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2011年6月の4件の記事

ドイツ語と英語の初歩。または、私は如何にして心配するのを止めて [メモ:2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 [天声人語] 中の「ゲーテの言葉」] 補足を書くことになったか

[メモ:2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 [天声人語] 中の「ゲーテの言葉」: nouse] (2011年6月10日[金]) を書いた時、そのうち、ゲーテの研究者ならずとも、どこの誰かが、問題の2011年6月8日付けの [天声人語] の文章に対して、議論の精粗はあるにしても何らかの形で「間違いの指摘」をするだろうと思っていた。

言葉に対しまともなセンスを持っている者が、「天声人語」中の「ゲーテの言葉」(〈行き先を知らずして、遠くまで行けるものではない〉) を読んだなら、それが警句の態をなしていないことに気づく筈で、そして読者がドイツ語又は英語に若干の知識があって、自分が感じた違和感から、「ゲーテの言葉」の出典を調べたとするなら、容易に、英文で

One never goes so far as when one doesn't know where one is going.
Letter to Karl Fiedrich Zelter [December 3, 1812]
--"Bartlett's Familiar Quotations" (16th ed. 1992) p.350
--Johann Wolfgang von Goethe - Wikiquote

なり、ドイツ語文で

man geht nie weiter, als wenn man nicht weiß, wohin man geht.
An Carl Friedrich Zelter. Weimar d. 3. December 1812
--Goethe, Johann Wolfgang, Briefe, 1812 - Zeno.org
--Johann Wolfgang von Goethe: Maximen und Reflektionen - Allgemeines, Ethisches, Literarisches - X.
--Man geht nie weiter, als wenn man nicht mehr ... - Johann Wolfgang von Goethe | Aphorismen-Archiv

なりに辿りつけただろう。だとするなら、本来の「ゲーテの言葉」と天声人語版の「ゲーテの言葉」とでは、「意味が殆ど真逆」(何故『殆ど』と付けるかと云うと、天声人語版を読んで、私は「何が言いたいのだろう」と思ってしまったからだ。「意味不明」なのである。あれを、何の疑問もなく読み通せる人は、「スゴイ」と思う) であることが解るだろうから、その内の一部であるにしても「つぶやく」ぐらいのことはするだろうと思っていたのだ。

特に、引用句辞典に採録されているような「ゲーテの言葉」が、所謂「全国紙」の一面で、根本的に間違って解釈されたのを放置するのは、ゲーテ研究者としての自分達の存在意義を自ら否定することになりかねないと、少なくとも一部のゲーテ研究者は考えて、それを防ぐ意味で何らかの意見表明をするだろうと、私には思われた。

しかし、ネットで見られる限り、そのようなことは、これまで起こらなかったようだ。

私のリアルタイムの情報は、現在実質的にネットに限られているから (新聞は定期購読していない。また TV は観るが、「リアルタイムな情報源」にはなっていない)、ネットに反映されていない現象を私が捉まえられないだけでいるかもしれない。あるいは、「ゲーテ研究者」なるものが、所謂 digital divided であるかもしれない。更に、あるいは、「ゲーテ研究者」は新聞のコラムを、又は新聞そのものを、メディアとして重要と考えていないのかもしれない。

しかし、「ゲーテ研究者」自体がネット環境とは疎遠な所で活動しているとしても、その周囲には、それなりにネット社会に参入している人々がいるだろうから、その人々を経由して、ゲーテ研究者間に発生した「さざ波」が、全くネットに反映しないことは考えにくい。だから第1のケースと第2のケースに起因して、「ゲーテ研究者」の反応が不明だと云うのは解しがたい。

この第3のケースのうち「新聞のコラムを、又は新聞そのものを、メディアとして重要と考えていない」は、意外と有りうるかもしれないと、チラリと思った。私自身、そのようなことがあるからだ。

私が実際に目にすることが多い新聞コラムが「天声人語」であるために、この話題に繋がった訣だが、総じて新聞のコラム、特に所謂「第一面コラム」は詰まらない。細かい分析をしたことがなかったので、今たまたま思いついた形容をすると、イメージとての「オジサンのスピーチ」の詰まらなさだ (やはり、今気が付いたことは、私は、或る意味「オジサンのスピーチ」を聞かないような「人生の選択」をしてきたから、これは完全な食わず嫌いなのだが)。「知性と感性が爆睡している人間の寝言」とでも言いたいところがあるのだ。

論旨が逸れかねないが、一応書いておくと、「読むに耐える」と言うべき文章が書かれることあることは認めておく。これは、担当者の違いに拠るのかもしれない。

議論が取り散らかりそうだが、もう一つ付け加えておくと、私は [オジサン] をアナガチ否定するものではない。斯く言う私も [オジサン] である。ただし、[オジサン] は [スピーチ] をしてはならないと思っている。[オジサン] と [スピーチ] には相容れないものがあるのだ。そして、「日本の」と修飾語を付けるべきかどうか、わからないが、新聞のコラムでは、[オジサン] が [スピーチ] をしていることが多いのだ (言うまでもなかろうが、この [オジサン] は生物学的・医学的な意味での [ヒト・オス・成体] ではない)。

