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2008年6月の3件の記事

英文版ウィキペディア "Rindler coordinates" 翻訳草稿

以下は、英文版ウィキペディア "Rindler coordinates" (last modified on 23 June 2008, at 02:34) の翻訳草稿である。訳語・内容とも子細な検討はされていない。ただし、訳出にあたって、原文に若干の校正をほどこした。対応して、英文版ウィキペディアのテキストにも同じ変更を加えたので、"Rindler coordinates - Current revision (08:46, 25 June 2008)" を参照していただければ、校正の内容を確認できる。

この訳文では、通常「時間的」・「空間的」と訳されている "timelike", "spacelike" を「時間性」・「空間性」と訳してある。これは訳者 ([ゑ]) の無知のためではなく --たしかに無知な人間だが-- 意図的なものである (これに対して "spatial hyperslice" などは「空間的超切片」と訳し分けてある)。

また英語版でのカテゴリ等、編集上のタグは原則として採用していない。なお、訳文部分の著作権は、原文と同様 [GNU Free Documentation License] に従う。



Rindler coordinates


In relativistic physics, the Rindler coordinate chart is an important and useful coordinate chart representing part of flat spacetime, also called the Minkowski vacuum. The Rindler chart was introduced by Wolfgang Rindler. The Rindler coordinate system or frame describes a uniformly accelerating frame of reference in Minkowski space. In special relativity, a uniformly accelerating particle undergoes hyperbolic motion. For each such particle a Rindler frame can be chosen in which it is at rest.
相対論物理においては、リンドラー座標表示 (Rindler coordinate chart) は、ミンコフスキー空間 (Minkowski vacuum) とも呼ばれる平坦な時空の一部分を表現するのに有用かつ重要な座標表示 (coordinate chart) である。リンドラー座標表示は、ウォルフガング・リンドラー (Wolfgang Rindler) により導入された。リンドラー座標系は、ミンコフスキー空間内で一様に加速しつつある基準系を記述する。特殊相対論にあっては、一様に加速しつつある粒子は、双曲線運動 (hyperbolic motion) を行なう。こうした粒子の一つ一つに就いて、その粒子が静止しているようなリンドラー座標系を選定することができる。

Relation to Cartesian chart
デカルト座標表示との関係

To obtain the Rindler chart, start with the Cartesian chart
:<math> ds^2 = -dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2, \; \; -\infty < T, X, Y, Z < \infty</math>
In the region <math>0 < X < \infty, \; -X < T < X</math>, which is often called the Rindler wedge, define the new chart using the coordinate transformation
:<math> t = \operatorname{arctanh}(T/X), \; x= \sqrt{X^2-T^2}, \; y = Y, \; z = Z</math>
The inverse transformation is
:<math> T = x \, \sinh(t), \; X = x \,  \cosh(t), \; Y = y, \; Z = z</math>
In the Rindler chart, the Minkowski line element becomes
:<math> ds^2 = -x^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, \; 0 < x < \infty, -\infty < t, y, z < \infty</math>
リンドラー座標表示を構成するには、まずデカルト座標表示
:<math> ds^2 = -dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2, \; \; -\infty < T, X, Y, Z < \infty</math>
から始めて、通常「リンドラー・ウェッジ (Rindler wedge)」と呼ばれる領域 <math>0 < X < \infty, \; -X < T < X</math> において、座標変換
:<math> t = \operatorname{arctanh}(T/X), \; x= \sqrt{X^2-T^2}, \; y = Y, \; z = Z</math>
を用いて、新たに別の座標系を定義すればよい。その逆変換は
:<math> T = x \, \sinh(t), \; X = x \,  \cosh(t), \; Y = y, \; Z = z</math>
になる。リンドラー座標表示にあっては、ミンコフスキー線素は次のようになる:
:<math> ds^2 = -x^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, \; 0 < x < \infty, -\infty < t, y, z < \infty</math>

[[訳註:見ての通り、この稿では、光速度と加速度が共に正規化されて 1 と置かれている。また、後述されていることだが、この定式化では「リンドラー地平 (The Rindler horizon)」は <math>x = 0</math> にある。]]


The Rindler observers
リンドラー型観測者

In the new chart, it is natural to take the coframe field
:<math> d\sigma^0 = -x \, dt, \; \; d\sigma^1 = dx, \; \; d\sigma^2 = dy, \; \; d\sigma^3 = dz</math>
which has the dual frame field
:<math> \vec{e}_0 = \frac{1}{x} \, \partial_t, \; \; \vec{e}_1 = \partial_x, \; \; \vec{e}_2 = \partial_y, \; \; \vec{e}_3 = \partial_z </math>
This defines a local Lorentz frame in the tangent space at each event (in the region covered by our Rindler chart, namely the Rindler wedge). The integral curves of the timelike unit vector field <math>\vec{e}_0</math> give a timelike congruence, consisting of the world lines of a family of observers called the Rindler observers. In the Rindler chart, these world lines appear as the vertical coordinate lines <math>x = x_0, \; y = y_0, z = z_0</math>. Using the coordinate transformation above, we find that these correspond to hyperbolic arcs in the original Cartesian chart.
リンドラー座標表示では、余接基準ベクトル場系 (coframe field) として
:<math> d\sigma^0 = -x \, dt, \; \; d\sigma^1 = dx, \; \; d\sigma^2 = dy, \; \; d\sigma^3 = dz</math>
を採用するのが自然である。そして、その双対的な基準ベクトル場系は
:<math> \vec{e}_0 = \frac{1}{x} \, \partial_t, \; \; \vec{e}_1 = \partial_x, \; \; \vec{e}_2 = \partial_y, \; \; \vec{e}_3 = \partial_z </math>
となる。これによって、(リンドラー座標表示がカバーする領域、つまりリンドラー・ウェッジにおける) 各事象での接ベクトル空間の「局所ローレンツ基準ベクトル場系 (local Lorentz frame)」が定式化される。時間性 (time-like) 単位ベクトル場 <math>\vec{e}_0</math> の積分曲線は、「リンドラー型観測者 (Rindler observers)」と呼ばれる一群の観測者の世界線から構成される「時間性線叢」 (timelike congruence) を形成する。リンドラー座標表示では、こうした世界線は、垂直座標軸方向に延びる線 <math>x = x_0, \; y = y_0, z = z_0</math> として現れる。上記の座標変換を用いると、こうした座標軸は、元々のデカルト座標表示での双曲線に対応していることが分かる。

Some representative Rindler observers (navy blue hyperbolic arcs) depicted using the Cartesian chart.<br />デカルト座標表示を使って描かれた代表的なリンドラー型観測者達 (ネービーブルーの双曲線)
Some representative Rindler observers (navy blue hyperbolic arcs) depicted using the Cartesian chart.
デカルト座標表示を使って描かれた代表的なリンドラー型観測者達 (ネービーブルーの双曲線)

