« 英文版ウィキペディア "Rindler coordinates" 翻訳草稿 | トップページ | 「先生」・「先生」・「先生」の聲 »

英文版ウィキペディア "Born coordinates" 導入部、第1節-第3節翻訳草稿

以下は、英文版ウィキペディア "Born coordinates" (last modified on 7 July 2008, at 15:29) の導入部、第1節 (Langevin observers in the cylindrical chart) 第2節 (Transforming to the Born chart) 及び、第3節 (The Sagnac effect) の翻訳草稿である。訳語・内容とも子細な見当はされていない。ただし、訳出にあたって、原文に若干の訂正をほどこした。対応して、英文版ウィキペディアのテキストにも同じ変更を加えたが、その内容に就いては "Revision as of 16:54, 26 June 2008" 及び "Current revision (15:29, 7 July 2008)" を参照していただきたい (英文版では 19 July 2008, at 18:24 にも編集上の変更が加えられているが、内容に実質的な変化はない)。


[nouse: 英文版ウィキペディア "Rindler coordinates" 翻訳草稿] (2008年6月25日 [水] におけるのと同様、この訳文でも、通常「時間的」・「空間的」と訳されている "timelike", "spacelike" を「時間性」・「空間性」と訳してある (これに対して "spatial hyperslice" などは「空間的超切片」と訳し分けてある)。

また英語版でのカテゴリ等、編集上のタグは原則として採用していない。なお、訳文部分の著作権は、原文と同様 [GNU Free Documentation License] に従う。

以下、一瞥すれば分かることだが、一応注意しておくと、本稿では、真空中の光速度が 1 に正規化してある。


Space-time geometry of Born coordinates.<br />Red lines are world lines (congruence) of points on disc.<br />Interlacing blue and grey stripes show change of <span style=T.
Orange curves ( / \ ) are time-like curves with fixed R.
ボルン座標の時空幾何構造。
赤い線は、円盤上の点の世界線 (線叢)。
交互に並んだ青と灰色の縞は T の変化を示す。
オレンジ色の曲線 ( / \ ) は、固定値の R に対する時間性曲線。" />
Space-time geometry of Born coordinates.
Red lines are world lines (congruence) of points on disc.
Interlacing blue and grey stripes show change of T.
Orange curves ( / \ ) are time-like curves with fixed R.
ボルン座標の時空幾何構造。
赤い線は、円盤上の点の世界線 (線叢)。
交互に並んだ青と灰色の縞は T の変化を示す。 オレンジ色の曲線 ( / \ ) は、固定値の R に対する時間性曲線。

In relativistic physics, the Born coordinate chart is a coordinate chart for (part of) Minkowski spacetime, the flat spacetime of special relativity. It is often used to analyze the physical experience of observers who ride on a rigidly rotating ring or disk. This chart is often attributed to Max Born.
相対論物理において、「ボルン座標表示」(Born coordinate chart) とは、特殊相対論平坦な時空であるミンコフスキー時空 (の一部分) のための座標表示である。ボルン座標表示は、剛体的に回転する円環又は円盤上に載っている観測者の物理的体験を分析するのに多く用いられる。この座標表示は、通常マックス・ボルン (Max Born) が考え出したとされている。


Langevin observers in the cylindrical chart
円筒座標表示でのランジェヴァン型観測者

To motivate the Born chart, we first consider the family of Langevin observers represented in an ordinary cylindrical coordinate chart for Minkowski spacetime. The world lines of these observers form a timelike congruence which is rigid in the sense of having a vanishing expansion tensor. They represent observers who rotate rigidly around an axis of cylindrical symmetry.
ボルン座標表示を引き出す準備として、通常の円筒座標表示で表わされたミンコフスキー時空中における一群のランジェヴァン型観測者 (Langevin observer) を、まず考察する。こうした観測者達の世界線は、膨張テンソル (expansion tensor) が消失すると云う意味で「剛体的」な時間性線叢 (timelike congruence) を形成する。こうした世界線は、円筒対称性の軸の周りを剛体的に回転する観測者を表わす。


From the line element
:<math> ds^2 = -dT^2 + dZ^2 + dR^2 + R^2 \, d\Phi^2, \; \; -\infty < T, \, Z < \infty, \; 0 < R < \infty, \; -\pi < \Phi < \pi </math>
we can immediately read off a frame field representing the local Lorentz frames of stationary (inertial) observers
:<math> \vec{e}_0 = \partial_T, \; \; \vec{e}_1 = \partial_Z, \; \; \vec{e}_2 = \partial_R, \; \; \vec{e}_3 = \frac{1}{R} \, \partial_\Phi </math>
Here, <math>\vec{e}_0</math> is a timelike unit vector field while the others are spacelike unit vector fields; at each event, all four are mutually orthogonal and determine the infinitesimal Lorentz frame of the static observer whose world line passes through that event.
その線素
:<math> ds^2 = -dT^2 + dZ^2 + dR^2 + R^2 \, d\Phi^2, \; \; -\infty < T, \, Z < \infty, \; 0 < R < \infty, \; -\pi < \Phi < \pi </math>
から、即座に、静止 (慣性) 観測者の局所ローレンツ基準系を表わす基準ベクトル場系 (frame field)
:<math> \vec{e}_0 = \partial_T, \; \; \vec{e}_1 = \partial_Z, \; \; \vec{e}_2 = \partial_R, \; \; \vec{e}_3 = \frac{1}{R} \, \partial_\Phi </math>
を読み取ることができる。ここで <math>\vec{e}_0</math> は、時間性単位ベクトル場であり、残りは、空間性 (spacelike) 単位ベクトル場である。個々の事象において、4つの単位ベクトル場は全て相互に直交しており、その事象を通過する世界線を有する静止観測者の無限小ローレンツ基準ベクトル場系を定める。