しかし、思い返すなら、私自身、「天声人語」を読んで、シバシバ「相変わらず詰まらないな」と思っても、別段読まなくなっている訣ではないし、また、その間違いに対して、このようにして反応している。つまり、私も「天声人語」と云う新聞コラムを、私なりに「重要視」している、と言うか、無視していない訣だ。その私が、「ゲーテ研究者」は「新聞のコラム、あるいは、少なくとも『天声人語』を重要視していない」あるいは「無視している」と結論するには、何らかの補強的な証拠が必要だろう。しかし、私はそのようもものは持っていない。

あと、もう一つ、朝日新聞又は「天声人語」担当者と、「ゲーテ研究家」とが「仲良し」で、「身内の恥は隠蔽する」と云うことがあった可能性もあるな。。。などと、まぁ、こう云うのは「ゲスの勘繰り」と呼ぶべきなのでしょうな。

だが、段々心配になってきた。事は、一私企業の一人又は何人かの社員 (朝日新聞が「天声人語」の作成を外注していると云う可能性はないとは言えないかもしれないが、そう云うことを含めて「社員」と呼んでおく) の失敗ではなくて (それならば、理念としては、必要な訂正作業をして、検証し、それが「重大な失敗」であったら、再発防止策を取れば良いだけのことだ)、「ゲーテ研究者」と呼ばれるべき人々の存在意義に関わってしまっているからだ。

我ながら、「大きなお世話」だと思ったが、取り敢えず、fact finding の為に、久しぶりにヤヤ遠方にある大きめの図書館に行ってきた。ゲーテ全集を見て、「ゲーテ研究」の現状の一端を知りたかったのだ。現在、市場に流通している「ゲーテ全集」は [潮出版社] 刊のものだが、やはりそれが開架に並べられていた。問題のカール・フリードリヒ・ツェルター宛の1812年12月3日付けの書簡は第15巻に収められていたことは収められていたのだが、部分訳で目的とする部分の翻訳が省略されていたのは残念だった。

しかし "man geht nie weiter, als wenn man nicht weiß, wohin man geht." と云う警句は、上記にもあるように、後人の編集になるゲーテの警句集である "Maximen und Reflektionen" (「箴言と省察」) にも収録されているので、その翻訳が入れられいてる第13巻の方を当たってみた。これも部分訳で、しかも順番が編集されていいるようだったが、流し読みしていくと、その最後のページに次のようなものが発見できたのだ。

もはや行き先がわからなくなった道を、それ以上進む人はいない。
--[ゲーテ全集第13巻] p.414 (新装普及版。東京 2003年 潮出版社)

うーん。これはやはり "man geht nie weiter, als wenn man nicht weiß, wohin man geht." の「翻訳」の積もりでしょうな。しかし、あからさまな誤訳である。

と云う訣で、決心がついた。わざわざ説明するまでもないと思って、していなかったドイツ語に就いての初歩的な注意を試みる。

以下、2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 [天声人語] を単に「天声人語」、その作成者を「天声人語子」、そして、潮出版社刊 [ゲーテ全集第13巻] 中の p.414 で「もはや行き先がわからなくなった道を、それ以上進む人はいない」部分を担当した翻訳者を、「ゲーテ研究家」と呼ぶことにする。「ゲーテ研究家」に就いては全体と個人との均衡を欠くかの如くだが、「天声人語」への反応が見られない状況では、あながち「過度の同一視」とも言えないものがあるのではないか。

ドイツ語において (並行したことが英語でも言えるが)、形容詞又は副詞の比較級を用いて不等比較を表す時は、"als" の前後に「比較対照」が示される。ただし、この「比較対象」(「比較対照」の対象、何だかめんどくさいな ) は単純な名詞とは限らず、節文で表わされる「状況」であることもあり、さらに節文から適宜一部省略して「肝心」な部分だけが残されることも多い。例文を小学館の [独和大辞典第2版] から、原文の「~」を "als" に戻した上で引用すると

Er ist älter <nicht älter> als ich.  彼は私よりも年上だ <ではない>
Er ist viel <weit> älter, als ich gedacht habe.  彼は私が思っていたよりもはるかに年をくっている。
Sie ist mehr shön als klug.  彼女はあまり賢くはないが美人だ。
Sie versteht mich besser als du <dich>.  彼女の方が君よりも私を <彼女は君よりも私の方を> 良く理解してくれる。
--小学館 [独和大辞典第2版コンパクト版] (2000年) p.90 "als" 2a)

そして、「比較対照」は wenn から始まる節文であっても良い。やはり [独和大辞典第2版] から引用すると

Die Welt hat mehr Nutzen, wenn er shreibt, als wenn er liest.  彼には読書するより著作をしてもらった方が世の為になる。
--小学館 [独和大辞典第2版コンパクト版] (2000年) p.90 "als" 2a)

これを踏まえて「動詞 + nie (否定詞) + 副詞の比較級 + als + wenn 節」と云う形の文が、どのような意味になるか説明すると、「動詞」を修飾する「副詞」の意味する「状態の程度」は、如何なる場合にあっても、「wenn 節」が成り立つ状況における「状態の程度」を超えることが決してないと云うことなのである (ちなみに "nie" は、英語の "never" と同様「決して・・・しない」ぐらいを意味する否定詞)。つまり、「wenn 節」が成り立つ状況において、「状態の程度」が最高になると云う、最高級表現の代替表現なのだ。