[[訳註:「ネービーブルー」は明瞭には見えないようだが、拡大すると確かに双曲線部分はそうなっている。]]


As with any timelike congruence in any Lorentzian manifold, this congruence has a kinematic decomposition (see Raychaudhuri equation). In this case, the expansion and vorticity of the congruence of Rindler observers vanish. The vanishing of the expansion tensor implies that each of our observers maintains constant distance to his neighbors. The vanishing of the vorticity tensor implies that the world lines of our observers are not twisting about each other; this is a kind of local absence of "swirling".
任意のローレンツ多様体での任意の時間性線叢と同様に、この線叢でも「運動学的分解」(kinematic decomposition) が可能である ("Raychaudhuri equation" を参照) が、この場合では、リンドラー型観測者の線叢の「膨張」と「渦度」は消失する。膨張テンソルの消失 (膨張テンソルが 0 になること) は、「個々のリンドラー型観測者と隣のリンドラー型観測者との距離は一定である」と云うことを意味する。また、渦度テンソルの消失 (渦度テンソルが 0 になること) は、「リンドラー型観測者の世界線は互いに捻じれることはない。これは一種の『旋回』の局所的消失である」ことを意味する。


The acceleration vector of each observer is given by the covariant derivative
<math> \nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = \frac{1}{x} \, \vec{e}_1 </math>
That is, each Rindler observer is accelerating in the <math>\partial_x</math> direction. Individually speaking, each observer is in fact accelerating with constant magnitude in this direction, so their world lines are the Lorentzian analogs of circles, which are the curves of constant path curvature in Euclidean geometry.
各観測者の加速度ベクトルは、共変導ベクトル (covariant derivative)
<math> \nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = \frac{1}{x} \, \vec{e}_1 </math>
によって与えられる。つまり、各リンドラー型観測者は、<math>\partial_x</math> 方向に加速する。個々の観測者に着目すると、各観測者は、実際にこの方向に一定強度で加速するので、その世界線は、ユークリッド幾何学での定曲率曲線である円のローレンツ的な対応物になっている。


[[2008-07-01補足訳註:簡単に計算できるように、ゼロでない接続係数は \Gamma^0 {}_{01} = \Gamma^0 {}_{10} = \frac{1}{x}\Gamma^1 {}_{00} = x の3つだけである。\nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = \frac{1}{x} \, \vec{e}_1 は、このことから直に出てくる。]]


Because the Rindler observers are vorticity-free, they are also hypersurface orthogonal. The orthogonal spatial hyperslices are <math>t=t_0</math>; these appear as horizontal half-planes in the Rindler chart and as half-planes through <math>T = X = 0</math> in the Cartesian chart (see the figure above). Setting <math>dt=0</math> in the line element, we see that these have ordinary Euclidean geometry, <math> d\sigma^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2, \; 0 < x < \infty, \; -\infty < y, z < \infty</math>. Thus, the spatial coordinates in the Rindler chart have a very simple interpretation consistent with the claim that the Rindler observers are mutually stationary. We will return to this rigidity property of the Rindler observers a bit later in this article.
リンドラー型観測者には、渦度がないから、リンドラー型観測者は超表面に直交する。一連の空間的直交超切片は <math>t=t_0</math> で表わされるが、それらはリンドラー座標表示では水平な半平面になり、デカルト座標表示では <math>T = X = 0</math> を通る半平面になる (上図参照)。線素において、<math>dt=0</math> とするなら、<math> d\sigma^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2, \; 0 < x < \infty, \; -\infty < y, z < \infty</math> となり、通常のユークリッド幾何学が得られるから、リンドラー座標系の空間座標は、リンドラー型観測者が互いに静止している条件に合致する形で、非常に単純な解釈が可能となる。リンドラー型観測者間の剛体性に就いては後述する。


A "paradoxical" property
「逆説」的性格


Note that Rindler observers with smaller constant x coordinate are accelerating harder to keep up! This may seem surprising because in Newtonian physics, observers who maintain constant relative distance must share the same acceleration. But in relativistic physics, we see that the trailing endpoint of a rod which is accelerated by some external force (parallel to its symmetry axis) must accelerate a bit harder than the leading endpoint, or else it must ultimately break.
x 座標が定数であるリンドラー型観測者では、その x 座標が小さい方の観測者は加速度を大きくしないと、x 座標が大きい方の観測者に付いていけない! ニュートン物理においては、相対的距離が一定の観測者は、加速度が同一でなければならないことを考えると、これは驚くべきことに見えるかもしれない。しかし、相対論物理では、棒が (棒の対称軸と平行な) 外力を受けて加速される場合、棒の後端は先端より若干量強く加速しなければならない。そうでないと、棒は遂にはちぎれざるをえなくなる。


This phenomenon is the basis of a well known "paradox". However, it is a simple consequence of relativistic kinematics. One way to see this is to observe that the magnitude of the acceleration vector is just the path curvature of the corresponding world line. But the world lines of our Rindler observers are the analogs of a family of concentric circles in the Euclidean plane, so we are simply dealing with the Lorentzian analog of a fact familiar to speed skaters: in a family of concentric circles, inner circles must bend faster (per unit arc length) than the outer ones.
この現象は、良く知られた「逆説」の基礎になっている。しかし、これは相対論的運動学の単純な帰結である。これを理解するには、加速度ベクトルの大きさとは、対応する世界線の曲率半径そのものだと云うことに気付けば良い。ここで、リンドラー型観測者達の世界線は、ユークリッド幾何学での平面における同心円の集まりに対応している訣だから、同心円において内側の円では外側の円よりも (単位長さ当たり) 速く曲がらねばならないと云う、スピードスケーター達にはお馴染みの事実のローレンツ的な対応現象が起こっているに過ぎないのだ。


Minkowski observers
ミンコフスキー型観測者

A representative Minkowski observer (navy blue hyperbolic secant curve) depicted using the Rindler chart.  The Rindler horizon is shown in red.<br />リンドラー座標表示に描かれた代表的ミンコフスキー型観測者 (ネービーブルーの双曲線正割曲線)。リンドラー地平は赤で示されている。
A representative Minkowski observer (navy blue hyperbolic secant curve) depicted using the Rindler chart. The Rindler horizon is shown in red.
リンドラー座標表示に描かれた代表的ミンコフスキー型観測者 (ネービーブルーの双曲線正割曲線)。リンドラー地平は赤で示されている。

