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ホロノミー (holonomy) としてのサニャック効果 (Sagnac effect): 物理篇

本稿の用語・記法に就いては [nouse: ホロノミー (holonomy) としてのサニャック効果 (Sagnac effect): 数学的準備] (2008年10月31日[金]) を参照されたい。

時空多様体に就いての仮定

時空多様体を、弧連結4次元微分可能擬リーマン多様体 (M, \ g_{\alpha\beta}) として考える (g_{\alpha\beta} は、その計量)。なお、符号系は [{+}{-}{-}{-}] であるとする。

話を単純にするため、次の仮定をする。

  1. (M, \ g_{\alpha\beta}) 上には時間性キリングベクトル場 (time-like Killing vector filed) \mathbf{k}^\ast = (k^\mu) が存在する (以下、接ベクトル場 \mathbf{k}^\ast の共変化余接ベクトル場を \mathbf{k}_\ast = (k_\mu) で表わすことにする)。なお「時間性」とは、符号系 [{+}{-}{-}{-}] にあっては k_\mu k^\mu > 0 と云うことである 。
  2. mathbf{k}^\ast の積分曲線で M を割った商空間 S \ (\equiv M/T)g_\alpha\beta から導かれる計量によって3次元リーマン多様体となっている。これを、所謂「物理的空間」とする。
  3. 射影 \pi : M \to S は微分可能である。


相対論や量子重力論での底空間としの時空多様体

通常、相対論や量子重力論で扱われるのは、4次元時空多様体 M を底空間とし、接ベクトル空間 T_x(M), \; x \in M をファイバとするベクトルバンドル T(M)\{M, \; \pi, \; T_x(M), \; GL(4, \; \mathbb{R})\} (余接ベクトルバンドル T^\ast(M) も?)と、これに同伴する接フレームバンドルであるようだ。


主バンドルとしての時空多様体

しかし、本稿では、時空多様体の「時空」全体 M が全空間、「空間」S を底空間、時間性キリングベクトル場 mathbf{k}^\ast の積分曲線 (つまり、事象の世界線) F が個別ファイバー、mathbf{k}^\ast が生成する1パラメータ変換群 T が構造群 (リー群である) となる主バンドル M\{S, \; \pi, \; F, \; T\} を扱う。

この時空多様体内で静止している観測者の世界線は、或る個別ファイバーと一致する。そして、その静止観測者の4元速度 \mathbf{v}

\mathbf{v} = (v^\mu) = \Bigl(\frac{k^\mu}{k_\nu k^\nu}\Bigr)

で求められる。


主バンドルとしての時空多様体の構造群と、それに付随するリー代数

構造群 T は、リー群としての正実数乗法群 \mathbb{R}_+ である。 リー群 T \ (\equiv \mathbb{R}_+) のリー代数 (Lie algebra) \mathfrak{T} は、1次元ユークリッド空間 \mathbb{R} になる。これが「(キリング)時間軸」である。

時間性キリングベクトル場 mathbf{k}^\ast を、基本接ベクトル場として生成する \mathfrak{T} の元を \mathbf{k} とすると、その1パラメータ変換群は \{\mathrm{exp}t\mathbf{k}\} となり (但し、t \in \mathbb{R})

\mathbf{k}^\ast = \Big\{\frac{d (x \, \mathrm{exp} \, t\mathbf{k})}{dt}\big|_{t=0} \; \Big| \; x \in M \Big\}

が成り立つ。

つまり、1パラメータ変換群 \{\mathrm{exp}t\mathbf{k}\} とリー群 T \ (\equiv \mathbb{R}_+) との同一視は、リー代数 \mathfrak{T} \ (\equiv \mathbb{R}) の元 t \in \mathbb{R} を介在させることで成立する。更にこれに対応する右移動を、\sigma_t と記すことにすると、任意の x \in M に対して

x \, \mathrm{exp} \, t\mathbf{k} = \sigma_t(x)

となる。

また、時間性キリングベクトル場 mathbf{k}^\ast は、接ベクトル場であるから、それに着目する場合には \partial_t と記すことにする。


主バンドルとしての時空多様体の水平持ち上げ

特に、任意の x \in M に対して、x = \sigma_t(\pi(x)) となる t \in \mathbb{R} が一意に存在する。

従って、任意の点 u \in S において、その自明化近傍 u \in U をとり、更に t \in \mathbb{R} を固定して \sigma_t : U \to \pi^{-1}(U) \subset M を考えると、これは u \in UM の局所切断になっていて、「水平持ち上げ」を構成する。