Simultaneously boosting these frame fields in the <math> \vec{e}_3</math> direction, we obtain the desired frame field describing the physical experience of the Langevin observers, namely
<br />
\begin{eqnarray}<br />
&& \vec{p}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \, \partial_T + \frac{\omega \, R}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \; \frac{1}{R} \partial_\Phi \nonumber \\<br />
&& \vec{p}_1 = \partial_Z, \; \; \vec{p}_2 = \partial_R \nonumber \\<br />
&& \vec{p}_3 = \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \; \frac{1}{R} \, \partial_\Phi +  \frac{\omega \, R}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \, \partial_T \nonumber <br />
\end{eqnarray}
This frame was apparently first introduced (implicitly) by Paul Langevin in 1935; its first ''explicit'' use appears to have been by T. A. Weber, as recently as 1997! It is defined on the region 0 < R < 1/ \omega; this limitation is fundamental, since near the outer boundary, the velocity of the Langevin observers approaches the speed of light.
こうした基準ベクトル場系を、同時に <math> \vec{e}_3</math> 方向にブースト (boost) すると、ランジェヴァン型観測者の物理体験を叙述するのに適した基準ベクトル場系
<br />
\begin{eqnarray}<br />
&& \vec{p}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \, \partial_T + \frac{\omega \, R}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \; \frac{1}{R} \partial_\Phi \nonumber \\<br />
&& \vec{p}_1 = \partial_Z, \; \; \vec{p}_2 = \partial_R \nonumber \\<br />
&& \vec{p}_3 = \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \; \frac{1}{R} \, \partial_\Phi +  \frac{\omega \, R}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \, \partial_T \nonumber <br />
\end{eqnarray}
が得られる。この基準系は、1935年、ポール・ランジェヴァン (Paul Langevin) により (内在的な形で) 導入されたのが最初だったらしいが、T. A. ウェーバー (T. A. Weber) によって最初に明示的な形で使用されたのは、なんと1997年になってからだったようである! この基準系は、領域 0 < R < 1/ \omega で定義されているが、この定義域の外周に接近すると、ランジェヴァン型観測者の速度は光速度に近付いていくので、この制限は本質的なものである。

[[訳註: "boost(ing)" は、局所ミンコフスキー空間でに「ローレンツ・ブースト」を行なうことを指すと思われるで「ブースト」と訳しておく。私 (ゑ) の趣味ではないのだが、現時点では良い代替案も思いつかないので、いたしかたがない。]]
[[訳註:唐突に \omega が式中に出てくるが、これは勿論「回転」の角速度。]]


Part of the helical world line of a typical Langevin observer (red curve), depicted in the cylindrical chart, with some future pointing light cones (gold) with the frame vectors assigned by the Langevin frame (black rods).  In this figure, the Z coordinate is inessential and has been suppressed.  The white cylinder shows a locus of constant radius; the dashed green line represents the symmetry axis R=0.  The blue curve is an integral curve of the azimuthal unit vector \vec{p}_3.<br />円筒座標表示で描かれた典型的なランジェヴァン型観測者の螺旋状世界線の一部分 (赤い曲線)。未来錐 (金色) 及びランジェヴァン基準ベクトル場系の基準ベクトル (黒い太線) も共に描かれている。この図では、Z 座標は非本質的なので描かれていない。白色の円筒は、一定半径の軌跡であり、緑色の破線は、対称軸 R=0 を示している。また、青い曲線は、方位単位ベクトル \vec{p}_3 の積分曲線である。 Part of the helical world line of a typical Langevin observer (red curve), depicted in the cylindrical chart, with some future pointing light cones (gold) with the frame vectors assigned by the Langevin frame (black rods). In this figure, the Z coordinate is inessential and has been suppressed. The white cylinder shows a locus of constant radius; the dashed green line represents the symmetry axis R=0. The blue curve is an integral curve of the azimuthal unit vector <math>\vec{p}_3</math>.
円筒座標表示で描かれた典型的なランジェヴァン型観測者の螺旋状世界線の一部分 (赤い曲線)。未来錐 (金色) 及びランジェヴァン基準ベクトル場系の基準ベクトル (黒い太線) も共に描かれている。この図では、Z 座標は非本質的なので描かれていない。白色の円筒は、一定半径の軌跡であり、緑色の破線は、対称軸 R=0 を示している。また、青い曲線は、方位単位ベクトル <math>\vec{p}_3</math> の積分曲線である。

Each integral curve of the timelike unit vector field <math>\vec{p}_0</math> appears in the cylindrical chart as a helix with constant radius (such as the red curve in the figure at right). Suppose we choose one Langevin observer and consider the other observers who ride on a ring of radius R which is rigidly rotating with angular velocity \omega. Then if we take an integral curve (blue helical curve in the figure at right) of the spacelike basis vector <math>\vec{p}_3</math>, we obtain a curve which we might hope can be interpreted as a "line of simultaneity" for the ring-riding observers. But as we see from the figure, ideal clocks carried by these ring-riding observers cannot be synchronized. This is our first hint that it is not as easy as one might expect to define a satisfactory notion of spatial geometry even for a rotating ring, much less a rotating disk !
時間性単位ベクトル場 <math>\vec{p}_0</math> の積分曲線は、いづれも、円筒座標表示において、一定半径の螺旋となる (上図での赤い螺旋)。一人のランジェヴァン型観測者を選んでおき、角速度 \omega で剛体的に回転する半径 R の円環に載っている他の観測者のことを考えてみよう。その場合、空間性基本ベクトル <math>\vec{p}_3</math> の積分曲線 (上図における青い螺旋) は、円環に載っている観測者たちにとり「等時性を表わす線」と解釈してよいと期待したくなる。しかし、図から見て取れるように、こうした円環に載っている観測者たちが、理想的な時計をもっていたとして、そうした時計は時刻を揃えることは不可能である。このことが、回転円環の場合であってすら、「空間幾何」に就いて満足しうる概念を定めるのは、思ったほど簡単には済まないことが伺える最初の例である。 そして「回転円盤」では、事態は一層深刻になる!