It is worthwhile to also introduce an alternative frame, given in the Minkowski chart by the natural choice
:<math>\vec{f}_0 = \partial_T, \; \vec{f}_1 = \partial_X, \; \vec{f}_2 = \partial_Y, \; \vec{f}_3 = \partial_Z </math>
Transforming these vector fields using the coordinate transformation given above, we find that in the Rindler chart (in the Rinder wedge) this frame becomes
:<math>\vec{f}_0 =  \frac{\cosh(t)}{x} \, \partial_t - \sinh(t) \, \partial_x</math>
:<math>\vec{f}_1 = -\frac{\sinh(t)}{x} \, \partial_t + \cosh(t) \, \partial_x</math>
:<math>\vec{f}_2 = \partial_y, \; \vec{f}_3 = \partial_z </math>
Computing the kinematic decomposition of the timelike congruence defined by the timelike unit vector field <math>\vec{f}_0</math>, we find that the expansion and vorticity again vanishes, and in addition the acceleration vector vanishes, <math>\nabla_{\vec{f}_0} \vec{f}_0 = 0</math>. In other words, this is a geodesic congruence; the corresponding observers are in a state of inertial motion. In the original Cartesian chart, these observers, whom we will call Minkowski observers, are at rest.
ミンコフスキー座標表示中において自然な設定
:<math>\vec{f}_0 = \partial_T, \; \vec{f}_1 = \partial_X, \; \vec{f}_2 = \partial_Y, \; \vec{f}_3 = \partial_Z </math>
により別の基準系を導入するのも無駄なことではない。こうしたベクトル場に、上記の座標変換を適用すると、リンドラー座標表示においては (リンドラー・ウェッジ内では) この基準系が
:<math>\vec{f}_0 =  \frac{\cosh(t)}{x} \, \partial_t - \sinh(t) \, \partial_x</math>
:<math>\vec{f}_1 = -\frac{\sinh(t)}{x} \, \partial_t + \cosh(t) \, \partial_x</math>
:<math>\vec{f}_2 = \partial_y, \; \vec{f}_3 = \partial_z </math>
となることが分かる。時間性単位ベクトル場 <math>\vec{f}_0</math> が定める時間性線叢の運動学的分解を計算すると、膨張及び渦度がやはり消失しているばかりでなく、加速度ベクトルも消失していることが分かる (<math>\nabla_{\vec{f}_0} \vec{f}_0 = 0</math>)。換言すれば、それは「測地的線叢」になっており、対応する観測者は慣性運動状態にあることになる。元々のデカルト座標表示では、以下「ミンコフスキー型観測者」と呼ぶことにするこうした観測者は静止している。

[[2008-07-01補足訳註: \nabla_{\vec{f}_0} \vec{f}_0 = 0 の計算は以下の通り:
\begin{eqnarray}<br />
\nabla_{\vec{f}_0} \vec{f}_0 &=& \frac{\cosh (t)}{x} \, \nabla_{\partial_t} \, \vec{f}_0 - \sinh (t) \, \nabla_{\partial_x} \, \vec{f}_0 \nonumber \\<br />
{} &=& \frac{\cosh (t)}{x} \, \nabla_{\partial_t} \, \bigl( \frac{\cosh (t)}{x} \, \partial_t - \sinh (t) \, \partial_x \bigr) \nonumber \\<br />
{} & & \hspace{20pt} {}- \sinh (t) \, \nabla_{\partial_x} \, \bigl( \frac{\cosh (t)}{x} \, \partial_t - \sinh (t) \, \partial_x \bigr) \nonumber \\<br />
{} &=& \frac{\cosh (t)}{x} \, \bigl( \frac{\sinh (t)}{x} \, \partial_t + \frac{\cosh (t)}{x} \, \nabla_{\partial_t} \, \partial_t \nonumber \\<br />
{} & & \hspace{20pt} {} - \cosh (t) \, \partial_x - \sinh(t) \, \nabla_{\partial_t} \, \partial_x \bigr) \nonumber \\<br />
{} & & \hspace{20pt} {} - \sinh (t) \, \bigl( - \frac{\cosh (t)}{x^2} \, \partial_t \nonumber \\<br />
{} & & \hspace{40pt} {} + \frac{\cosh (t)}{x} \, \nabla_{\partial_x} \, \partial_t - \sinh (t) \nabla_{\partial_x} \, \partial_x \bigr) \nonumber \\<br />
{} &=& \frac{\cosh (t)}{x} \, \bigl( \frac{\sinh (t)}{x} \, \partial_t + \frac{\cosh (t)}{x} \, \Gamma^1 {}_{00} \, \partial_x \nonumber \\<br />
{} & & \hspace{20pt} {} - \cosh (t) \, \partial_x - \sinh(t) \, \Gamma^0 {}_{01} \, \partial_t \bigr) \nonumber \\<br />
{} & & \hspace{20pt} {} - \sinh (t) \, \bigl( - \frac{\cosh (t)}{x^2} \, \partial_t + \frac{\cosh (t)}{x} \, \Gamma^0 {}_{10} \, \partial_t \bigr) \nonumber \\<br />
{} &=& \frac{\cosh (t)}{x} \, \bigl( \frac{\sinh (t)}{x} \, \partial_t + \frac{\cosh (t)}{x} \cdot x \, \partial_x \nonumber \\<br />
{} & & \hspace{20pt} {} - \cosh (t) \, \partial_x - \sinh(t) \cdot \frac{1}{x} \, \partial_t \bigr) \nonumber \\<br />
{} & & \hspace{20pt} {} - \sinh (t) \, \bigl( - \frac{\cosh (t)}{x^2} \, \partial_t + \frac{\cosh (t)}{x} \cdot \frac{1}{x} \, \partial_t \bigr) \nonumber \\<br />
{} &=& 0 \nonumber<br />
\end{eqnarray}<br />
]]


In the Rindler chart, the world lines of the Minkowski observers appear as hyperbolic secant curves asymptotic to the coordinate plane <math>x=0</math>. Specifically, in Rindler coordinates, the world line of the Minkowski observer passing through the event <math>t=t_0, \; x=x_0, \; y=y_0, \; z=z_0</math> is
:<math>t = \operatorname{arctanh}(s/x_0), \; x = \sqrt{x_0^2-s^2}, \; y = y_0, \; z = z_0, \; -x_0 < s < x_0</math>
where <math>s</math> is the proper time of this Minkowski observer. Note that only a small portion of his history is covered by the Rindler chart! This shows explicitly why the Rindler chart is not geodesically complete; timelike geodesics run outside the region covered by the chart in finite proper time. Of course, we already knew that the Rindler chart cannot be geodesically complete, because it covers only a portion of the original Cartesian chart, which is a geodesically complete chart.
リンドラー座標表示では、ミンコフスキー型観測者の世界線は、座標面 <math>x=0</math> に漸近する双曲線正割曲線となる。具体的には、リンドラー座標系では、事象 <math>t=t_0, \; x=x_0, \; y=y_0, \; z=z_0</math> を通るミンコフスキー型観測者の世界線は、 <math>s</math> をミンコフスキー型観測者の固有時として
:<math>t = \operatorname{arctanh}(s/x_0), \; x = \sqrt{x_0^2-s^2}, \; y = y_0, \; z = z_0, \; -x_0 < s < x_0</math>
となる。リンドラー座標表示では、ミンコフスキー型観測者の活動期間のごく一部しかカバーされていないことに注意されたい! このことは、リンドラー座標表示が測地線に関して完全ではないことをあからさまに示している。つまり、座標表示上、有限な固有時内でカバーされる領域の外に時間性測地線が延びているのである。勿論、リンドラー座標表示が測地線に関して完全でありえないのは、リンドラー座標表示が、測地線に関して完全な元々のデカルト座標表示の一部分のみをカバーしているのだから、当然なのであった。