水平持ち上げによる局所座標系

ここで、S 内の点 u = \pi(x) の適宜の近傍における局所座標系 (x^1, \;x^2, \; x^3) を取るなら、t と組み合わさって、x \in M の適宜の近傍における局所座標系 (t, \; x^1, \;x^2, \; x^3) が得られる。接ベクトル空間 この局所座標系に対応する接ベクトル場を (\partial_t, \; \partial_1, \; \partial_2, \; \partial_3) と記す。この接ベクトル場は接ベクトル空間 T(M) の基底となる。また、余接ベクトル空間 T^\ast(M) における (\partial_t, \; \partial_1, \; \partial_2, \; \partial_3) の双対基底を (dt, \; dx^1, \; dx^2, \; dx^3) と記す。


主バンドルとしての時空多様体の接続形式

さて、主バンドル M\{S, \; \pi, \; F, \; T\} としての時空多様体上の1次形式 \omega : T(M) \to \mathfrak{T} \ (\cong \mathbb{R}) が接続形式である必要十分条件は (この場合の「右移動」が \sigma_t であることに注意すれば)

  1. \sigma_t{}^\ast \omega = \omega \circ \sigma_t = \omega, \quad \forall  t \in T
  2. \omega(\mathbf{k}^\ast) = 1

でとなる。


キリングベクトル場とポアンカレ接続 (Einstein synchronization)

時空多様体において、時間性キリングベクトル場 \mathbf{k}^\ast = (k^\mu) と、その共変化余接ベクトル場 \mathbf{k}_\ast = (k_\mu) を使って構成した

\omega = \frac{k_\mu d x^\mu }{k_\nu k^\nu}

M 上の1次形式として、これら2つの条件を満たす (第1条件が成り立っているのは、リー微分の基本的性質 \mathscr{L}_{\mathbf{k}^\ast} \, \mathbf{k}^\ast = 0 と、キリングベクトル場の定義式 \mathscr{L}_{\mathbf{k}^\ast} \, g = 0 から分かる。第2条件は自明) ので、時空多様体における接続を定める。これが「ポアンカレ接続/Poincaré connection」もしくは「Einstein synchronization convention」である (E. Minguzzi "Simultaneity and generalized connections in general relativity" 23 May 2003 参照 。本稿は、この論文に多くを負っている)。

ここで、上記の余接ベクトル空間の基底 (dt, \; dx^1, \; dx^2, \; dx^3) で、このポアンカレ接続を表わすと \omega = dt + \sigma_t{}^\ast\omega となるが、この式の第2項は、底空間 S 上の1次形式とも看做せるから、それを \omega^\prime と記すなら、ポアンカレ接続の表式は \omega = dt + \omega^\prime となり、S 上では \sigma^\ast_t \omega^\prime = \omega^\prime が成り立つ。

また \omega は実1次形式だから、\omega \wedge \omega = 0 となり、従って、\Omega を、この接続形式 \omega に対応する曲率形式とすると d\omega = d\omega^\prime = \Omega - \omega \wedge \omega = \Omega が成り立つことに注意。

一応注意しておくと、この曲率形式 \Omega は、一般相対論などで使われる「曲率テンソル」とは別のものである。

上述のように、一般相対論の通常の議論は、時空多様体を底空間とするフレームバンドルの接続 (つまり、アフィン接続) を扱っている。その構造群は、一般線型群 GL(r, \mathbb{R}) (r = 4) であり、付随するリー代数は、全行列環 M(r, \mathbb{R}) だから、当該フレームバンドルの接続形式 \omega は、r \times r の行列 (\omega_\lambda{}^\mu) で表わせる r^2 個の実1次形式となる。

このフレームバンドルの接ベクトルバンドルに働く r^2 個の実1次形式を、局所座標系による自然標構

s : (x^1, \ldots, x^r) \mapsto \Big(\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^r}\Big)

を用いて時空多様体の接ベクトルバンドル上に引き戻して、時空多様体の局所座標系に対応する余接ベクトル場の基底である実1次形式 dx^1, \ldots, dx^r の線型結合として表わす時に現れるのが所謂接続係数、つまりクリストッフェルの記号 \Gamma^\mu_{\lambda\nu} である。つまり

\omega_\lambda{}^\mu \circ ds = \Gamma^\mu_{\lambda\nu}\, dx^\nu

フレームバンドルにおける曲率形式は、この接続形式 \omega を共変微分 (\Omega = D\omega) したものであってテンソル的2次形式になる。


主バンドルとしての時空多様体のホロノミー、つまりサニャック効果

ここで S 内の区分的に滑らかな閉曲線 C : [a, \; b] \to S ([a, \; b] は実数直線内の閉区間であって C(a) = C(b)) の M 内への水平持ち上げ曲線 _\ast : [a, \; b] \to M を考えると、水平持ち上げの定義により C_\ast 上では omega = 0 であるから