This figure shows the world lines of a fiducial Langevin observer (red curve) and his nearest neighbors (dashed navy blue curves).  This figure shows one quarter of one orbit by the fiducial observer about the axis of symmetry (vertical green line).<br />この図には、基準とされたランジェヴァン型観測者の世界線 (赤い線) とその近隣の観測者の世界線 (ネイビーブルーの破線) が示されている。図中には、基準観測者が対称軸 (緑色の垂直線) の周囲を廻る軌跡の4分の1が描かれている。 This figure shows the world lines of a fiducial Langevin observer (red curve) and his nearest neighbors (dashed navy blue curves). This figure shows one quarter of one orbit by the fiducial observer about the axis of symmetry (vertical green line).
この図には、基準とされたランジェヴァン型観測者の世界線 (赤い線) とその近隣の観測者の世界線 (ネイビーブルーの破線) が示されている。図中には、基準観測者が対称軸 (緑色の垂直線) の周囲を廻る軌跡の4分の1が描かれている。

Computing the kinematic decomposition of the Langevin congruence, we find that the acceleration vector is
:<math> \nabla_{\vec{p}_0} \vec{p}_0 = \frac{-\omega^2 \, R}{1- \omega^2 \, R^2} \; \vec{p}_2 </math>
This points radially inward and it depends only on the (constant) radius of each helical world line. The expansion tensor vanishes identically, which means that nearby Langevin observers maintain constant distance from each other. The vorticity vector is
:<math> \vec{\Omega} = \frac{\omega}{1 - \omega^2 \, R^2} \; \vec{p}_1 </math>
which is parallel to the axis of symmetry. This means that the world lines of the nearest neighbors of each Langevin observer are twisting about its own world line, as suggested by the figure at right. This is a kind of local notion of "swirling" or vorticity.
ランジェヴァン型線叢の運動学的分解を計算すると、その加速度ベクトルは
:<math> \nabla_{\vec{p}_0} \vec{p}_0 = \frac{-\omega^2 \, R}{1- \omega^2 \, R^2} \; \vec{p}_2 </math>
となっている。この加速度ベクトルは、半径方向内向きであり、各螺旋状世界線の (一定) 半径にのみ依存する。「膨張テンソル」は、恒等的に消失するが、これは隣り合ったランジェヴァン型観測者間の距離が一定に維持されることを意味する。「渦度テンソル」は
:<math> \vec{\Omega} = \frac{\omega}{1 - \omega^2 \, R^2} \; \vec{p}_1 </math>
となり、対称軸に対して平行である。これは、上図からも伺えるように、各ランジェヴァン型観測者に隣り合ったランジェヴァン型観測者の世界線は、元の世界線を中心にして捻じれて行っていると云うことである。これは、局所的な意味で、一種の「回旋」または「渦動」を行なっていると云うことである。

[[訳註:"Congruence (general relativity) - Wikipedia" を参照して計算すると、以下のようになる。いちいちの説明は煩わしいので、取り敢えずは省略するが、最小限の注意をしておくと、(\underrightarrow{p_0}, \underrightarrow{p_1}, \underrightarrow{p_2}, \underrightarrow{p_3}) は、ベクトル (\vec{p}_0, \vec{p}_1, \vec{p}_2, \vec{p}_3) にそれぞれ対応するコベクトル (covector) の積もりである。

induction of \nabla_{\vec{p_0}}\vec{p_0}

ここで、"Congruence (general relativity) - Wikipedia" での記法に準じて、

X = \vec{p}_0  \quad (= \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \, \partial_T + \frac{\omega \, R}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \; \frac{1}{R} \partial_\Phi)
と置くと:

 calculus on acceleration vector X

となるから

\dot{X}_aX_b &+& X_{a;b} (= h^m{}_ah^n{}_bX_{m;n})

が得られる。

(ちなみに、投影テンソルは
\begin{eqnarray*}<br />
h^\alpha{}_\beta = \bordermatrix{ <br />
        &  T & Z & R & \Phi \cr<br />
   T    &- \frac{\omega^2 R^2}{1 - \omega^2 R^2} & 0 & 0 & \frac{\omega R^2}{1 - \omega^2 R^2}  \cr<br />
   Z    &  0 & 1 & 0 & 0 \cr<br />
   R    &  0 & 0 & 1 & 0 \cr<br />
   \Phi &  \frac{- \omega}{1 - \omega^2 R^2} & 0 & 0 & \frac{1}{1 - \omega^2 R^2}<br />
} <br />
\end{eqnarray*}
なので、こちちを使っても計算できる。)

これを

\begin{eqnarray}<br />
&& \underrightarrow{p_0} = \frac{- 1}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} \, dT + \frac{\omega \, R^2}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} d\Phi \nonumber \\<br />
&& \underrightarrow{p_1} = dZ, \; \; \underrightarrow{p_2} = dR \nonumber \\<br />
&& \underrightarrow{p_3} = \frac{R}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} d \Phi +  \frac{- \omega \, R}{\sqrt{1-\omega^2 \, R^2}} dT \nonumber <br />
\end{eqnarray}

を使って書き直すと

\begin{eqnarray*}<br />
\bordermatrix{ <br />
        & \underrightarrow{p_0} & \underrightarrow{p_1} & \underrightarrow{p_3} & \underrightarrow{p_3} \cr<br />
   \underrightarrow{p_0}    & 0 & 0 & 0 & 0 \cr<br />
   \underrightarrow{p_1}    & 0 & 0 & 0 & 0 \cr<br />
   \underrightarrow{p_2}    & 0 & 0 & 0 & \frac{- \omega}{1 - \omega^2 R^2}  \cr<br />
   \underrightarrow{p_3} & 0 & 0 & \frac{\omega}{1 - \omega^2 R^2} & 0<br />
} <br />
\end{eqnarray*}

になる。 これは反対称テンソルだから、対称成分 (膨張テンソル) はなく、そのまま渦度テンソルを表わすが、それを軸性ベクトルに書き直すなら

:<math> \vec{\Omega} = \frac{\omega}{1 - \omega^2 \, R^2} \; \vec{p}_1 </math>

と云う表現が得られる。
]]