ここで、「動詞 + nie (否定詞) + 副詞の比較級 + als + wenn 節」の例文をネット上で探してみたが、"geht nie weiter, als wenn ..." では「ゲーテの言葉」ばかりがヒットするので、副詞部分を変更して検索してみると、例えば、Karl Kraus は "Nachts" と云う警句集の "1915" と云う章に

Das Übel gedeiht nie besser, als wenn ein Ideal davorsteht.
--Karl Kraus - Aphorismen: 1915 - Spruche
--Projekt Gutenberg-DE - SPIEGEL ONLINE - Nachrichten - Kultur

と書いている (英語の "well" の対応語で「良く」とか「十分に」とかを意味する"wohl" の比較級 "besser" が用いられて "gedeiht nie besser, als wenn ..." の形になっていることに注意) が、これは

何かの「理想」が実現しようとする時ほど悪がはびこることはない。

と云う意味だろう。

意地悪なようだが、これを「天声人語」あるいは「ゲーテ研究家」風に「訳」してしまうと

理想が実現すると悪は栄えなくなる。

となるが、これでは「知性のひらめき」が消えうせて、「鈍感な官僚/政治家の答弁」風、と言うか、やはり [オジサンのスピーチ] になってしまう。

副詞 "wohl" の比較級には "besser" の他に "wohler" という形のものもある。これは「健康である」とか「気分が良い」と云う意味だが、それを用いた例文としては、エドガー・エーラー (Edgar Oehler) と云うスイスの実業家に就いての記事に

«Ich fühle mich nie wohler, als wenn ich arbeite», sagt Oehler, auf diese Einschätzung seiner Freunde angesprochen. Das einzige Hobby, das er sich gönnt, ist eine Modelleisenbahn: Buco Spur 0.
--Edgar Oehler: Der Tycoon aus dem Rheintal

と云うものがあった。

友人が語ったこの評価 [「トンでもない仕事好き」] に対して、エーラーは「私は仕事をしている時が一番体調が良いんだよ」と言う。自らに許しているただ一つの趣味と言えば鉄道模型、Buco 社の O ゲージ、だけなのだ。

再び、意地悪して、"Ich fühle mich nie wohler, als wenn ich arbeite" を「天声人語」あるいは「ゲーテ研究家」風に「訳」すならば

私は仕事をすると体調が悪くなるんだよ

になる。これは「タイクーン」と呼ばれている実業家にはふさわしくない言葉ではなかろうか。

もっとも、「天声人語子」は、自分が読んだのは英訳であって、ドイツ語の事は関知しないと言うかもしれない。しかし、英語であっても、事情は同じである。上記に示したバートレットの引用句辞典中における「ゲーテの言葉」(「天声人語」英文版には、全く同一の文章が使われてるいる) は、英訳であることを離れて英文として見ても正しく成立してるからだ。それは、やはり「人は何処に行くか分からない時ほど遠く迄行くことはない」ぐらいの意味になって「行き先を知らずして、遠くまで行けるものではない」にはならない。

実際、英語においても、上述のドイツ語に対する説明と並行的内容のことが 「never + 動詞 + 副詞の比較級 + than + when 節」に対して言えて (ドイツ語と英語では、否定詞と動詞の順序が逆転する。また、ドイツ語の "als" は文脈によって、英語の "as" に対応することもあれば "than" に対応することもある。そして、この場合は、"than" が対応する)、それは「副詞の最高級」相当の意味を形成する。ただし、問題のゲーテの言葉の英訳では、「否定詞 + 動詞 + 副詞の比較級 + than」から、等価な「否定詞 + 動詞 + so + 副詞の原形 + as」への置き換え用いれているだけなのだ。

だから「ゲーテの言葉」には、「置き換え」のない

One never goes further than when they do not know where they are going.
--Famous Johann Wolfgang Von Goethe Quotations - Page 4

と云う英訳も存在する。

英語でも、幾つか例文を拾っておく。まず、バートレットの引用句辞典に収められた「ゲーテの言葉」、つまり英文版「天声人語」における「ゲーテの言葉」に合わせて「never + 動詞 + so + 副詞の原形 + as when」の形のもの。どうやら、会社の経営者・従業員への「教訓」らしい。

A man never likes you so well as when he leaves your company liking himself. (Source Unknown)
--Dictionary of Quotes
ある人があなたのことを好ましいと思っている最高の形態とは、あなたの会社が、その人を好ましいと考えていられるようにしてくれていることである。

パスカルの「パンセ」の一節 (Jamais on ne fait le mal si pleinement et si gaiement que quand on le fait par conscience. ) の英訳

Men never do evil so completely and cheerfully as when they do it conscientiously.
Blaise Pascal, Pensées (# 894 or 895)
--Evil - Wikiquote
人は良心に従っている時ほど、悪を徹底的且つ喜びを以って行うことはない。

