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日本語版 Wikipedia の項「ラプラス作用素」の瑕疵

先日、必要があって、Wikipedia の記事、「ラプラス作用素」を、ザッと、読み流したのだが、その時に気が付いたことを書き留めておく。

勿論、ゴクささやかな、どうでもいいことなのだが。。。

初めに、書誌学的注意をしておくと、対象となる記事は、日本語版 Wikipedia の「ラプラス作用素」(タイムスタンプは 最終更新 2016年6月5日 (日) 02:46) である。そして、この記事は、少なくともおおむね、英文版 Wikipedia の記事、"Laplace operator" の訳文であるようだ (英文版の、本稿作成時のタイムスタンプは 7 June 2016, at 19:42)。Wikipedia ユーザーの個人設定の有無等に応じて、タイムスタンプは若干食い違う可能性はあるが。。。

で、私が引っかかったのは、[一般化] のセクションだ (その直前のセクション [スペクトル論] 中、「ラプラス=ベルトラム作用素」とあるのは、「ラプラス=ベルトラミ作用素」の誤りだが、ただの入力ミスだろうから、大量に発生しているのでもない限り、本稿では、話題にするに値しない類のものだ)。

[一般化] と云うセクションは、2つのサブセクション [ラプラス=ベルトラミ作用素] と [ダランベール作用素] とに分かれる。実は、この [ラプラス=ベルトラミ作用素] が、私が目ざしていた情報に関わると思われたので注目したのだ。

文脈をはっきりさせる為に、[ラプラス=ベルトラミ作用素] 全体を引用する。

ラプラス作用素の概念は、リーマン多様体上で定義されたラプラス=ベルトラミ作用素 (英語版) と呼ばれる楕円型作用素に一般化することができる。同様にダランベール作用素は擬リーマン多様体上の双曲型作用素に一般化される。ラプラス=ベルトラミ作用素を函数に適用すれば、その函数のヘッセ行列トレース

\Delta f = \mathrm{tr}(H(f))

が得られる。ただし、トレースは計量テンソルの逆に関して取るものとする。ラプラス=ベルトラミ作用素を同様の式でテンソル場に作用する作用素(これもまたラプラス=ベルトラミ作用素と呼ばれる)に一般化することができる。

ラプラス作用素の別な一般化として、擬リーマン多様体上で定義される外微分を用いた「幾何学者のラプラシアン」と呼ばれる

\Delta f = d^* d f

を考えることもできる。ここで d^* は余微分 (英語版) で、ホッジ双対を使って書くこともできる。これが上に述べた「解析学者のラプラシアン」とは異なるものであることには注意すべきである。そのことは大域解析学の論文を読むときには常に気を付けねばならない。 より一般に、微分形式 α に対して定義される「ホッジ」ラプラシアンは

\Delta \alpha = d^* d\alpha + dd^*\alpha

と書ける。これはまたラプラス=ドラーム作用素 (英語版) とも呼ばれ、ヴァイツェンベック不等式 (英語版) によってラプラス=ベルトラミ作用素と関係する。

(引用者註: α の位置が間違っていたので訂正した。)

で、私が引っかかったのは、

これ (引用者註:つまり、「幾何学者のラプラシアン」) が上に述べた「解析学者のラプラシアン」とは異なるものであることには注意すべきである。

の部分だった。「幾何学者のラプラシアン」と「解析学者のラプラシアン」では、呼び方が異なってているのだから、「日常的文章感覚」では「異なるもの」であるのは当然で、「注意すべき」も茄子のへったくれもない。

ダメ出し的なことを言うなら、これが、逆に、定義が異なっているにも関わらず、実は「幾何学者のラプラシアン」と「解析学者のラプラシアン」とが、同一のものだったと云う話の流れだったら、その同一性に「注意すべき」と云う表現がもっともになっただろう。

どう云う訣合だろうと思って、英語版の "Laplace operator" を見たら、疑問が氷解した (話が、後先にあるが 日本語版が実質英語版の翻訳であるのに、この時気が付いた。まぁ、いづれにしろ英語版も参照するのがルーチンワークだから、細かく言っても無意味だが)。

そこで、英語版も引用しておく。

The Laplacian also can be generalized to an elliptic operator called the Laplace–Beltrami operator defined on a Riemannian manifold. The d'Alembert operator generalizes to a hyperbolic operator on pseudo-Riemannian manifolds. The Laplace–Beltrami operator, when applied to a function, is the trace of the function's Hessian:

\Delta f = \mathrm{tr}(H(f))

where the trace is taken with respect to the inverse of the metric tensor. The Laplace–Beltrami operator also can be generalized to an operator (also called the Laplace–Beltrami operator) which operates on tensor fields, by a similar formula.