In contrast, note that projecting the helices onto any one of the spatial hyperslices <math>T=T_0</math> orthogonal to the world lines of the static observers gives a circle, which is of course a closed curve. Even better, the coordinate basis vector <math>\partial_\Phi</math> is a spacelike Killing vector field whose integral curves are closed spacelike curves (circles, in fact), which moreover degenerate to zero length closed curves on the axis R = 0. This expresses the fact that our spacetime exhibits cylindrical symmetry, and also exhibits a kind of ''global notion'' of the rotation of our Langevin observers.
これと対照的に、こうした螺旋を、静止観測者の世界線と直交する空間的超切片 <math>T=T_0</math> のどれに投影したとしても、それは (当然の事ながら、閉曲線) となる。さらに都合の良いことには、座標基本ベクトル <math>\partial_\Phi</math> は、積分曲線が空間性閉曲線 (実際には円にっており、更には、軸 R = 0 において、長さがゼロの閉曲線に退化する) となる空間性のキリング・ベクトル場である。これは、この時空が「円筒対称性」を有すること、そして、ランジェヴァン型観測者の回転に一種の「大域性」があることを示している。


In the figure, the magenta curve shows how the spatial vectors <math>\vec{p}_2</math>, <math>\vec{p}_3</math> are spinning about <math>\vec{p}_1</math> (which is suppressed in the figure since the Z coordinate is inessential). That is, the vectors <math>\vec{p}_2</math>, <math>\vec{p}_3</math> are not Fermi-Walker transported along the world line, so the Langevin frame is ''spinning'' as well as non-inertial. In other words, in our straightforward derivation of the Langevin frame, we kept the frame aligned with the radial coordinate basis vector <math>\partial_R</math>. By introducing a constant rate rotation of the frame carried by each Langevin observer about <math>\vec{p}_1</math>, we could, if we wished "despin" our frame to obtain a gyrostabilized version.
上図に於いて、深紅色の曲線は、空間性ベクトル <math>\vec{p}_2</math>, <math>\vec{p}_3</math> が (Z 軸は非本質的であるため、図には示されていない) <math>\vec{p}_1</math> の周りを、回転している。つまり、ベクトル <math>\vec{p}_2</math>, <math>\vec{p}_3</math> は、世界線に沿ったフェルミ・ウオーカー (Fermi-Walker) 移動を行なっておらず、従って、ランジェヴァン型座標は、慣性系でないと云うばかりでなく、回転している訣である。換言すれば、上記のように単純に構成したランジェヴァン座標にあっては、座標系は、半径方向座標の基本ベクトル <math>\partial_R</math> に整列しているのである。だから、この回転を止めたいならば、ランジェヴァン型観測者のそれぞれが抱える座標系に <math>\vec{p}_1</math> を軸とする等速度回転を導入するすことで、方向が安定した座標系を得ることが出来るかもしれないということになる。


Transforming to the Born chart
ボルン座標表示への変換

To obtain the Born chart, we straighten out the helical world lines of the Langevin observers using the simple coordinate transformation
:<math> t = T, \; \; z = Z, \; \; r = R, \; \; \phi = \Phi - \omega \, T</math>
The new line element is
\begin{eqnarray}<br />
ds^2 &=& -\left( 1- \omega^2 \, r^2 \right) \, dt^2 + 2 \, \omega \, r^2 \, dt \, d\phi + dz^2 + dr^2 + r^2 \, d\phi^2 \nonumber \\<br />
& & \hspace{10pt} -\infty < t, \, z < \infty, 0 < r < \frac{1}{\omega}, \; -\pi < \phi < \pi \nonumber<br />
\end{eqnarray}
Notice the "cross-terms" involving <math>dt \, d\phi</math>, which show that the Born chart is not an orthogonal coordinate chart. The Born coordinates are also sometimes referred to as rotating cylindrical coordinates.
「ボルン座標表示」(Born chart) を得るには、単純な座標変換
:<math> t = T, \; \; z = Z, \; \; r = R, \; \; \phi = \Phi - \omega \, T</math>
を用いて、ランジェヴァン型観測者の螺旋状世界線を直線にしてしまえば良い。そうすると、新たな線素は
\begin{eqnarray}<br />
ds^2 &=& -\left( 1- \omega^2 \, r^2 \right) \, dt^2 + 2 \, \omega \, r^2 \, dt \, d\phi + dz^2 + dr^2 + r^2 \, d\phi^2 \nonumber \\<br />
& & \hspace{10pt} -\infty < t, \, z < \infty, 0 < r < \frac{1}{\omega}, \; -\pi < \phi < \pi \nonumber<br />
\end{eqnarray}
となる。ここで「混合項」(cross-terms) <math>dt \, d\phi</math> が出てくるが、これはボルン座標表示が直交座標系ではないと云うことであることに留意されたい。ボルン座標は、「回転円筒座標」とも呼ばれることもある。


In the new chart, the world lines of the Langevin observers appear as vertical straight lines. Indeed, we can easily transform the four vector fields making up the Langevin frame into the new chart. We obtain
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\vec{p}_0 &=& \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, r^2}} \, \partial_t \nonumber \\<br />
\vec{p}_1 &=& \partial_z, \; \; \vec{p}_2 = \partial_r \nonumber \\<br />
\vec{p}_3 &=& \frac{\sqrt{1-\omega^2 \, r^2}}{r} \, \partial_\phi + \frac{\omega \, r}{\sqrt{1-\omega^2 \, r^2}} \, \partial_t \nonumber<br />
\end{eqnarray}
These are exactly the same vector fields as before--- they are now simply represented in a different coordinate chart!
ボルン座標表示では、ランジェヴァン型観測者の世界線は、垂直方向の直線になる。実際、ランジェヴァン座標表示を構成する上記4つのベクトル場は、ボルン座標表示に簡単に変換できて、次のようになる。
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\vec{p}_0 &=& \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, r^2}} \, \partial_t \nonumber \\<br />
\vec{p}_1 &=& \partial_z, \; \; \vec{p}_2 = \partial_r \nonumber \\<br />
\vec{p}_3 &=& \frac{\sqrt{1-\omega^2 \, r^2}}{r} \, \partial_\phi + \frac{\omega \, r}{\sqrt{1-\omega^2 \, r^2}} \, \partial_t \nonumber<br />
\end{eqnarray}
これらは、ベクトル場としては、以前のものと全く同一である--- そられは、座標表示を変えて書き直したものに過ぎない!

