレの補題の逆命題 (本書では pp.34-37 特に p.37 を参照) により、ある 0 形式、つまり、函数 $f_{jk}$ が存在して
\[
 \omega_{jk} = df_{jk}
\]
が成立する。

\[
 d(f_{jk}+f_{kj}) = df_{jk}+df_{kj} = \omega_{jk}+\omega_{kj}=0
\]
だから $\displaystyle{f_{jk}+f_{kj}}$ は定数になる。それを $\displaystyle{c_{jk}}$ と表すことにする。

もし $\displaystyle{c_{jk} \neq 0}$ であったなら、$\displaystyle{f_{jk}-\inverse{2}c_{jk},f_{kj}-\inverse{2}{c}_{jk}}$ を、それぞれ改めて $f_{jk},f_{kj}$ と置くことで、

\[
 f_{jk}+f_{kj}=0
\]
が成り立っているとして良い。つまり、$f_{jk}$ は、添え字に就いて反対称だとすることができる。

ここで 1形式

\[
 p_{i} :=\sum_{j}(a_{ij}+f_{ij})dx^{j}
\]
を考えると
\begin{align*}
 dp_{i} &=\sum_{j}(da_{ij}{\wedge}dx^{j} + df_{ij}{\wedge}dx^{j})\\
        &=\sum_{j}\left(da_{ij}{\wedge}dx^{j} + \omega_{ij}{\wedge}dx^{j}\right)\\
        &=\sum_{l,j}\left(\pdiff{a_{ij}}{x^{l}}dx^{l}{\wedge}dx^{j} + \left(\pdiff{a_{li}}{x^{j}}-\pdiff{a_{lj}}{x^{i}}\right)dx^{l}{\wedge}dx^{j}\right)\\
        &=\sum_{l,j}\left(\pdiff{a_{il}}{x^{j}}dx^{j}{\wedge}dx^{l} + \left(\pdiff{a_{li}}{x^{j}}-\pdiff{a_{lj}}{x^{i}}\right)dx^{l}{\wedge}dx^{j}\right)\\
        &=\sum_{l,j}\left(\xcancel{-\pdiff{a_{il}}{x^{j}} + \pdiff{a_{li}}{x^{j}}}\right)dx^{l}{\wedge}dx^{j} - \inverse{2}\sum_{l,j}\left(\xcancel{\pdiff{a_{lj}}{x^{i}}-\pdiff{a_{jl}}{x^{i}}}\right)dx^{l}{\wedge}dx^{j}\\
        &=0
\end{align*}

再び、ポアンカレの補題の逆命題により、ある函数 $u^{i}$ が存在して

\[
 p_{i} = du_{i} = \sum_{j}\pdiff{u^{i}}{x^{j}}dx^{j}
\]
が成り立つ。つまり
\[
 \sum_{j}(a_{ij}+f_{ij})dx^{j} = \sum_{j}\pdiff{u^{i}}{x^{j}}dx^{j}
\]
と云うことだから、全ての $i,j$ の組み合わせに対して
\[
 a_{ij}+f_{ij} = \pdiff{u^{i}}{x^{j}}
\]
が言える。ここで、$i$$j$ とを交換すると
\[
 a_{ji}+f_{ji} = \pdiff{u^{j}}{x^{i}}
\]

ここで辺々足し合わせると、添え字に就いて $a_{ij}$ が対称、$f_{ij}$ が反対称だから

\[
 2a_{ij} = \pdiff{u^{i}}{x^{j}} + \pdiff{u^{j}}{x^{i}}
\]
つまり
\[
 a_{ij} = \inverse{2}\left(\pdiff{u^{i}}{x^{j}} + \pdiff{u^{j}}{x^{i}}\right)
\]
が得られる。

p.233 の [問題X-3] 及び [問題X-2] に就いても書いておきたいことがある。

その p.233 の [問題X-3] とは、

さて, これらのことを Lie のブラケットと関係づける次の公式を証明せよ.
\[
 (d\sigma, \mathrm{v}{\wedge}\mathrm{w}) + (\sigma,[\mathrm{v},\mathrm{w}]) = \mathrm{v}{(\sigma,\mathrm{w})} - \mathrm{w}{(\sigma,\mathrm{v})}
\]
と云うものだ。

今回、この原稿を書くに際して、関連個所を読み直そうとしている途中、たまたま、以前通読した際この問題の一つ前 [問題X-2] の題意を誤解してており、その誤解の混乱の中で、[問題X-3] に就いても計算間違い (正当な根拠のない式の変形) をしていたことに気が付いたからだ。