Another generalization of the Laplace operator that is available on pseudo-Riemannian manifolds uses the exterior derivative, in terms of which the “geometer's Laplacian" is expressed as

\Delta f = d^* d f

Here d^* is the codifferential, which can also be expressed using the Hodge dual. Note that this operator differs in sign from the "analyst's Laplacian" defined above, a point which must always be kept in mind when reading papers in global analysis. More generally, the "Hodge" Laplacian is defined on differential forms α by

\Delta \alpha = d^* d\alpha + dd^*\alpha

This is known as the Laplace–de Rham operator, which is related to the Laplace–Beltrami operator by the Weitzenböck identity.

大袈裟な準備をした挙句、[落ち] がアホらしくて申し訣ないが、

これが上に述べた「解析学者のラプラシアン」とは異なるものであることには注意すべきである。

の「原文」は

Note that this operator differs in sign from the "analyst's Laplacian" defined above,...

である。つまり、「訳者」は "in sign" を見落としてしまったのだ。そして、未熟練翻訳者にはありがちなこととはいえ、"differs" を機械的に「異なる」で置き換えてしまっている。確かに、"differs in sign" は「符号が異なる」としても、翻訳として及第点は貰えるだろうが、技術文では、「文章のエントロピー」とでも言うべきものを出来るだけ低くした方がいいので、ここは「符号が逆」とすべきだったろう。つまり

この作用素と、上記の「解析学者のラプラシアン」とでは、符号が逆になっていることに留意されたい。

とでもすべきだっただろう。

恥を忍んで告白するなら、この「結論」に達した途端、「この話、既にどこかの本で読んだことがある」ことを思い出した。私のマヌケさ加減も相当念が入っていると言うしかない。落ち着いて読んでおけば、Wikipedia の記事が、「解析学者のラプラシアン」と呼んでいる \Delta f = \mathrm{tr}(H(f)) が、フツーの「ラプラシアン」の形式上自然な拡張になっていることに、その場で気が付いたはずだったのだ (その前に、知識として知っておけよと、自分に言いたい気もする)。もっとも、それに気が付いたとしても、「異なる」=>「符号が異なる」=>「符号が逆」と迄、頭が回転したかどうか、自分の馬鹿さ加減を重々承知している身としては、自信がない。

それから、「ヴァイツェンベック不等式」は、英文版リンク先が "Weitzenböck identity" であることが示すように「ヴァイツェンベック恒等式」に訂正する必要がある。

微分幾何の楕円作用素間の関係を表す「Weitzenböck identity (ヴァイツェンベック恒等式)」の他に、平面幾何に「ヴァイツェンベック不等式 (Weitzenböck's inequality)」と云うものが実在するから、現状では、ミスリーディングする可能性が無いとは言えない。ちなみに、英文版の "Weitzenböck identity" の冒頭には 「"Weitzenböck's inequality" と混同するな」と書いてあったりする。vice versa.

ついでに書いておくと、次の小節 [ダランベール作用素] において

ここでは計量の符号を作用素の空間成分に関して負符号を許すようにしてあることに注意

と云う箇所があり、これの「原文」は

Note that the overall sign of the metric here is chosen such that the spatial parts of the operator admit a negative sign

である訣だが、「負符号を許すように」は、"admit" に引きずられ過ぎててしまっている。それに、その前の "the overall sign of the metric" が「計量の符号系」であることを (多分) 見落としている。「木を見て森を見ず」と云う奴だ。

ここでは、計量の符号系が、ダランベール作用素の空間部分の符号が負になるように選択されているのだと云うことに注意されたい。

ぐらいにすべきだっただろう。

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