[[訳註:この変換は、次の式に従って、簡単に出来る。
\partial_T = - \omega \, \partial_\phi + \partial_t \qquad \partial_\Phi = \partial_\phi
]]


Needless to say, in the process of unwinding the world lines of the Langevin observers, which appear as helices in the cylindrical chart, we wound up the world lines of the static observers, which now appear as helices in the Born chart! Note too that, like the Langevin frame, the Born chart is only defined on the region 0 < r < 1/ \omega.
言うまでもないことだが、円筒形座標では螺旋に見えるランジェヴァン型観測者の世界線の「巻きを解く」過程では、静止観測者の世界線が「巻かれていく」ので、静止観測者の世界線は、ボルン座標表示では螺旋状に見える! ランジェヴァン座標表示におけるのと同様、ボルン座標も、領域 0 < r < 1/ \omega でのみ定義可能であることにも留意されたい。


If we recompute the ''kinematic decomposition'' of the Langevin observers, that is of the timelike congruence <math> \vec{p}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, r^2}} \, \partial_t</math>, we will of course obtain the same answer that we did before, only expressed in terms of the new chart. Specifically, the acceleration vector is
:<math> \nabla_{\vec{p}_0} \, \vec{p}_0 = \frac{-\omega^2 \,r}{1 - \omega^2 \, r^2} \, \vec{p}_2</math>
the expansion tensor vanishes, and the vorticity vector is
:<math> \vec{\Omega} = \frac{\omega}{1-\omega^2 \, r^2} \; \vec{p}_1</math>
ランジェヴァン型観測者の運動学的分解、つまり、時間性線叢 <math> \vec{p}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\omega^2 \, r^2}} \, \partial_t</math> の運動学的分解を計算しなおすと、新たな座標での変数表示になっているが、勿論、以前と同一の結果が得られる。特に、加速度ベクトルは
:<math> \nabla_{\vec{p}_0} \, \vec{p}_0 = \frac{-\omega^2 \,r}{1 - \omega^2 \, r^2} \, \vec{p}_2</math>
となり、膨張テンソルは消失し、渦度テンソルは
:<math> \vec{\Omega} = \frac{\omega}{1-\omega^2 \, r^2} \; \vec{p}_1</math>
となる。

[[訳註:この計算は、ランジェヴァン座標表示と場合と並行して行なえる。結果として得られる膨張テンソル・渦度テンソルの表記は、当然のことながらランジェヴァン座標表示と場合と同じになる。その計算のあらましは以下の通り:

calculation of vorticity vector in Born Coordinates. no.1

calculation of vorticity vector in Born Coordinates. no.2

\begin{eqnarray*}<br />
h^\alpha{}_\beta = \bordermatrix{ <br />
        &  t & z & r & \phi \cr<br />
   t    &  0 & 0 & 0 & 0  \cr<br />
   z    &  0 & 1 & 0 & 0 \cr<br />
   r    &  0 & 0 & 1 & 0 \cr<br />
   \phi &  0 & 0 & 0 & 1<br />
} <br />
\end{eqnarray*}

calculation of vorticity vector in Born Coordinates. no.3
]]

An attempt to define a notion of space at a time for our Langevin observers, depicted in the Born chart. This attempt is doomed to fail for at least two reasons! This figure depicts the region 0 < r < 1 when \omega = 1/5, with a discontinuity at \phi = \pi. The radial ray from which we have grownthe integral curves to make the surface is at \phi = 0 (on the far side in this image).
ボルン座標表示で描かれたランジェヴァン型観測者にとっての「ある時刻での空間」の概念を定義する試み。この試みは、少なくとも2つの理由で失敗せざるを得ない! この図は、\omega = 1/5 の場合の 0 < r < 1 領域が、\phi = \pi に不連続性が現れるようにして描かれている。曲面を形成するように「伸びていく」積分曲線が出発する半径は \phi = 0 (この図では、奥のほう) にある。


The dual covector field of the timelike unit vector field in any frame field represents infinitesimal spatial hyperslices. However, the Frobenius integrability theorem gives a strong restriction on whether or not these spatial hyperplane elements can be "knit together" to form a family of spatial hypersurfaces which are everywhere orthogonal to the world lines of the congruence. Indeed, it turns out that this is possible, in which case we say the congruence is hypersurface orthogonal, if and only if the vorticity vector vanishes identically. Thus, while the static observers in the cylindrical chart admits a unique family of orthogonal hyperslices <math>T=T_0</math>, ''the Langevin observers admit no such hyperslices''. In particular, the spatial surfaces <math>t=t_0</math> in the Born chart are orthogonal to the static observers, not to the Langevin observers. This is our second (and much more pointed) indication that defining "the spatial geometry of a rotating disk" is not as simple as one might expect.
時間性単位ベクトル場の双対コベクトル場は、いかなる規準ベクトル場系にあっても、空間的無限小超切片をあらわす。しかし、こうした空間的超切片要素が「編みあがって」、線叢をなす世界線と全ての場所で直交するような空間的超切片の族を形成するかどうかに就いては、「フロベニウスの積分可能性定理」(Frobenius integrability theorem) による強い制限が課せられる。実際、線叢が「超曲面直交」と呼ばれるものになるのは、渦度テンソルが恒等的に消失する場合であり、またそうした場合にのみ可能なのである。従って、こうしたことは、円筒座標系における静止観測者にとっては、唯一つ、直交超切片族 <math>T=T_0</math> が当てはまるが、ランジェヴァン型観測者に対しては、そうした超切片族が存在しない。特に、ボルン座標表示における空間的超曲面族 <math>t=t_0</math> は、静止観測者には直交するが、ランジェヴァン型観測者には直交しない。これが、「回転円盤の空間幾何学」を定義することが思ったより単純でない第二の (そして、はるかに本質的な) 問題点である。