負け惜しみを言うなら、今でも、 [問題X-2] の題意は、曖昧だと思う。[問題X-2] は、2つの 1形式 $\displaystyle{\sigma_{1}}$$\displaystyle{\sigma_{2}}$ との外積 $\displaystyle{\sigma_{1}{\wedge}\sigma_{2}}$ と、2つのベクトル場 $\displaystyle{\mathrm{v}_{1}}$$\displaystyle{\mathrm{v}_{2}}$ との外積 $\displaystyle{\mathrm{v}_{1}{\wedge}\mathrm{v}_{2}}$ との間の「内積」(「微分形式の理論」で用いられている用語) $\displaystyle{(\sigma_{1}{\wedge}\sigma_{2},\mathrm{v}_{1}{\wedge}\mathrm{v}_{2})}$

\[
 (\sigma_{1}{\wedge}\sigma_{2},\mathrm{v}_{1}{\wedge}\mathrm{v}_{2}) = 
\begin{vmatrix}
 (\sigma_{1},\mathrm{v}_{1}) & (\sigma_{1},\mathrm{v}_{2}) \\
 (\sigma_{2},\mathrm{v}_{1}) & (\sigma_{2},\mathrm{v}_{2}) 
\end{vmatrix}
\]
で「与えられることを示せ」と云うものだが、この設問の意図するところが、「内積」が、この式により well-defined (つまり、右辺が、局所座標系の取り方によらない) であると云うことなのか、それとも、本書では [問題X-1] (p.232-233) でようやく明示されたベクトル場と 1形式との双対性の延長から構成される、2ベクトルと2形式の双対の1性質としての表式なのか、捕えがたいものがある。

まぁ、いづれにしろ、計算間違いをする言い訣にはならないのは分かっている。

自戒を込めて、[問題X-3] の解として、今回行った計算内容を示しておく。

ほぼ機械的な計算で済むが、その前に背景を説明しておくと $\sigma$ は 1形式、$\mathrm{v},\mathrm{w}$ はベクトル場 (1ベクトル場) である。

従って、(本稿においてすでに利用されている記号を含めて、改めて明示的に定義すると) n次元多様体の、任意の一点に着目して、その局所座標系が $\displaystyle{(x^{i})_{1\leq{i}\leq{n}}}$ で表されるとする。これに対応する接ベクトル空間の基底を $\displaystyle{(\partial{}/\partial{x^{i}})_{1\leq{i}\leq{n}}}$ (以下、これを $\displaystyle{(\partial_{i})_{1\leq{i}\leq{n}}}$ と書くことにする) 、その余接ベクトル空間 (1形式のなす線形空間) における双対基底を $\displaystyle{(dx^{i})_{1\leq{i}\leq{n}}}$ とすると、次の関係式を満たす、多様体上の函数 $\displaystyle{\{s_{i}\}_{1\leq{i}\leq{n}},\{v^{i}\}_{1\leq{i}\leq{n}},\{w^{i}\}_{1\leq{i}\leq{n}}}$ が存在する。

\[
 \sigma \equiv \sum_{i}s_{i}dx^{i}, \mathrm{v} \equiv \sum_{i}v^{i}\partial_{i}, \mathrm{w} \equiv \sum_{i}w^{i}\partial_{i}
\]

さらにここで、[問題X-3] がらみで [問題X-2] の結果の肝心な点を言っておくと ($\displaystyle{\delta}$ は勿論クロネッカーのデルタ)、

\[
 \left(dx^{l}{\wedge}dx^{m}, \partial_{j}{\wedge}\partial_{k}\right) =
\begin{vmatrix}
 \partial_{j}x^{l} & \partial_{k}x^{l} \\
 \partial_{j}x^{m} & \partial_{k}x^{m} 
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
 \delta_{j}^{l} & \delta_{k}^{l} \\
 \delta_{j}^{m} & \delta_{k}^{m} 
\end{vmatrix}
= \delta^{l}_{j}\delta^{m}_{k}-\delta^{l}_{k}\delta^{m}_{j}
\]

これが、後出の計算中で、用いられているのである。

さて [問題X-3] の式の左辺 $\displaystyle{(d\sigma, \mathrm{v}{\wedge}\mathrm{w}) + (\sigma,[\mathrm{v},\mathrm{w}])}$ に上記の $\displaystyle{\sigma, \mathrm{v}, \mathrm{w}}$ の表式を代入すると