次に「never + 動詞 + 副詞の比較級 + than whenn」の形のもの

まず、調理器の紹介だか宣伝の記事の一部

Food never tastes better than when it's cooked long and slowly, so we know you'll love this Slow Cooker.
--Rosemary Conley Slow Cooker | Kitchen Essentials | Rosemary Conley TV
食べ物は、長い時間をかけてゆっくりと調理する時が一番おいしくなりますので、この「スロー・クッカー」のことが気に入って頂けるに違いありません。

スキーを主題にしたスポーツ医学に就いてのウェブページで、

If you are one of the experienced millions or if you plan for that first skiing experience, you may never feel better than when you're experiencing the excitement of a perfect downhill run. Then again, you may never feel worse than when you're laid up with torn knee ligaments or some other mishap that the slopes frequently offer up.
--Caring For Athletes - Fit For You - Ski Fitness
あなたが、経験を積んだ何百万人かのスキーヤーの一人であるにしろ、初めてのスキーを計画している人であるにしろ、ダウンヒルを完全に滑りきった興奮を体験する時ほど素晴らしい気分になることはないでしょう。その一方で、滑降中にシバシバ発生する、膝靱帯の断裂等の事故で寝込んでいる時ほど落ち込んだ気分になることもないだろうと思います。

なんで、こんな初歩的なことをクドクド書いているのかと云うと、どの程度までレベルを下げてよいのか、見当がつかないからで、実は、自分でもさっきからウンザリしている。このへんで止めておくことにしよう。

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アッカーマン関数の計算プログラムの実例を示したウェブページ

[アッカーマン関数 (Ackermann function) Ack(4,2) の 19729 桁] (2011年6月3日[金]) に補足して、アッカーマン関数の計算プログラムの実例を列挙したウェブページがあるので紹介しておく。それは [Rosetta Code] と云うサイト内ののウェブページ [Ackermann function] (last modified on 8 June 2011, at 23:01. available under GNU Free Documentation License 1.2.) である。

詳細は原文を参照して頂くことにして、そのうちの幾つかを紹介すると (私はプログラムのことは全く分からないので、引用の仕方が間違えているかもしれない。その場合は悪しからず。。。):

C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <inttypes.h>

static uint32_t ackermann(uint32_t m, uint32_t n)
{
return m == 0 ? n + 1 : ackermann(m - 1, n == 0 ? 1 : ackermann(m, n - 1));
}

int main(void)
{
unsigned int m, n;
for (n = 0; n < 7; n++)
       {
       for(m = 0; m <= 4; m++)
	     {
	     (void) fprintf(stdout,"A(%u,%u) = %ju\n", m, n, (uintmax_t) ackermann((uint32_t) m, (uint32_t) n));
	     }
	     (void) fprintf(stdout,"\n");
	     }
	     return EXIT_SUCCESS;
	     }

LISP

(defun ackermann (m n)
  (cond ((zerop m) (1+ n))
	((zerop n) (ackermann (1- m) 1))
	(t         (ackermann (1- m) (ackermann m (1- n))))))

FORTRAN (version 90 以降)

PROGRAM EXAMPLE
IMPLICIT NONE

INTEGER :: i, j

DO i = 0, 3
DO j = 0, 6
WRITE(*, "(I10)", ADVANCE="NO") Ackermann(i, j)
END DO
WRITE(*,*)
END DO

CONTAINS

RECURSIVE FUNCTION Ackermann(m, n) RESULT(ack)
INTEGER :: ack, m, n

IF (m == 0) THEN
ack = n + 1
ELSE IF (n == 0) THEN
ack = Ackermann(m - 1, 1)
ELSE
ack = Ackermann(m - 1, Ackermann(m, n - 1))
END IF
END FUNCTION Ackermann

END PROGRAM EXAMPLE

Java

import java.math.BigInteger;

public static BigInteger ack(BigInteger m, BigInteger n)
{
return m.equals(BigInteger.ZERO) ? n.add(BigInteger.ONE)
: ack(m.subtract(BigInteger.ONE), n.equals(BigInteger.ZERO) ? BigInteger.ONE                                                                                               : ack(m, n.subtract(BigInteger.ONE)));
}

Mathematica (その1)

$RecursionLimit=Infinity
Ackermann1[m_,n_]:=
If[m==0,n+1,
If[ n==0,Ackermann1[m-1,1],
Ackermann1[m-1,Ackermann1[m,n-1]]
]
]

Mathematica (その2)

Ackermann2[0,n_]:=n+1;
Ackermann2[m_,0]:=Ackermann1[m-1,1];
Ackermann2[m_,n_]:=Ackermann1[m-1,Ackermann1[m,n-1]]

変数の範囲を初めから制限している例が見られるのが、興味深いと言えば興味深いし、当然だと言えば当然だろう。

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メモ:2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 [天声人語] 中の「ゲーテの言葉」

日付が変わってしまったので、昨日の話になるが、先程、1日遅れでたまたま手にした「2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 (東京本社13版)」を流し読みした所、[天声人語] がこう始まっていた (現時点では、同内容の物がウェブ上の [asahi.com(朝日新聞社):天声人語 2011年6月8日(水)] で見ることができる)。

〈行き先を知らずして、遠くまで行けるものではない〉。ゲーテの言葉である。目的地が定まらないと足取りが重くなる。そんな意味だろう。逆に、確かな目標があれば急坂や回り道をしのぎ、転んでも起き上がり、大きな事を成せる
--2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 (東京本社13版) 第1面 [天声人語]