To better understand this crucial point, consider integral curves of the third Langevin frame vector
:<math>\vec{p}_3 = \sqrt{1-\omega^2 \, r^2} \, \frac{1}{r} \, \partial_\phi + \frac{\omega \, r}{ \sqrt{1-\omega^2 \, r^2}} \, \partial_t</math>
which pass through the radius <math>\phi=0, \, t=0</math>. (For convenience, we will suppress the inessential coordinate z from our discussion.) These curves lie in the surface
:<math>\phi + \omega \, t - \frac{t}{\omega \, r^2} = 0, \; \; -\pi < \phi < \pi </math>
shown in the figure. We would like to regard this as a space at a time for our Langevin observers. But two things go wrong.
この問題点をヨリ良く理解するために、ランジェヴァン座標表示第3ベクトル
:<math>\vec{p}_3 = \sqrt{1-\omega^2 \, r^2} \, \frac{1}{r} \, \partial_\phi + \frac{\omega \, r}{ \sqrt{1-\omega^2 \, r^2}} \, \partial_t</math>
の積分曲線で、半径 <math>\phi=0, \, t=0</math> を通るものを考える (便宜上、非本質的な座標 z は議論から排除する)。こうした積分曲線は図中に示した曲面
:<math>\phi + \omega \, t - \frac{t}{\omega \, r^2} = 0, \; \; -\pi < \phi < \pi </math>
上にある。これを、ランジェヴァン型観測者にとっての「ある時刻での空間」としたくなるところだが、2つの点で旨くいかない。


First, the Frobenius theorem tells us that <math>\vec{p}_2</math>, <math>\vec{p}_3</math> are tangent to no spatial hyperslice whatever. Indeed, except on the initial radius, the vectors <math>\vec{p}_2</math> do not lie in our slice. Thus, while we found a spatial hypersurface, it is orthogonal to the world lines of only some our Langevin observers. Because the obstruction from the Frobenius theorem can be understood in terms of the failure of the vector fields <math>\vec{p}_2</math>, <math>\vec{p}_3</math> to form a Lie algebra, this obstruction is differential, in fact Lie theoretic. That is, it is a kind of ''infinitesimal obstruction'' to the existence of a satisfactory notion of spatial hyperslices for our rotating observers.
第一に、フロベニウスの定理により、<math>\vec{p}_2</math>, <math>\vec{p}_3</math> は、如何なる空間的超切片にも接することはない。実際、最初の半径上以外では、 ベクトル <math>\vec{p}_2</math> は、空間的切片には載ることはない。従って、空間的超曲面は存在しはするが、その超曲面が世界線に直交するランジェヴァン型観測者が何人か存在すると云うのが関の山である。フロベニウスの定理によるこの障害は、ベクトル場 <math>\vec{p}_2</math>, <math>\vec{p}_3</math>リー代数を構成できないと云う観点から理解できるから、この障害は、微分的、実は、リー理論的なものである。これが、回転する観測者にとっての空間的超切片の満足できる概念の存在にとっての、一種の「無限小障害」となっている。


Second, as the figure shows, our attempted hyperslice would lead to a discontinuous notion of "time" due to the "jumps" in the integral curves (shown as a coral colored discontinuity). Alternatively, we could try to use a multivalued time. Neither of these alternatives seems very attractive! This is evidently a global obstruction. It is of course a consequence of our inability to synchronize the clocks of the Langevin observers riding even a single ring---say the rim of a disk--- much less an entire disk.
第二に、図に示されているように、作成してみた超切片では、積分曲線の「段差」に起因する時間の不連続性 (図中、赤黄色で示されている不連続性) と云う観念が得られる。別の方法としては、複数の値を持つ時間を使用することを試みても良いかもしれないが、いづれにしろ「大変魅力的」であるようちは見えない! こちらの方は、「大域的障害」である。勿論、これは、回転する (円盤全体よりは遥かに小さいものである) 単一の円環 ---円盤の縁と言っても良いが--- においてさえ、そこに乗っているランジェヴァン型観測者達の時計の時刻を合わせるのは不可能であると云うことの帰結である。

[[訳註:
時間性単位ベクトル \vec{p}_0\partial_t\frac{1}{\sqrt{1 - \omega^2 r^2}} 倍であると云うことが [nouse: 等角速度円運動の旅行者における「双子のパラドクス」] (2008年3月24日[月]) で説明した、等角速度回転運動をする旅行者が体験する「時間遅延」に対応する。

これに対し、空間性単位ベクトル \vec{p}_3 は、所謂サニャック効果に関連する。「(\vec{p}_3 の) 積分曲線が載っている曲面」(These curves lie in the surface) と書かれているが、要するに \vec{p}_3 の積分曲線の族が連なって形成している曲面であって、その式
:<math>\phi + \omega \, t - \frac{t}{\omega \, r^2} = 0, \; \; -\pi < \phi < \pi </math>
は、r を固定すれば、ある積分曲線の式になる。この積分曲線の「段差」が「サニャック効果」そのものなのだ。その大きさは、式を t について解いて
t = \frac{\omega r^2}{1 - \omega^2 r^2} \; \phi
から得られるが、積分曲線を時計廻り (+) に辿るか反時計回り (-) に辿るかで、符号が逆転する。つまり、時計廻りでは
- \pi \rightarrow \pi : \ \Delta_t^{+} = - \frac{2 \pi \omega r^2}{1 - \omega^2 r^2} となり、反時計廻りでは
\pi \rightarrow - \pi : \ \Delta_t^{-} = \frac{2 \pi \omega r^2}{1 - \omega^2 r^2} となるから、両方を合わせると、その値は
\Delta_t^{-} - \Delta_t^{+} = \frac{4 \pi \omega r^2}{1 - \omega^2 r^2}
この右辺は、時間軸 (\vec{p}_0 軸) の直交超平面への積分曲線の射影 (円) が囲む面積を S とした時、式の右辺は \frac{4 \omega S}{1 - \omega^2 r^2} と書かれることもある (ここで、S = \pi r^2)。また分母の速度の2次の項は無視されることが多い (なお、本稿では、真空における光速度が 1 に正規化されていることに注意されたい)。