\begin{align*}
 (d\sigma, &\mathrm{v}{\wedge}\mathrm{w}) + (\sigma,[\mathrm{v},\mathrm{w}]) \\
           &= \left(d\left(\sum_{i}s_{i}dx^{i}\right),\left(\sum_{j}v^{j}\partial_{j}\right)\wedge\left(\sum_{k}w^{k}\partial_{k}\right)\right) 
              + \left(\sum_{i}s_{i}dx^{i},\left[\sum_{j}v^{j}\partial_{j},\sum_{k}w^{k}\partial_{k}\right]\right) \\
           &= \left(\inverse{2}\sum_{l,m}\left(\partial_{l}s_{m}-\partial_{m}s_{l}\right)dx^{l}{\wedge}dx^{m}, \inverse{2}\sum_{j,k}\left(v^{j}w^{k}-v^{k}w^{j}\right)\partial_{j}{\wedge}\partial_{k}\right)\\
           &\qquad + \left(\sum_{i}s_{i}dx^{i},\sum_{j,k}\left(v^{j}(\partial_{j}w^{k})-w^{j}(\partial_{j}v^{k})\right)\partial_{k}\right)\\
           &= \inverse{4}\sum_{j,k,l,m}\left(\partial_{l}s_{m}-\partial_{m}s_{l}\right)\left(v^{j}w^{k}-v^{k}w^{j}\right)\left(dx^{l}{\wedge}dx^{m}, \partial_{j}{\wedge}\partial_{k}\right)\\
           &\qquad + \sum_{i,j,k}s_{i}\left(v^{j}(\partial_{j}w^{k})-w^{j}(\partial_{j}v^{k})\right)\left(dx^{i},\partial_{k}\right)\\
\end{align*}

ここが問題の箇所である。これが次のように変形される。
\begin{align*}
           = \inverse{4}\sum_{j,k,l,m}\left(\partial_{l}s_{m}-\partial_{m}s_{l}\right)\left(v^{j}w^{k}-v^{k}w^{j}\right)(\delta^{l}_{j}\delta^{m}_{k}-\delta^{l}_{k}\delta^{m}_{j})\\
           \qquad + \sum_{i,j,k}s_{i}\left(v^{j}(\partial_{j}w^{k})-w^{j}(\partial_{j}v^{k})\right)\delta^{i}_{k}\\
\end{align*}

更に計算を進めると。。。

\begin{align*}
           &= \inverse{4}\sum_{j,k}\left\{\left(\partial_{j}s_{k}-\partial_{k}s_{j}\right)-\left(\partial_{k}s_{j}-\partial_{j}s_{k}\right)\right\}\left(v^{j}w^{k}-v^{k}w^{j}\right)\\
           &\qquad + \sum_{i,j}s_{i}\left(v^{j}(\partial_{j}w^{i})-w^{j}(\partial_{j}v^{i})\right)\\
           &= \inverse{2}\sum_{j,k}\left(\partial_{j}s_{k}-\partial_{k}s_{j}\right)\left(v^{j}w^{k}-v^{k}w^{j}\right) + \sum_{i,j}\left(s_{i}v^{j}(\partial_{j}w^{i})-s_{i}w^{j}(\partial_{j}v^{i})\right)\\
%           &= \sum_{i,j}\left(\partial_{j}s_{i}\right)\left(v^{j}w^{i}-v^{i}w^{j}\right) + \sum_{i,j}\left(s_{i}v^{j}(\partial_{j}w^{i})-s_{i}w^{j}(\partial_{j}v^{i})\right)\\
           &= \sum_{i,j}\left(\partial_{j}s_{i}\right)\left(v^{j}w^{i}-v^{i}w^{j}\right) + \sum_{i,j}\left(s_{i}v^{j}(\partial_{j}w^{i})-s_{i}w^{j}(\partial_{j}v^{i})\right)\\
           &= \sum_{i,j}\left((\partial_{j}s_{i})v^{j}w^{i}-(\partial_{j}s_{i})v^{i}w^{j}\right) + \sum_{i,j}\left(s_{i}v^{j}(\partial_{j}w^{i})-s_{i}w^{j}(\partial_{j}v^{i})\right)\\
           &= \sum_{i,j}\left((\partial_{j}s_{i})v^{j}w^{i}+s_{i}v^{j}(\partial_{j}w^{i})\right) - \sum_{i,j}\left((\partial_{j}s_{i})v^{i}w^{j}+s_{i}w^{j}(\partial_{j}v^{i})\right)\\
           &= \sum_{i,j}v^{j}\left((\partial_{j}s_{i})w^{i}+s_{i}(\partial_{j}w^{i})\right) - \sum_{i,j}w^{j}\left((\partial_{j}s_{i})v^{i}+s_{i}(\partial_{j}v^{i})\right)\\
           &= \sum_{i,j}v^{j}\partial_{j}\left(s_{i}w^{i}\right) - \sum_{i,j}w^{j}\partial_{j}\left(s_{i}v^{i}\right)\\
           &= \sum_{j}v^{j}\partial_{j}(\sigma,\mathrm{w}) - \sum_{j}w^{j}\partial_{j}(\sigma,\mathrm{v})\\
           &= \mathrm{v}\{(\sigma,\mathrm{w})\} - \mathrm{w}\{(\sigma,\mathrm{v})\}\\
\end{align*}

これで [問題X-3] の式が証明された。

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