これを読んだ時の、私の感想は「ヤッチマッタナー」(© クールポコ) と云うものだった。箸にも棒にも掛からない詰まらないことを「したり顔」(最近は「ドヤ顔」と謂うらしいが) で書いてある。大体、「行き先を知らずして、遠くまで行けるものではない」では警句にならない。「当たり前」にさえなっていない。当たり前の日本語を使いたいなら、せめて「行き先を決めない限り、遠くまで行くことはできない」ぐらいにしろよ、と言いたい。

浩瀚なゲーテの著作の中の何処かで、そんなことも書かれているかもる知れないが、そして私はまことに無教養で無知蒙昧ではあるが、私の知っているゲーテは、「行き先を知らずして、遠くまで行けるものではない」とは言ってはいない。少なくとも、私が子どもの時に読んだ小辞典 (福音館書店刊であったか、昭文社刊であったかだと思う) の巻末についていた名言集では、そんなことを言っていなかった。うろ覚えだか、こんな感じだったのだ。

人は何処に行くか分からない時ほど遠く迄行くことはない。

(子どもだった私にも、これが「目的地が明確でないと、とんでもないところに彷徨っていくことになる」か、或いは「目的地に縛られない時こそが、もっとも遠くまで進むことができる」ぐらいの意味だと云うことが感じられた。)

取り敢えず、手持ちのバートレットの引用句辞典 ("Bartlett's Familiar Quotations" 16th ed.) で調べた所、英訳が採録されていた。

One never goes so far as when one doesn't know where one is going.
Letter to Karl Fiedrich Zelter [December 3, 1812]
--"Bartlett's Familiar Quotations" (16th ed. 1992) p.350

そして、滑稽と謂えるが、天声人語の英訳版 (asahi.com(朝日新聞社):VOX POPULI: Japan must see the big picture on energy policy - English) では、この "One never goes so far as when one doesn't know where one is going." が「ゲーテの言葉」として、そのまま使われているのだ。

"One never goes so far as when one doesn't know where one is going." The quote is attributed to the German writer Johann Wolfgang von Goethe (1749-1832). I think the idea is that when our destination is uncertain our steps become heavy. Conversely, as long as we have a clear goal, we can climb steep slopes, take all sorts of detours, get up when we fall down, and ultimately succeed in what we set out to do.
--asahi.com(朝日新聞社):VOX POPULI: Japan must see the big picture on energy policy - English

問題の [天声人語] 記事日本語版を書いた人物と、英語版を書いた人物が同一であるとは限らないが、それでも、当然の考え方をするなら、日本語版を英語版に「翻訳」したのだろう。だとすると、英語版の作成者は「行き先を知らずして、遠くまで行けるものではない」と "One never goes so far as when one doesn't know where one is going." とでは、意味が殆ど真逆であると云う高校生レベルの英語力があれば気が付くだろうことを見過ごした訣だ (下記に見られるように、"never goes so far as" はドイツ語の "geht nie weiter, als" の訳、特に、"as" は、ドイツ語 "als" の対応英語なのだが、ここは "never goes further than" と訳した方が、英語初学者には親切かもしれない)。

もし、英文ヘの翻訳者が日本語版作成者と別人であって、気が付いたけれども、日本語版作成者に指摘するのを「遠慮した」のであったとしたら、それはそれで組織として悲惨な事態だ。関節が外れたような政党や社会 (ホボ「会社」に等しい) の騒ぎを他人事のように喋喋している場合ではない。De te fabula narratur...

ちなみに、ドイツ語原文は次のようなものであるらしい:

man geht nie weiter, als wenn man nicht weiß, wohin man geht.
--Goethe, Johann Wolfgang, Briefe, 1812 - Zeno.org
--Johann Wolfgang von Goethe: Maximen und Reflektionen - Allgemeines, Ethisches, Literarisches - X.
--Man geht nie weiter, als wenn man nicht mehr ... - Johann Wolfgang von Goethe | Aphorismen-Archiv

なお、オリバー・クロムウェル(Oliver Cromwell, 1599年4月25日--1658年9月3日)が "A man never goes so far as when he doesn't know where he is going." と云う言葉を残したと云う話がネットで見られるが、出典は未確認。

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アッカーマン関数 (Ackermann function) Ack(4,2) の 19729 桁

アッカーマン関数は、「原始再帰関数」にはならない「一般再帰関数」として著名である。

「原始再帰関数」は「原始帰納的関数」とも呼ばれる。また「一般再帰関数」は「一般帰納的関数」とも呼ばれる。
「一般再帰関数」は、歴史的経緯もあり広く流通している用語ではあるが、議論が進展した現状ではむしろ、「全域 \mu 再帰関数」ぐらいの方が好ましく思えるので、以下「全域 \mu 再帰関数」を使うことにする。

「アッカーマン関数」と呼ばれる全域 \mu 再帰関数には幾つか種類があるようだが、最も良く知られているは、次の、「2つの非負整数を1つの正整数に対応させる」形式のものだろう (ヴィルヘルム・アッカーマン自身は3変数のタイプのものについて議論したが、以下の議論では考慮しない)。