\int_{C_\ast} \omega = \int_{C_\ast} (dt + \omega^\prime) = 0

が成り立つ。

dtC_\ast に沿って積分した \delta t が、接続 \omega の、閉曲線 C に沿ったホロノミー (holonomy) がサニャック効果 (Sagnac effect) であるから、接続 \omega に対応する水平持ち上げを引き起こす S 上の M の切断 sigma : S \to M (\sigma \in \Gamma(M)) を考えると、\sigma_\ast(C) =C_\ast であり、また S 上では、従って C 上では \sigma^\ast_t \omega^\prime = \omega^\prime が成り立つので

\delta t = \int_{C_\ast} dt = -\int_{C_\ast} \omega^\prime = -\oint_C \sigma^\ast \omega^\prime = -\oint_C \omega^\prime

となる。


ボルン座標系でのサニャック効果

ボルン座標系に対して、上記の議論を適用して、ミンコフスキー空間に対して等角速度運動をする座標系内に静止している観測者を起点とする径路のサニャック効果を計算してみよう。

ボルン座標系の線素は [nouse: 英文版ウィキペディア "Born coordinates" 導入部、第1節-第3節翻訳草稿] (2008年8月2日[土]) に見られるが、本稿では、その表式を若干改め、座標を表示する記号は、[nouse: 一般相対論によるサニャック効果の導出] に揃え (従って、符号系も逆転している)、また、真空中の光速度に関しても、1 に正規化せず、[nouse: 一般相対論によるサニャック効果の導出] (2007年9月30日[日]) や [nouse: 等角速度円運動の旅行者における「双子のパラドクス」] (2008年3月24日[月]) におけるのと同様 c として復活して書くことにして、ボルン座標系 (t, \; r, \; z, \; \theta) の線素を

ds^2 = \left( c^2- r^2 \, \omega^2 \right) \, dt^2 - dr^2 - r^2 \, d\theta^2 - dz^2 - 2 \, r^2 \, \omega \, dt \, d\theta

として、以下議論を進める。

線素の係数部分には時間変数 t が含まれないから、\mathscr{L}_{\partial_t} \, g = 0 となり、また、その「長さ」の平方は、この議論におけるボルン座標系の符号系から当然正となるので \partial_t は時間性キリングベクトル場になる。

つまり、ボルン座標系では、時間性のキリングベクトル場 \partial_t に直交する空間的超平面 T = T_0 を自然に底平面と同一視可能であり、射影 \pi も時間座標を捨てるだけで得られる。この場合、t は大域的な時間そのものだから、リー群のリー代数としてのキリング時間軸と 座標系の時間軸とは同一視できる。

従って、キリングベクトル場は局所座標系で \mathbf{k}^\ast = (1, \, 0, \, 0, \, 0) で表わされ、その共変化余接ベクトル場は \mathbf{k}_\ast = (c^2 - r^2\omega^2, \, 0, \, 0, \, -r^2\omega) と表わされる。当然 k_\nu k^\nu = c^2 - r^2\omega^2 となって、その結果、ポアンカレ接続は

\omega = dt - \frac{r^2 \, \omega}{c^2 - r^2 \, \omega^2}d\theta

となる。

ここで、CS 内の閉曲線とすると、それに沿った、ポアンカレ接続のホロノミー、つまり、サニャック効果は

\delta t = \oint_C \frac{r^2 \, \omega}{c^2 - r^2 \, \omega^2}d\theta

で与えられる。特に Cz 軸を中心軸とする半径 r_0 の円であるなら、それに沿ったサニャック効果は、その円の面積を A = \pi r_0^2 として

\delta t = \frac{2\pi r_0^2 \, \omega}{c^2 - r_0^2 \, \omega^2} = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{2\omega A}{1 - \displaystyle\frac{r_0^2 \, \omega^2}{c^2}}

で表わせる。

ここで注意しなければならないことは、\partial_t つまり、キリング時間にはローレンツブーストが係っていることだ。そこで、固有時でのサニャック効果は、

\delta\tau = \delta t \sqrt{1 - \frac{r_0^2 \, \omega^2}{c^2}} = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{2\omega A}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{r_0^2 \, \omega^2}{c^2}}} \qquad \delta \tau \approx \delta t \approx \frac{2\omega A}{c^2}

となるが、いづれにしろ、\frac{r_0 \, \omega}{c} \approx 0 である限りは、この値は \delta \tau \approx \delta t \approx \frac{2\omega A}{c^2} と看做せる。これは、円を正方向に廻った場合の固有時間のズレである。この円を負方向に廻る場合の固有時間のズレは、符号が逆になって -\!\frac{2\omega A}{c^2} となる。