しかし、ここで最も注目すべきなのは、サニャック効果が 空間性単位ベクトル \vec{p}_3 の積分曲線の周回後の段差であると云う事実そのものである。つまり、多様体の用語で言えば、サニャック効果とは多様体のホロノミー (holonomy) なのだ。

私は、本稿をここまで訳してきて、このことに突如として気付いた時、しばしばあることとは言え、やはり自分の頭の悪さにつくづく慨嘆せざるを得なかった。 「どうして、こんなあからさまな事実に、最初から気付かなかったのだろう...」。

このことを了解しさえすれば、サニャック効果が「特殊相対論的」か「一般相対論的」かと云う設問に対して

特殊相対論と一般相対論とは、排除しあうものではないと云う当たり前の事 (「世界地図帳」と「地球儀」の一方が「正しい」とか「優れている」とか言いたてて、他方を発売禁止にするのは馬鹿げている) をわざわざ言いたくはないのだが、以下のことを言う前に、「そうなのだ」と念を押しておいてから話を続けると、「[双子のパラドクス] は、特殊相対論では説明できず、一般相対論で初めて説明できる」と云うコンテキストや、「水星の近日点移動の解明によって一般相対論の正しさが実証された」と云ったコンテキストでは、サニャック効果は優れて「一般相対論的」である。
--[nouse: 一般相対論によるサニャック効果の導出] (2007年9月30日[日])

などと持って回った言い方をする必要はなかったのだ。単に、「サニャック効果は、時空多様体のホロノミーである」とさえ言えばよかったのだから。

厳密にはファイバーバンドル (fiber bundle) 、と言うか、主バンドル (principal bundle) の用語を使うべきなのだが、ここでは話が大袈裟になるので、別の機会に譲るとして (下記引用論文参照)、大雑把な言い方をすると、多様体の接続が平坦でない場合、曲率が 0 にならず、大域的には自明でないホロノミーが発生する訣だが、局所的には、2つの平坦な時空 (ミンコフスキー時空) が、「少しだけ方向をずらして」接続しているとみなせる。その接続を初等的に表現したのが Einstein synchronization だ。だから Einstein synchronization は物理を特殊相対論の枠組内で説明するための便宜 (convention) ではなく、物理を曲がった時空で考えると云う一般相対論への入り口なのだ。

サニャック効果とホロノミーに就いてネットを検索したら、次の論文が見つかった。

E. Minguzzi "Simultaneity and generalized connections in general relativity" (arXiv.org > gr-qc > arXiv:gr-qc/0204063v2)

興味深い内容なので、機会があったら、別途紹介することにしたい。
]]


The Sagnac effect
サニャック効果

Imagine that we have fastened a fiber-optic cable around the circumference of a ring which is rotating with steady angular velocity \omega. We wish to compute the round trip travel time, as measured by a ring-riding observer, for a laser pulse sent clockwise and counterclockwise around the cable. For simplicity, we will ignore the fact that light travels through a fiber optic cable at somewhat less than the speed of light in a vacuum, and will pretend that the world line of our laser pulse is a null curve (but certainly not a null ''geodesic''!).
一定角速度 \omega で回転している円環の周囲をめぐらせて光ファイバを固定しているものとする。ここで、この光ファイバ・ケーブルを時計廻り・反時計廻りに発射されたレーザー・パルスの周回時間を、円環に乗っている観測者が測る値として求めてみたい。議論を単純にするため、光ファイバを通る光の速度が、真空中よりも若干遅くなることは無視し、レーザー・パルスの世界線がゼロ曲線である (ただし、勿論ゼロ測地線ではない!) と見なすことにする。


In the Born line element, let us put <math>ds = dz = dr = 0</math>. This gives
:<math> (1 - \omega^2 \, r_0^2) \, dt^2 = 2 \omega \, r_0^2 \, dt \, d\phi + r_0^2 \, d\phi^2 </math>
or
:<math> dt = \frac{r_0 \, d\phi}{1 \pm \omega \, r_0} </math>
We obtain for the round trip travel time
:<math> \Delta t_+ = \frac{2 \pi r_0}{1 + \omega \, r_0}, \; \; \Delta t_- = \frac{2 \pi r_0}{1 - \omega \, r_0} </math>
Putting <math>\delta = \frac{\Delta t_+  - \Delta t_-}{2 \, \pi \, r}</math>, we find <math> \omega = \frac{-1 + \sqrt{1+\delta^2}}{\delta \, r}</math> so that the ring-riding observers can determine the angular velocity of the ring (as measured by a static observer) from the difference between clockwise and counterclockwise travel times. This is known as the Sagnac effect. It is evidently a ''global effect''.
ボルン線素で、<math>ds = dz = dr = 0</math> とすると、
:<math> (1 - \omega^2 \, r_0^2) \, dt^2 = 2 \omega \, r_0^2 \, dt \, d\phi + r_0^2 \, d\phi^2 </math>
つまり
:<math> dt = \frac{r_0 \, d\phi}{1 \pm \omega \, r_0} </math>
だから、周回時間は
:<math> \Delta t_+ = \frac{2 \pi r_0}{1 + \omega \, r_0}, \; \; \Delta t_- = \frac{2 \pi r_0}{1 - \omega \, r_0} </math>
となる。ここで <math>\delta = \frac{\Delta t_+  - \Delta t_-}{2 \, \pi \, r}</math> と置くと <math> \omega = \frac{-1 + \sqrt{1+\delta^2}}{\delta \, r}</math> となって、円環に乗っている観測者は、時計廻りと反時計廻りとの周回時間の差から、(静止観測者が測定した値としての) 円環の角速度を決定することができる。これはサニャック効果 (Sagnac effect) として知られている。これは明らかに大域的効果である。

[[訳註:
残念ながら、このサニャック効果に就いての説明には不満が有る。この式の導き方には、サニャック効果がホロノミーと云う問題意識が見られないからだ。(実は、前節「ボルン座標表示への変換」においても、ホロノミーを考慮しない的外れな記述が行なわれているように見える。)