アッカーマン関数 \mathbf{Ack}(m,n) の定義: m,n を非負整数として

\begin{enumerate}
\item $n=0 \ \Rightarrow\  \mathbf{Ack}(0,n) = (n+1)$
\item $m>0,n=0 \ \Rightarrow\  \mathbf{Ack}(m,0) = \mathbf{Ack}((m-1),1)$
\item $m,n>0 \Rightarrow \ \mathbf{Ack}(m,n) = \mathbf{Ack}((m-1),\mathbf{Ack}(m,(n-1)))$
\end{enumerate}

この定義に従って\mathbf{Ack}(2,2) の値を求める為に m,n が小さい値に就いて計算してみると次のようになる。

\begin{enumerate}
 \item $\mathbf{Ack}(0,0)=1$
 \it	em $\mathbf{Ack}(0,1)=2$
 \item $\mathbf{Ack}(0,2)=3$
 \item $\mathbf{Ack}(0,3)=4$
 \item $\mathbf{Ack}(0,4)=5$
 \item $\mathbf{Ack}(0,5)=6$
 \item $\mathbf{Ack}(1,0)=2$
 \item $\mathbf{Ack}(1,1)=3$
 \item $\mathbf{Ack}(1,2)=4$
 \item $\mathbf{Ack}(1,3)=5$
 \item $\mathbf{Ack}(1,4)=6$
 \item $\mathbf{Ack}(2,0)=3$
 \item $\mathbf{Ack}(2,1)=5$
 \item $\mathbf{Ack}(2,2)=7$
\end{enumerate}

この計算をしているうちに、その一般化への道筋が容易に見えてくるので、m=1,2,3 についてのアッカーマン関数の一般式は次のようになることが解る (n=0 の場合は定義そのものだが、計算の流れを見やすくする為に併せて書いておく)

\begin{enumerate}
 \item $\mathbf{Ack}(0,n)=n+1$
 \item $\mathbf{Ack}(1,n)=n+2$
 \item $\mathbf{Ack}(2,n)=2n+3$
 \item $\mathbf{Ack}(3,n)=2^{n+3}-3$
\end{enumerate}

こうした一般式は、再帰関数の適宜の文献 (例えば、日本語版ウィキペディアの「アッカーマン関数」の記事) で容易に発見される。計算が苦手な私などは、当初 n=3 の一般式を確認する段階で、腰が引けてしまったのだが、
  \mathbf{Ack}(3,n)=2\times\mathbf{Ack}(3,(n-1))+3
の両辺に 3 を足すことに気付けば、後は暗算でできる。

しかし、m4 以上の場合では、と言うか、既に m=4 の段階だけでアッカーマン関数は、ジャーナリスト的な陳腐表現を使うと「凶暴な本性を露わす」。それでも \mathbf{Ack}(4,0)=\mathbf{Ack}(3,1)=13 は可愛いものだし、\mathbf{Ack}(4,1)\mathbf{Ack}(3,\mathbf{Ack}(4,0)) つまり \mathbf{Ack}(3,13) であって、ニゴロの 2 乗である 65536 から 3 を引いた 65533 であると云うことにも「ソーユーことになりますな」などと乙に済ましていられる。しかし \mathbf{Ack}(4,2)2^{65536}-3 になるのだ。「イキナリ何をする」と言いたくなってしまう。

関数電卓を引っ張り出してきて 2 の常用対数 \log_{10}2=0.30102999565536 を掛けると 19728.30\cdots になる。。。って、(10 進法で) 19729 桁の数と云うことではないか。

この対数計算で、\mathbf{Ack}(4,2)2003\cdots で始まる数であるだろうことも推定できるが、それ以上のことは分からない。ここで「紙と鉛筆と電卓で計算」しようと云う気は失せて、後はコンピュータにお任せしようと、僅かながらも私が使える言語である xyzzy lisp でアッカーマン関数のプログラムを書いてみた。こんな感じだ。

(defun Ack (m n)
  (if (zerop m) (1+ n)
    (if (zerop n) (Ack (1- m) 1)
      (Ack (1- m) (Ack m (1- n)))
      )
    )
  )

つまり定義を引き写したに過ぎない。「ちゃんとした人はちゃんとした工夫をするのだろうな」と思ったが、私はちゃんとしていないので、*scratch* に書いたその場で評価して、そのまま \mathbf{Ack}(4,2) を計算させてみた。しかし、ウンともスンとも返事が無い。フリーズしてしまったのだ。

プログラムを書き間違えたのか、19729 桁が悪かったのか、分からなかったので、xyzzy を再起動して (m,n) の小さいところを計算させてみた。すると (m.n)=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3) にしろ (m.n)=(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)(m.n)=(2,0),(2,1),(2,2) にしろ正しい答えを返してくる。さらに
  \mathbf{Ack}(3,0)=5,\mathbf{Ack}(3,1)=13,\mathbf{Ack}(3,2)=29
となる。「よしよし」と云う位なものである。