In the case depicted in the figure, <math>x_0 = 1</math> and we have drawn (correctly scaled and boosted) the light cones at <math>s=-\frac{1}{2}, \; 0, \; \frac{1}{2}</math>.
図に示した例では、<math>x_0 = 1</math> とし、<math>s=-\frac{1}{2}, \; 0, \; \frac{1}{2}</math> における光錐を (縮尺は保ったまま強調して) 描いてある。


The Rindler horizon
リンドラー地平


The Rindler coordinate chart has a coordinate singularity at <math>x = 0</math>, where the metric tensor (expressed in the Rindler coordinates) has vanishing determinant. This happens because as <math>x \rightarrow 0</math> the acceleration of the Rindler observers diverges. As we can see from the figure illustrating the Rindler wedge, the locus <math>x = 0</math> in the Rindler chart corresponds to the locus <math>T^2=X^2, \; X > 0</math> in the Cartesian chart, which consists of two null half-planes, each ruled by a null geodesic congruence.
リンドラー座標表示では、<math>x = 0</math> に、(リンドラー座標で表現された) 計量テンソルの行列式がゼロになる「座標特異点」が現れる。これは、<math>x \rightarrow 0</math> となるにつれて、リンドラー型観測者の加速度が発散するためである。リンドラー・ウェッジの図から見て取れるように、リンドラー座標表示での軌跡 <math>x = 0</math> は、デカルト座標表示にあっては、それぞれゼロ測地線叢で編まれた2枚のゼロ半平面 (null half-plane) からなる軌跡 <math>T^2=X^2, \; X > 0</math> に対応する。


For the moment, we simply consider the Rindler horizon as the boundary of the Rindler coordinates. Later we will see that it is in fact analogous in some important respects, to the event horizon of a black hole.
ここしばらくは、リンドラー地平とは、単にこうしたリンドラー座標の限界のことであるとして考えておくことにする。後で、実はリンドラー地平が、幾つかの重要な点でブラックホール事象地平と対応することを見ることになるであろう。


Geodesics
測地線


The geodesic equations in the Rindler chart are easily obtained from the geodesic Lagrangian; they are
:<math> \ddot{t} + \frac{2}{x} \, \dot{x} \, \dot{t} = 0, \; \ddot{x} + x \, \dot{t}^2 = 0, \; \ddot{y} = 0, \; \ddot{z} = 0</math>
Of course, in the original Cartesian chart, the geodesics appear as straight lines, so we could easily obtain them in the Rindler chart using our coordinate transformation. However, it is instructive to obtain and study them independently of the original chart, and we shall do so in this section.
リンドラー座標表示での測地線方程式は、測地線ラグランジアン (geodesic Lagrangian) から簡単に得られて、次のようになる:
:<math> \ddot{t} + \frac{2}{x} \, \dot{x} \, \dot{t} = 0, \; \ddot{x} + x \, \dot{t}^2 = 0, \; \ddot{y} = 0, \; \ddot{z} = 0</math>
勿論、元々のデカルト座標表示では、測地線は直線になるから、上記の座標変換を用いれば簡単に、リンドラー座標表示での測地線方程式は得られる訣ではあるのだけれども、もともとの座標表示とは独立して、測地線方程式を構成・検討することは示唆に富むものであるので、ここでは、実際にそれを行なってみることにする。

Some representative null geodesics (black hyperbolic semicircular arcs) projected into the spatial hyperslice t=0 of the Rindler observers.  The Rindler horizon is shown as a magenta plane.<br />リンドラー型観測者の空間的な超切片 t=0 に投影された、幾つかの代表的ゼロ測地線 (黒の双曲弧状線)。リンドラー地平は、深紅色の平面として表わされている。
Some representative null geodesics (black hyperbolic semicircular arcs) projected into the spatial hyperslice t=0 of the Rindler observers. The Rindler horizon is shown as a magenta plane.
リンドラー型観測者の空間的な超切片 t=0 に投影された、幾つかの代表的ゼロ測地線 (黒の双曲型半円弧)。リンドラー地平は、深紅色の平面として表わされている。


[[訳註:<math>L =\frac{1}{2}(-x^2\dot{t}^2 + \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2)</math> と置くと、測地線の滞留性からラグランジ方程式 <math>\frac{d}{ds} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{t}} \right) - \frac{\partial L}{\partial t} = 0</math>, \frac{d}{ds} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0, \frac{d}{ds} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} \right) - \frac{\partial L}{\partial y} = 0, \frac{d}{ds} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} \right) - \frac{\partial L}{\partial z} = 0 が得られる。上記の測地線方程式は、その直接の結果である。]]


From the first, third, and fourth we immediately obtain the first integrals
:<math> \dot{t} = \frac{E}{x^2}, \; \; \dot{y} = P, \; \; \dot{z} = Q </math>
But from the line element we have <math>\epsilon = -x^2 \, \dot{t}^2 + \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2</math> where <math>\epsilon=-1, \, 0, \, 1</math> for timelike, null, and spacelike geodesics, respectively. This gives the fourth first integral, namely
:<math> \dot{x}^2 = \left( -\epsilon + \frac{E^2}{x^2} \right) - P^2 - Q^2</math>.
This suffices to give the complete solution of the geodesic equations.
1番目、3番目、4番目の式から、直ちに第1積分
:<math> \dot{t} = \frac{E}{x^2}, \; \; \dot{y} = P, \; \; \dot{z} = Q </math>
が得られる。そして更に、線素より <math>\epsilon = -x^2 \, \dot{t}^2 + \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2</math> (ただし、時間性測地線、ゼロ測地線、空間性測地線夫々に対して <math>\epsilon=-1, \, 0, \, 1</math> とする) であるから、4番目の第1積分
:<math> \dot{x}^2 = \left( -\epsilon + \frac{E^2}{x^2} \right) - P^2 - Q^2</math>
も得ることができる。これにより、測地線方程式の完全な解が得られる。

In the case of null geodesics, from <math>\frac{E^2}{x^2} - P^2-Q^2</math> with nonzero <math>E</math>, we see that the x coordinate ranges over the interval <math>0 < x < \frac{E}{\sqrt{P^2+Q^2}}</math>.
ゼロ測地線の場合は、<math>E</math> をゼロでない値として <math>\frac{E^2}{x^2} - P^2-Q^2</math> より、x 座標の変動範囲が、区間 <math>0 < x < \frac{E}{\sqrt{P^2+Q^2}}</math> であることが分かる。