結局、この節で行なわれているのは、無限小光路を使った Einstein synchronization の算出とその積分である。そのこと自体は、間違っているわけではないのだが、これでは、サニャック効果が、光以外の伝搬でも成立することが見えてこない。ホロノミーは時空多様体そのものの構造に内在する性質であるから、閉路を通って「元の場所」に辿り着くことを行なえば、光であろうとなかろうと (例えば、物質でも) 発生するのだ。所謂「光」、特にレーザー光の場合は、干渉を用いた簡便で精度の良い効果の検出法が利用可能であると云うだけの話だ。

ただし、実際上、電子・中性子・原子等の物質のサニャック効果も、物質波の干渉として検出される。特に原子を使った冷却原子サニャック干渉計--Cold Atom Sagnac Interferometer (CASI)--は、レーザー光を使用する場合よりも、回転検出性能が劇的に向上することが期待されいる。
]]


Null Geodesics 翻訳省略

Radar distance in the large 翻訳省略

Radar distance in the small 翻訳省略

Summary 翻訳省略


See also
以下も参照

  • Ehrenfest paradox, for a sometimes controversial topic often studied using the Born chart. 「エーレンフェストのパラドクス」: 論争の主題となることがある。ボルン座標を使って検討されることが多い。
  • Fibre optic gyroscope 光ファイバ・ジャイロスコープ
  • Rindler coordinates, for another useful coordinate chart adapted to another important family of accelerated observers in Minkowski spacetime; this article also emphasizes the existence of distinct notions of distance which may be employed by such observers. 「リンドラー座標」。やはり重要である、ミンコフスキー時空における加速運動観測者群に適用されて有用な座標系表示である。この記事も、こうした観測者達にとり利用可能な複数の異なる距離概念の存在を強調している。
  • Sagnac effect サニャック効果


References
参考文献

A few papers of historical interest:
歴史的論文:



  • Born, M. (1909). "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitäts-Prinzipes". Ann. Phys. Lpz. 30: 1.

  • Ehrenfest, P. (1909). "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie". Phys. Zeitschrift 10: 918.

  • Planck, M. (1910). "Gleichförmige Rotation und Lorentz-Kontraktion". Phys. Zeitschrift 11: 294.

  • Einstein, A. (1911). "Zum Ehrenfesten Paradoxon". Phys. Zeitschrift 12: 509.

  • Sagnac, M. G. (1913). "L'éther lumineux démontré par l'effet du vent relatif d'éther dans un interféromètre en rotation uniforme". C. R. Acad. Sci. Paris 157: 708.

  • Langevin, P. (1935). "Remarques au sujet de la Note de Prunier". C. R. Acad. Sci. Paris 200: 48.


A few classic references:
古典的参考文献:

  • Grøn, Ø. (1975). "Relativistic description of a rotating disk". Amer. J. Phys. 43: 869–876. doi:10.1119/1.9969.
  • Landau, L. D. & Lifschitz, E. M. (1980). The Classical Theory of Fields (4th ed.). London: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9. See Section 84 for the Landau-Lifschitz metric on the quotient of a Lorentzian manifold by a stationary congruence; see the problem at the end of Section 89 for the application to Langevin observers. 「場の古典論 (第4版)」。第84節に見られる静的線叢によるローレンツ多様体の商上でのランダウ・リフシッツ計量を参照されたい。ランジェヴァン観測者への応用に就いて、第89節末の問題を参照されたい。

[[訳註:「場の古典論(第4版)」は勿論、英訳版としての版数。原ロシア語版では第6版に対応する筈。]]
[[訳註:"the quotient of a Lorentzian manifold by a stationary congruence" とは、ローレンツ多様体を、「静的線叢」に属する世界線の中の一本に共通して乗っていると云う同値関係で「割った」商空間。逆に言えば、ローレンツ多様体は、世界線をファイバーとし、商空間を底空間とするファイバーバンドルになっている。]]


Selected recent sources:
最近の参考文献から:

  • Rizzi, G. ; & Ruggiero, M. L. (2004). Relativity in Rotating Frames. Dordrecht: Kluwer. ISBN 1-4020-1805-3. This book contains a valuable historical survey by Øyvind Grøn and some other papers on the Ehrenfest paradox and related controversies and a paper by Lluis Bel discussing the Langevin congruence. Hundreds of additional references may be found in this book. この著作は、エーレンフェスト・パラドクス及びそれに関連する議論に就いての Øyvind Grøn による有意義な歴史的な調査と、その他の幾つかの論文、及び、ルイス・ベル (Lluis Bel) によるランジェヴァン線叢を論じた議論を収める。何百もの参考文献が示されている。
  • Pauri, Massimo; & Vallisneri, Michele (2000). "Märzke-Wheeler coordinates for accelerated observers in special relativity". Found. Phys. Lett. 13: 401–425. doi:10.1023/A:1007861914639. Studies a coordinate chart constructed using radar distance "in the large" from a single Langevin observer. See also the eprint version 単一のランジェヴァン型観測者からの「大規模」レーダー距離を用いて構成された座標表示の研究。eprint 版も参照されたい。


External links
外部リンク

|
|

« 英文版ウィキペディア "Rindler coordinates" 翻訳草稿 | トップページ | 「先生」・「先生」・「先生」の聲 »

物理学」カテゴリの記事

翻訳」カテゴリの記事

英語/English」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/40172/42038858

この記事へのトラックバック一覧です: 英文版ウィキペディア "Born coordinates" 導入部、第1節-第3節翻訳草稿:

» MyNetFaves : Public Faves Tagged Bluecurve [MyNetFaves : Web 2.0 Social Bookmarking]
Marked your site as bluecurve at MyNetFaves! [続きを読む]

受信: 2008年10月 9日 (木) 20:50

« 英文版ウィキペディア "Rindler coordinates" 翻訳草稿 | トップページ | 「先生」・「先生」・「先生」の聲 »