こうなると安心して \mathbf{Ack}(4,0)=13 が出ても「当然だね」としか思えない。。。。「やはり 19729 桁が悪かったのか」と思った矢先、 \mathbf{Ack}(4,1) を評価させた所 xyzzy がまたフリーズしてしまった。つまり 19729 桁どころか 5 桁の結果が出てこないのだ。これは、私のコンピュータシステムが非力である為もあるだろうが、再帰計算 (それも重再帰) が、プログラムの資源を食い荒らしてしまう為も大きいのだろう。

暫くアレコレ方策を考えてみたが、「休むに似たり」にしかならなかった。しかし、フト思いついて

(with-output-to-selected-buffer
  (print (- (expt 2 65536) 3))
  )

を計算させた所、次の 19729 個の数字が得られた。まぁ、最初からこれをやっておけばよかったのだろう。

\mathbf{Ack}(4,2) =
20035299304068464649790723515602557504478254755697
51419265016973710894059556311453089506130880933348
10103823434290726318182294938211881266886950636476
15470291650418719163515879663472194429309279820843
09104855990570159318959639524863372367203002916969
59215610876494888925409080591145703767520850020667
15637023661263597471448071117748158809141357427209
67190151836282560618091458852699826141425030123391
10827360384376787644904320596037912449090570756031
40350761625624760318637931264847037437829549756137
70981604614413308692118102485959152380195331030292
16280016056867010565164675056803874152946384224484
52925373614425336143737290883037946012747249584148
64915930647252015155693922628180691650796381064132
27530726714399815850881129262890113423778270556742
10800700652839633221550778312142885516755540733451
07213112427399562982719769150054883905223804357045
84819795639315785351001899200002414196370681355984
04640394721940160695176901561197269823378900176415
17190051133466306898140219383481435426387306539552
96969138802415816185956110064036211979610185953480
27871672001226046424923851113934004643516238675670
78745259464670903886547743483217897012764455529409
09202195958575162297333357615955239488529757995402
84719435299135437637059869289137571537400019863943
32464890052543106629669165243419174691389632476560
28941519977547770313806478134230959619096065459130
08901888875880847336259560654448885014473357060588
17090162108499714529568344061979690565469813631162
05357936979140323632849623304642106613620022017578
78518574091620504897117818204001872829399434461862
24328009837323764931814789848119452713007440220765
68091037620399920349202390662626449190916798546151
57788390603977207592793788522412943010174580868622
63369284725851403039615558564330385450688652213114
81363840838477826379045960718687672850976347127198
88906804782432303947186505256609781507298611414303
05816927924971409161059417185352275887504477592218
30115878070197553572224140001954810200566177358978
14995323252085897534635470077866904064290167638081
61740550405117670093673202804549339027992491867306
53993164072049223847481528061916690093380573212081
63507076343516698696250209690231628593500718741905
79161241536897514808261904847946571736601005892476
65544584083833479054414481768425532720731558634934
76051374197795251903650321980201087647383686825310
25183377533908861426184800374008082238104076468878
47164755294532694766170042446106331123802113458869
45322001165640763270230742924260515828110703870183
45324567635625951430032037432740780879056283663406
96503084422585596703927186946115851379338647569974
85686700798239606043934788508616492603049450617434
12365828352144806726676841807083754862211408236579
80296120002744132443843240233125740354501935242877
64308802328508558860899627744581646808578751158070
14743763867976955049991643998284357290415378143438
84730348426190338884149403136613985425763557710533
55802066221855770600825512888933322264362819848386
13239570676191409638533832374343758830859233722284
64428799624560547693242899843265267737837317328806
32107532112386806046747084280511664887090847702912
08161104912555598322366244868556651402684641209694
98259056551921618810434122683899628307165486852553
69148502995396755039549383718534059000961874894739
92880432496373165753803673586710175783994818471798
49824694806053208199606618343401247609663951977802
14411997525467040806084993441782562850927265237098
98651539462193004607364507926212975917698293892367
01517099209153156781443979124847570623780460000991
82933213068805700465914583872080880168874458355579
26258465124763087148566313528934166117490617526671
49267217612833084527393646924458289257138887783905
63004824837998396920292222154861459023734782226825
21639957440801727144146179559226175083889020074169
92623830028228624928418267124340575142418856999427
23316069987129868827718206172144531425749440150661
39463169197629181506579745526236191224848063890033
66907436598922634956411466550306296596019972063620
26035219177767406687774635493753188995878662821254
69797102065747232721372918144666659421872003474508
94283091153518927111428710837615922238027660532782
33516615551493693757784666701457179719012271178127
80450240026384758788339396817962950690798817121690
68692953824852983002347606845411417813911064856023
65497542274972310076151318700240539105109138178437
21791422528587432098524957878034683703337818421444
01713868812424998441861812927119853331538256732187
04215306311977485352146709553346263366108646673322
92409879849256691109516143618601548909740241913509
62304361219612816595051866602203071561368473236466
08689050142639139065150639081993788523183650598972
99125404479443425166774299659811849233151555272883
27402835268844240875281128328998062591267369954624
73415433335001472314306127503903073971352520693381
73843322950701049061867539433130784798015655130384
75815568523621801041965025559618193498631591323303
60964619059902361126811960234418433633345949276319
46101716652913823717182394299216272538461776065694
54229787707138319881703696458868981186321097690035
57358846244648357062914530527571012788720279653644
79724025405448132748391794128826423835171949197209
79714593688753719872913083173803391101612854741537
73777159517280841116275971863849242228023734419254
69991983672192131287035585307966942713416391033882
75431861364349010094319740904733101447629986172542
44233556122374357158259333828049862438924982227807
15951762757847109475119033482241412025182688713728
19310425347819612844017647953150505711072297431456
99152234516431218486575757865281975648435089583847
22923534559464521215831657751471298708225909292655
63883665112068194383690411625266871004456024370420
06637090019411855571604720446436969328500600469281
40507119069261393993902735534545567470314903886022
02463994826050176243196930564066636662609020704888
74388989074981528654443818629173829010518208699363
82661868303915273264581286782806601337500096593364
62514609172318031293034787742123467911845479131110
98977946482169225056293999567934838016991574397005
37542134485874586856047286751065423341893839099110
58646559511364606105515683854121745980180713316361
25730796111683438637676673073545834947897883163301
29240800836356825939157113130978030516441716682518
34657367593419808495894794098329250008638977856349
46932124734261030627137450772861569225966285738579
05533240641849018451328284632709269753830867308409
14224765947443997334813081098639941737978965701068
70267341619671965915995885378348229882701256058423
65589539690306474965584147981310997157542043256395
77607048510088157829140825077773855979012912940730
94627859445058594122731948127532251523248015034665
19048228961406646890305102510916237770448486230229
48896671138055560795662073244937337402783676730020
30116152270089218435156521213792157482068593569207
90214502277133099987729459596952817044582181956080
96581170279806266989120506156074232568684227130629
50098644218534708104071289176469065508361299166947
78023822502789667843489199409657361704586786242554
00694251669397929262471452494540885842272615375526
00719043363291963757775021760051958006938476357895
86878489536872122898557806826518192703632099480155
87445557517531273647142129553649408438558661520801
21150790750685533444892586932838596530132720469706
94571546959353658571788894862333292465202735853188
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この計算では「ad hoc に 2^{65536}-3 を求めているだけでアッカーマン関数の算出として一般性を持ちえない」と言われればそれまでだが、「再帰計算を巧妙に処理する」ことで、アッカーマン関数を(m,n)=(4,2) を超えても「正確に」計算できるプログラムがあったとしても、その結果の値を数字の並びとして、目の当たりにすることは我々には (と言うか、物理的な存在として人間と同程度の知性には) 不可能だろう。何故なら、例えば \mathbf{Ack}(4,3)10 の指数表示での指数自体が、10 進法で (\log_{10}2)\times{2^{65536}} つまり 6.67\times{10^{19728}} 桁の数になり、通常知性の感性能力を超えている (\mathbf{Ack}(4,2) では、指数自体は5 桁である)。