The complete seven parameter family giving any null geodesic through any event in the Rindler wedge, is
:<math>\begin{matrix}<br />
 t - t_0 & = &<br />
 \operatorname{arctanh} \left(<br />
 \frac{s \, (P^2+Q^2) - \sqrt{E^2- (P^2+Q^2) \, x_0^2}}{E}<br />
 \right) \\<br />
 & & + ~ \operatorname{arctanh} \left(<br />
 \frac{\sqrt{E^2 - (P^2+Q^2) \, x_0^2}}{E}<br />
 \right)<br />
\end{matrix}</math>
:<math> x = \sqrt{ x_0^2 + 2 \, s \, \sqrt{E^2-(P^2+Q^2) \, x_0^2} - s^2 \, (P^2+Q^2) } </math>
<math> y - y_0 = P \, s; \; \; z - z_0 = Q \, s</math>:
Plotting the tracks of some representative null geodesics through a given event (that is, projecting to the hyperslice <math>t=0</math>), we obtain a picture which looks suspiciously like the family of all semicircles through a point and orthogonal to the Rindler horizon! (See the figure.)
リンドラー・ウェッジ内の任意の事象に就いて、それを通る任意のゼロ測地線を既定する完全なパラメータ族 (パラメータは7つ) は
:<math>\begin{matrix}<br />
 t - t_0 & = &<br />
 \operatorname{arctanh} \left(<br />
 \frac{s \, (P^2+Q^2) - \sqrt{E^2- (P^2+Q^2) \, x_0^2}}{E}<br />
 \right) \\<br />
 & & + ~ \operatorname{arctanh} \left(<br />
 \frac{\sqrt{E^2 - (P^2+Q^2) \, x_0^2}}{E}<br />
 \right)<br />
\end{matrix}</math>
:<math> x = \sqrt{ x_0^2 + 2 \, s \, \sqrt{E^2-(P^2+Q^2) \, x_0^2} - s^2 \, (P^2+Q^2) } </math>
<math> y - y_0 = P \, s; \; \; z - z_0 = Q \, s</math>:
である。所与の事象を通る幾つかの代表的ゼロ測地線を描いてみると (つまり、超切片 <math>t=0</math> に投影してみると) 或る点を通り、リンドラー地平に対して直交する全ての半円弧の集合のように見えるものが得られる! (図参照)

[[訳註:第4の第1積分において x^2 を新たな変数で (例えば <math>\xi = x^2</math> として) 置き換えれば、変数の分離ができて、初等的な積分が可能になるので、それからゼロ測地線の x に対するパラメータ式を求めるのは容易である。更に、こうして得られた x に対するパラメータ式を第一の第1積分に代入して積分すれば t に関するパラメータ式を求めることができる。]]


The Fermat metric
フェルマー計量

The fact that in the Rindler chart, the projections of null geodesics into any spatial hyperslice for the Rindler observers are simply semicircular arcs can be verified directly from the general solution just given, but there is a very simple way to see this. A static spacetime is one in which a vorticity-free timelike Killing vector field can be found. In this case, we have a uniquely defined family of (identical) spatial hyperslices orthogonal to the corresponding static observers (who need not be inertial observers). This allows us to define a new metric on any of these hyperslices which is conformally related to the original metric inherited from the spacetime, but with the property that geodesics in the new metric (note this is a Riemannian metric on a Riemannian three-manifold) are precisely the projections of the null geodesics of spacetime. This new metric is called the Fermat metric, and in a static spacetime endowed with a coordinate chart in which the line element has the form
:<math> ds^2 = g_{00} \, dt^2 + g_{jk} \, dx^j \, dx^k, \; \; 1 \leq j, \; k \leq 3 </math>
the Fermat metric on <math>t = 0</math> is simply
:<math> d\rho^2 = \frac{g_{jk} \, dx^j \, dx^k}{-g_{00}}</math>
(where the metric coeffients are understood to be evaluated at <math>t = 0</math>).
リンドラー座標表示において、リンドラー型観測者に就いての空間的超切片へのゼロ測地線の投影が半円弧になってしまうと云うことは、上記の一般的な解から直接確認できるが、このことを見て取る非常に簡単な方法がある。静的な時空は、無渦度時間性キリング・ベクトル場が存在するような時空であるが、この場合、対応する静的な観測者 (慣性的観測者である必要はない) に直交すると云うことで一意に定まる (同等な) 空間的超切片の族が存在する。これにより、この時空に本来備わった計量に共形的に関連するこうした超切片のどれにおいても新たな計量が、その計量 (これが3次元リーマン多様体におけるリーマン計量であることに注意) での測地線が、実は時空のゼロ測地線の投影になっていると云う特徴を有するようにして、定義可能である。この新たな計量は「フェルマー計量」と呼ばれる。線素が
:<math> ds^2 = g_{00} \, dt^2 + g_{jk} \, dx^j \, dx^k, \; \; 1 \leq j, \; k \leq 3 </math>
の形の座標表示を有する静的時空にあっては、<math>t = 0</math> でのフェルマー計量は単に
:<math> d\rho^2 = \frac{g_{jk} \, dx^j \, dx^k}{-g_{00}}</math>
となる (ただし、計量係数は、<math>t = 0</math> での値とする)。



In the Rindler chart, the timelike translation <math>\partial_t</math> is such a Killing vector field, so this is a static spacetime (not surprisingly, since Minkowski spacetime is of course trivially a static vacuum solution of the Einstein field equation). Therefore, we may immediately write down the Fermat metric for the Rindler observers:
:<math> d\rho^2 = \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{x^2}, \; \; 0 < x < \infty, \; \; -\infty < y, z < \infty </math>
But this is the well-known line element of hyperbolic three-space H3 in the upper half space chart! This is closely analogous to the well known upper half plane chart for the hyperbolic plane H2, which is familiar to generations of complex analysis students in connection with conformal mapping problems (and much more), and many mathematically minded readers already know that the geodesics of H2 in the upper half plane model are simply semicircles (orthogonal to the circle at infinity represented by the real axis).
リンドラー座標表示の場合には、時間性移動 <math>\partial_t</math> は、こうしたキリング・ベクトル場であるため、それは静的な時空になる (これは、勿論、ミンコフスキー時空が、アインシュタインの場の方程式の自明な静的真空解であるためだから当然のことである)。従って、リンドラー型観測者に対するフェルマー計量は、直ちに書くことができて、
:<math> d\rho^2 = \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{x^2}, \; \; 0 < x < \infty, \; \; -\infty < y, z < \infty </math>
となる。しかし、これは上半空間座標表示による3次元双曲型空間 H3 の線素として周知である! それは、「等角写像問題」(及び、その他多くの問題) に関連して複素解析を学んだ者にとり従来馴染み深い双曲平面 H2 に対する周知の上半平面座標表示と強い類似性があり、数学の心得のある読者なら、大方は、上半平面モデルにおける H2 の測地線は、単純に (実軸によって表わされる無限遠円周に直交する) 半円弧になることをご存じの筈である。