通常行なわれているサニャック効果の実験 (サニャック干渉計) では、正逆両方の差が測定されるから、その表式は

2\delta\tau \approx 2\delta t \approx \frac{4\omega A}{c^2}

となる。


曲率形式とサニャック効果のゲージ不変性

ここで、一般論に戻って、S 内の閉曲線 C を再び取り上げる。ただし、微妙な議論を避けるために、z 直交平面への C の投影像はジョルダン閉曲線 (Jordan curve) になっているものとする。

この投影像が「何回 (ただし有限回) か 回転する閉曲線」や「区分的に滑らかな閉曲線」の場合も、「病理的な症例」を除けば、単純な場合の極限をとることで、以下の議論と同じ結論が得られるであろう。

更に、この S 内の部分多様体としての1次元C が、(C^\infty級微分可能)多様体であり、それが S 内のコンパクトで向きづけられた2次元(C^\infty級微分可能)多様体 D の向きを込めた意味で境界になっているものとする。つまり C = \partial であるとすると、ストークスの定理 (Stokes' theorem) により

\delta t = -\oint_C \omega^\prime = -\int_D d\omega^\prime = -\int_D \Omega

であることが分かる。これはつまり、サニャック効果が、「空間」上の主バンドルとしての時空多様体の接続に関して、ゲージ不変量であることを意味する。


ボルン座標系での曲率形式

具体例として、ボルン座標系でのポアンカレ接続 \omega = dt - \frac{r^2 \, \omega}{c^2 - r^2 \, \omega^2}d\theta の曲率形式を計算してみると

\omega^\prime = - \frac{r^2 \, \omega}{c^2 - r^2 \, \omega^2}d\theta \qquad \Omega = d\omega = d\omega^\prime = - \frac{2r\omega}{c^2\Bigl(1 - \displaystyle\frac{r^2\omega^2}{c^2}\Bigr)^2} \, dr \wedge d\theta

となる。これがポアンカレ接続に対応する所謂「場の力」だが、古典的なコリオリ力場に対応していることを見るのは容易だろう。


ボルン座標系での一般的な閉曲線に沿ったサニャック効果

やはりボルン座標系での範囲内ではあるが、ここで、C が円とは限らない場合を考えよう。ただし、この場合でも CS 内のコンパクトで向きづけられた2次元多様体 D の向きを込めた意味で境界になっているものとする。更に、座標の回転速度は十分遅くて \frac{r\omega}{c} \approx 0 である場合に限定すると \Omega \approx - \frac{2r\omega}{c^2} \, dr \wedge d\theta が言えるから、サニャック効果は

\delta t = - \int_D \Omega \approx \int_D  \frac{2r\omega}{c^2} \, dr \wedge d\theta = \frac{2\omega}{c^2} \int_D r \, dr \wedge d\theta

この最後の積分内の項 r \, dr \wedge d\thetar 軸と \theta 軸が張る平面、つまり、z 軸と直交する平面における面積要素である。従って、\int_D r \, dr \wedge d\theta とは、2次元多様体 Dz 軸直交平面への投影、つまり、閉曲線 Cz 軸直交平面への投影が囲む領域の面積に等しい。この面積を A とおくなら、一般的な閉曲線に対するサニャック効果の表式が、やはり

\delta t \approx \frac{2\omega A}{c^2}

で与えられることが分かる。回転方向の正負や固有時間に就いての議論は、C が円の場合と同じだから、やはり同じ式

\delta\tau \approx \delta t \approx \frac{2\omega A}{c^2}, \qquad 2\delta\tau \approx 2\delta t \approx \frac{4\omega A}{c^2}

が成り立つ。


サニャック効果とアハラノフ=ボーム効果

サニャック効果は、通常、光や物質波の位相干渉として検出される。光の場合は、Georges Sagnac が1913年に報告しており (G. Sagnac, "Comptes Rendus de l'Academie des Sciences" Paris. 157, pp.708-710,1410-1413 [1913])、「サニャック効果」の呼称は、彼の名に因む。また、物質波のサニャック効果による位相干渉は Cold Atom Sagnac Interferometer (CASI) として研究されている。(CASI に就いては CASI: Cold Atom Sagnac Interferometer などを参照。ただし、この記事のサニャック効果の説明は、感心できるものではない)。

サニャック効果を、引き起こすのは、コリオリ力場ポテンシャルである。 勿論、コリオリ力は、回転軸 (z 軸) に直交する平面内での運動には働かないが、コリオリ力場ポテンシャルは、効果を及ぼして、光や物質波の位相を変えるのである。

これと類似する現象が電磁気学でも知られている。それが、磁場が存在しない領域を通る荷電粒子の波動関数の位相が、電磁気学的ポテンシャルの影響で、径路に依存して変化すると云う アハラノフ=ボーム効果 (Aharonov-Bohm effect) である。アハラノフ=ボーム効果も構造群が1次ユニタリ群 (1) である主バンドルのホロノミーとして理解される。

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