実際 、1年は多めに見積もっても 3.2\times{10^{7}} 秒だから1000億年は 3.2\times{10^{18}} 秒ぐらいになる (「宇宙」の年齢は現在百数十億歳ぐらいだろうと言われている)。だから、1プランク時間 (5.39121\times{10^{-44}} 秒) あたり1桁。。。などとケチなことを言わずに100万桁 (私が子どもの頃、想像可能な最大限の金額と言ったら「100万円」だった。「指切りゲンマン。嘘ついたらシャクマンエンハーラウッ」と云うのが約束をする時決まり文句だったりしたのだ。今では、現実生活内で1000円でも十分「大金」だが、それはさておき) 表示したとしても、1000億年では 5.9\times{10^{67}} 桁ぐらいにしかならない (「指数」を言うなら 2 桁)。

そして \mathbf{Ack}(4,4)\mathbf{Ack}(4,3) よりも圧倒的に大きく、さらに \mathbf{Ack}(5,2) は、それらとは問題にならないくらい大きい。。。。

まぁ、確かに「クヌースの矢印表記」や「コンウェイのチェーン表記」を使えば、アッカーマン関数も僅かながらもヨリ具体的なイメージでつかめるのだが、なにやら「焼け石に水」と云った趣があるのだ。

ちなみに、検索エンジン会社 google の名称の元になった、と言うか、創設者が綴りを間違えただけと云う話もあるらしいが、「おとぎ話的に巨大な数」を意味する $(1)$ googol は 1 の後に 0 が100個付いた数、つまり 10^{100} であって、たった 101 桁の数である (指数自体は 3 桁) 。その $1$ googol でさえ、観測可能宇宙内の「原子」(「通常物質」の総量を水素原子「換算」した) 数の (「眉唾」ながらの) 試算値「10^{80} 個程度」(日本語版ウィキペディアの記事「観測可能な宇宙」最終更新 2011年4月7日[木] 04:05 版参照) よりも 20 桁ほど大きい。さらに、1 の後に 0$1$ googol 個付いた数を $1$ googolplex と言うが、これは 10^{100}+1 桁の数であって (指数自体は 101 桁) 、さすがに \mathbf{Ack}(4,2) よりは大きいが、\mathbf{Ack}(4,3) とは比べ物にならないくらい小さい。

こうした巨大数に比べたら「スキューズ数」など「いたいけない」と言いたいほどの可愛らしさだし、その一方、「グラハム数」は気味が悪くなるほど大きい。しかし、これ以上の話は別の機会に譲ろう。

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