Symmetries
対称性

Since the Rindler chart is a coordinate chart for Minkowksi spacetime, we expect to find ten linearly independent Killing vector fields. Indeed, in the Cartesian chart we can readily find ten linearly independent Killing vector fields, generating respectively one parameter subgroups of time translation, three spatials, three rotations and three boosts. Together these generate the (proper isochronous) Poincaré group, the symmetry group of Minkowski spacetime.
リンドラー座標表示は、ミンコフスキー時空のためのものであるから、10個の線型独立なキリング・ベクトル場があると考えられる。実際、デカルト座標表示では、簡単に10個の線型独立なキリング・ベクトル場が見つけられて、それぞれ、時間推移、3種類の空間、3種類の回転、3種類の拡大からなる1パラメータ部分群を生成する。これらは、全体で、ミンコフスキー時空の対称群である (固有等時) ポアンカレ群を生成する。


However, it is instructive to write down and solve the Killing vector equations directly. We obtain four familiar looking Killing vector fields
:<math> \partial_t, \; \; \partial_y, \; \; \partial_z, \; \; -z \, \partial_y + y \, \partial_z </math>
(time translation, spatial translations orthogonal to the direction of acceleration, and spatial rotation orthogonal to the direction of acceleration) plus six more:
:<math> \exp(\pm t) \, \left( \frac{y}{x} \, \partial_t \pm \left( y \, \partial_x - x \, \partial_y \right) \right) </math>
:<math> \exp(\pm t) \, \left( \frac{z}{x} \, \partial_t \pm \left( z \, \partial_x - x \, \partial_z \right) \right) </math>
:<math> \exp(\pm t) \, \left( \frac{1}{x} \, \partial_t \pm \partial_x \right) </math>
(where the signs are chosen consistently + or -). We leave it as an exercise to figure out how these are related to the standard generators; here we wish to point out that we must be able to obtain generators equivalent to <math>\partial_T</math> in the Cartesian chart, yet the Rindler wedge is obviously not invariant under this translation. How can this be? The answer is that like anything defined by a system of partial differential equations on a smooth manifold, the Killing equation will in general have locally defined solutions, but these might not exist globally. That is, with suitable restrictions on the group parameter, a Killing flow can always be defined in a suitable local neighborhood, but the flow might not be well-defined globally. This has nothing to do with Lorentzian manifolds per se, since the same issue arises in the study of general smooth manifolds.
それでも、キリング・ベクトル方程式を直接書き下して解くことには意義がある。4つのお馴染みのキリング・ベクトル場
:<math> \partial_t, \; \; \partial_y, \; \; \partial_z, \; \; -z \, \partial_y + y \, \partial_z </math>
(時間推移、加速方向と直交する空間移動、及び加速方向と直交する空間内回転) の他に6つのキリング・ベクトル場
:<math> \exp(\pm t) \, \left( \frac{y}{x} \, \partial_t \pm \left( y \, \partial_x - x \, \partial_y \right) \right) </math>
:<math> \exp(\pm t) \, \left( \frac{z}{x} \, \partial_t \pm \left( z \, \partial_x - x \, \partial_z \right) \right) </math>
:<math> \exp(\pm t) \, \left( \frac{1}{x} \, \partial_t \pm \partial_x \right) </math>
(ただし符号は、正か負かで統一が取られる) が存在する。それが標準的生成元とどう関係するかは演習問題としておくが、ここでは、デカルト座標表示における <math>\partial_T</math> と等価な生成元を得ることができる必要があるとはいえ、リンドラー・ウェッジは、この推移では不変とならないことは明らかであることを指摘しておきたい。どうしてそのようなことが起こるのか? その答えは、微分可能多様体上の偏微分微分方程式系で定義されるものならなんであってもそうなのだが、キリング方程式は、一般には局所的に定義された解を有するものの、そうした解は大域的に存在するとは限らないためなのである。つまり、群パラメータに適宜の制限を加えることで、キリング・フローは相応の近傍内でなら常に定義可能であるものの、そのフローは、大域的に矛盾なく定義できないことがあるりうるのである。一般的な微分可能多様体の研究時にも、同じ問題が発生するから、これは、ローレンツ多様体そのものとは無関係である。


[[訳註:
キリング・ベクトル場 (X) の定義には、等価なのものが幾つかあるが ("Killing vector field - Wikipedia, the free encyclopedia" を参照)、そのうちの一つは、計量テンソル g のその方向へのリー微分が消えると云うものである:

\mathcal{L}_X g = 0

これから、計量テンソル係数に陽に含まれない座標 t, y, z 方向の接ベクトル \partial_t, \partial_y, \partial_z はキリング・ベクトル場をなすことが分かる。

また、キリング・ベクトル場の別の定義としては、(局所) 座標を使った

\nabla_\mu X_\nu + \nabla_\nu X_\mu = 0<br />

と云うものもあるが、上記引用中のベクトル場で -z \, \partial_y + y \, \partial_z 以下については、共変化して添字を下げてから、上記の式に当て嵌めると、それらがキリング・ベクトル場をなすことが容易に確認できる。
]]


Notions of distance
距離の概念

One of the many valuable lessons to be learned from a study of the Rindler chart is that there are in fact several distinct (but reasonable) notions of distance which can be used by the Rindler observers.
リンドラー座標表示の研究からは多くの有用な知見が得られるが、その内の一つは、リンドラー型観測者にとって、幾つかの異なる (しかし、それぞれにもっともな) 距離の概念が実際に存在して利用可能であると云うことである。


The first is the one we have tacitly employed above: the induced Riemannian metric on the spatial hyperslices <math>t=t_0</math>. We will call this the ruler distance since it corresponds to this induced Riemannian metric, but its operational meaning might not be immediately apparent.
そのうちの最初のものは、上述の記載中で我々が暗黙のうちに用いたものであって、空間的超切片 <math>t=t_0</math> 上に誘導されたリーマン計量である。リーマン計量から誘導されたものに対応しているから、これを「定規的距離」(ruler distance) と呼ぶことにするが、その操作的な意味は、直ちに明らかになるようなものではない。

[[訳註:わざわざ "it corresponds to" と言っているのが若干不審。]]


Operational meaning of the <span style=radar distance between two Rindler observers (navy blue vertical lines). The Rindler horizon is shown at left (red vertical line). The world line of the radar pulse is also depicted, together with the (properly scaled) light cones at events A, B, C.
2人のリンドラー型観測者 (ネービーブルーの垂直線) 間の「レーダー距離」の操作的な意味。リンドラー地平は、左側に描かれている (赤い垂直線)。レーダーパルスの世界線も、事象 A, B, C での (縮尺の正しい) 光錐と共に描かれている。" />

Operational meaning of the radar distance between two Rindler observers (navy blue vertical lines). The Rindler horizon is shown at left (red vertical line). The world line of the radar pulse is also depicted, together with the (properly scaled) light cones at events A, B, C.
2人のリンドラー型観測者 (ネービーブルーの垂直線) 間の「レーダー距離」の操作的な意味。リンドラー地平は、左側に描かれている (赤い垂直線)。レーダーパルスの世界線も、事象 A, B, C での (縮尺の正しい) 光錐と共に描かれている。

From the standpoint of physical measurement, a more natural notion of distance between two world lines is the radar distance. This is computed by sending a null geodesic from the world line of our observer (event A) to the world line of some small object, whereupon it is reflected (event B) and returns to the observer (event C). The radar distance is then obtained by dividing the round trip travel time, as measured by an ideal clock carried by our observer.
物理学的な測定の見地から言うなら、2本の世界線間の距離としてヨリ自然なのは、「レーダー距離」(radar distance) である。それには、観測者の世界線から或る小さい対象の世界線へとゼロ測地線を発信し (事象A)、そこで反射され (事象B)、観測者に戻ってくる (事象C) までのことから算出される。レーダー距離は、観測者が保持する理想的時計により測定された往復時間を分割することで得られる。

[[訳註:"divide" には "divide ... by ..." と云う形で「除算する」とう意味があるが、ここでは、「除算」とするのはヤヤ微妙。]]


(In Minkowski spacetime, fortunately, we can ignore the possibility of multiple null geodesic paths between two world lines, but in cosmological models and other applications things are not so simple! We should also caution against assuming that this notion of distance between two observers gives a notion which is symmetric under interchanging the observers!)
(幸いなことに、ミンコフスキー時空では、2本の世界線間に多数のゼロ測地線が存在する可能性は無視できるが、宇宙論的なモデルやその他の応用では、物事はそれほど単純ではない! この2観測者間の距離概念に就いても、観測者間の交換に対して対称であると決めかからないよう注意すべきである!)


In particular, let us consider a pair of Rindler observers with coordinates <math>x=x_0, \; y=0, \; z=0</math> and <math>x=x_0 + h, \; y=0, \; z = 0</math> respectively. (Note that the first of these, the trailing observer, is accelerating a bit harder, in order to keep up with the leading observer). Setting <math>dy = dz = 0</math> in the Rindler line element, we readily obtain the equation of null geodesics moving in the direction of acceleration:
:<math> t-t_0 = \log(x/x_0) </math>
Therefore, the radar distance between these two observers is given by
:<math> x_0 \, \log \left(1 + \frac{h}{x_0} \right) = h - \frac{h^2}{2 \, x_0} + O \left( h^3 \right) </math>
This is a bit smaller than the ruler distance, but for nearby observers the discrepancy is negligible.
具体的に、座標がそれぞれ <math>x=x_0, \; y=0, \; z=0</math> 及び <math>x=x_0 + h, \; y=0, \; z = 0</math> である一対のリンドラー型観測者を考えてみよう (一人目の観測者である追尾者の方は、先行者に遅れないために、若干強く加速していることに留意されたい)。 リンドラー線素において <math>dy = dz = 0</math> とすると、簡単に加速方向に運動するゼロ測地線の方程式:
:<math> t-t_0 = \log(x/x_0) </math>
が得られる。従って、これら2人の観測者間のレーダー距離は
:<math> x_0 \, \log \left(1 + \frac{h}{x_0} \right) = h - \frac{h^2}{2 \, x_0} + O \left( h^3 \right) </math>
で与えられる。これは、定規的距離より僅かに短いが、近接している観測者間の場合は、そのズレは無視できる。


A third possible notion of distance is this: our observer measures the angle subtended by a unit disk placed on some object (not a point object!), as it appears from his location. We call this the optical diameter distance. Because of the simple character of null geodesics in Minkowski spacetime, we can readily determine the optical distance between our pair of Rindler observers (aligned with the direction of acceleration). From a sketch it should be plausible that the optical diameter distance scales like <math>h+ \frac{1}{x_0} + O \left( h^3 \right)</math>. Therefore, in the case of a trailing observer estimating distance to a leading observer (the case <math>h>0</math>), the optical distance is a bit larger than the ruler distance, which is a bit larger than the radar distance. The reader should now take a moment to consider the case of a leading observer estimating distance to a trailing observer!
3番目の距離の概念としてにありうるのは、観測者が、その位置から見えるある対象上に置かれた単位円盤 (質点ではない!) によって張られる角度を測定することによるものである。この距離概念は「光学直径距離」と呼ばれる。ミンコフスキー時空において、ゼロ測地線の性格は単純であるから、(加速方向に整列した) 一対のリンドラー型観測者間の光学的距離を決定するのは容易にできる。略算すると、光学直径距離は <math>h+ \frac{1}{x_0} + O \left( h^3 \right)</math> 程度である筈だと考えられる。従って、追尾観測者から先行観測者への距離を測る場合 (<math>h>0</math> の場合)、光学的距離は、レーダー距離より僅かに長い定規的距離より更に僅かに長くなる。先行観測者が追尾観測者迄の距離を測る場合に就いては、読者が考察していただきたい。

[[訳註:"(not a point object!)" は直前の "some object" ではなく "a unit disk" に係っていると解釈して訳してあるが、我ながら微妙なところだと思える。]]
[[訳註:私 (ゑ) には、「光学的直径距離」の 式 <math>h+ \frac{1}{x_0} + O \left( h^3 \right) を導き出すことは出来なかった。原文の意図を理解していないのかもしれないが、私が簡単に計算すると <math>h+ \frac{h^2}{x_0} + O \left( h^3 \right) になってしまった...]]

There are other notions of distance, but the main point is clear: while the values of these various notions will in general disagree for a given pair of Rindler observers, they all agree that every pair of Rindler observers maintains constant distance. The fact that very nearby Rindler observers are mutually stationary follows from the fact, noted above, that the expansion tensor of the Rindler congruence vanishes identically. However, we have shown here that in various senses, this rigidity property holds at larger scales. This is truly a remarkable rigidity property, given the well-known fact that in relativistic physics, no rod can be accelerated rigidly (and no disk can be spun up rigidly) --- at least, not without sustaining inhomogeneous stresses. The easiest way to see this is to observe that in Newtonian physics, if we "kick" a rigid body, all elements of matter in the body will immediately change their state of motion. This is of course incompatible with the relativistic principle that no information having any physical effect can be transmitted faster than the speed of light.
他にも距離の概念が存在するが、その要点は明らかであって、それは、こうした様ざまな概念による値は、所与の対のリンドラー型観測者に対して、概ね一致しないものの、「如何なるリンドラー型観測者の対も、一定の距離を維持する」と云うことでは一致することである。「非常に近接した」リンドラー型観測者同士は互いに静止していると云う事実は、リンドラー線叢の膨張テンソルが恒等的に 0 になると云う前述の事実に由来する。しかし、上記のように、この剛体性は、様ざまな意味で、ヨリ大きい尺度でも成立する。相対論物理にあっては ---少なくとも、不均一な応力を維持しない限り---「剛体的に加速できる棒は存在しない」(そして「剛体的に回転数を上げられる円盤は存在しない」)と云う周知の事実を考えるならば、この剛体性は真に驚くべきものである。このことは、ニュートン物理においては、我々が剛体を「蹴飛ばす」なら、剛体内の全ての物質要素が瞬時にその運動状態を変えることを考えてみると最も簡単に理解できる。これは、勿論、何らかの物理効果を有する情報は、如何なるものであっても光速度を越えては伝搬しえないと云う相対論の原理に矛盾する。


It follows that if a rod is accelerated by some external force applied anywhere along its length, the elements of matter in various different places in the rod cannot all feel the same magnitude of acceleration if the rod is not to extend without bound and ultimately break. In other words, an accelerated rod which does not break must sustain stresses which vary along its length. Furthermore, in any thought experiment with time varying forces, whether we "kick" an object or try to accelerate it gradually, we cannot avoid the problem of avoiding mechanical models which are inconsistent with relativistic kinematics (because distant parts of the body respond too quickly to an applied force).
この結果、棒が、その長手方向の何処ででもよいが、何らかの外力を受けて加速されたとすると、棒が無制限に伸びる (そして遂には破断してしまう) と云うのでないのなら、棒内の様ざまな場所にある物質要素の全てが同一の加速度を受けることをはありえない。換言すれば、加速している棒が破断しないためには、その長手方向で変化する応力を維持する必要がある。更に、物体を「蹴飛ばす」にしろ、物体を徐々に加速するようにしてみるにしろ、時間変動する力に就いての如何なる思考実験においても、(外力に対する物体内の別々の部分の反応が速すぎるために) 相対論的運動学と矛盾する力学モデルを排除すると云う問題が不可避となる。


Returning to the question of the operational significance of the ruler distance, we see that this should be the distance which our observers will obtain should they very slowly pass from hand to hand a small ruler which is repeatedly set end to end. But justifying this interpretation in detail would require some kind of material model.
定規的距離の操作的の意味と云う問題に帰るなら、それは、観測者達が短い定規を非常にゆっくりと手渡ししていって、繰り返し段々に測っていくことで得られる距離とすべきものだと云うことが分かる。しかし、この解釈を細かいところまで正当化するためには、或る種の物質的モデルが必要となろう。


See also
以下も参照

  • Bell's spaceship paradox, for a sometimes controversial subject often studied using Rindler coordinates. 「ベルの宇宙船のパラドクス」: 論争の主題となることがある。リンドラー座標を使って検討されることが多い。
  • Born coordinates, for another important coordinate system adapted to the motion of certain accelerated observers in Minkowski spacetime. 「ボルン座標系」: ミンコフスキー時空において加速される観測者の運動に適用される、リンドラー座標とは別の重要な座標系。
  • Congruence (general relativity)「(一般相対論における) 線叢」
  • Ehrenfest paradox, for a sometimes controversial subject often studied using Born coordinates. 「エーレンフェストのパラドクス」: 論争の主題となることがある。ボルン座標を使って検討されることが多い。
  • Frame fields in general relativity「一般相対論における基準場」
  • General relativity resources「一般相対論資料」
  • Raychaudhuri equation「レイショードゥリ (Raychaudhuri) 方程式」
  • Unruh effect「アンルー (Unruh) 効果」


References
参考文献

    Useful background 有用な背景知識:
  • Boothby, William M. (1986). An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. New York: Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.  See Chapter 4 for background concerning vector fields on smooth manifolds. 微分可能多様体のベクトル場に関する背景知識に就いて第4章を参照されたい。
  • Frankel, Theodore (1979). Gravitational Curvature: an Introduction to Einstein's Theory. San Francisco : W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1062-5.  See Chapter 8 for a derivation of the Fermat metric. フェルマー計量の微分に就いて第8章を参照されたい。
    Rindler coordinates リンドラー座標:
  • Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.  See Section 6.6. 第6章第6節を参照されたい。
  • Rindler, Wolfgang (2001). Relativity: Special, General and Cosmological. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0. 
    Rindler horizon リンドラー地平
  • Jacobson, Ted; and Parenti, Renaud (2003). "Horizon Entropy". Found. Phys. 33: 323-348. doi:10.1023/A:1023785123428.  eprint version
  • Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; and Visser, Matt. Analogue Gravity. Living Reviews in Relativity. Retrieved on 6 May 2006.

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[be minded + to 不定詞] に就いて: 我那覇問題仲裁判断翻訳に関連して

[nouse: 我那覇和樹対日本プロフェッショナルフットボールリーグ仲裁判断 (CAS 2008/A/1452) 結論部訳文] (2008年5月30日 [金]) での「訳註」に補足しておく。

[be minded + to 不定詞] は「[to 不定詞] したい」、「[to 不定詞] する意向である」と云う意味であることは、[nouse: 我那覇和樹対日本プロフェッショナルフットボールリーグ仲裁判断 (CAS 2008/A/1452) 結論部訳文] であることは「訳註」で書いた通りだが、その根拠を明示しておかなかったことが気になりだしたためである。

実際、例えば、私が現在事実上常用しているたった一つの英和辞典である「小学館プログレッシブ英和中辞典第3版」(現在「第4版」になっているが、これに就いては未確認)では、形容詞 "minded" の語義 (p.1203) としては「通例複合語」と云うラベルのもとに「1.<人が>...の心[気質]をもった」と「2.<人が>...に興味[関心]をいだいている」と云う語義しか与えられていなかったりしているのである。

勿論、こうした例ばかりではなく、研究社の「新編英和活用大辞典」では "minded" の項 (p.1576) に 「He would help us if he were minded to do so. 彼にその気があるなら私たちを助けてくれるだろうに」と云う文例を掲げている。

しかし、「特殊辞典」でなくても、一般的な英語辞典に目を向けるなら

Concise Oxford Dictionary (1999) 10th ed. p.906
mind
5. (be minded) be inclined to do a particular thing.

Collins COBUILD English Dictionary for Advanced Learners (2001) 3rd ed. p.981
minded
If someone is minded to do something, they want or intend to do it. [FORMAL]
The Home Office said at that time that it was minded to reject his application for political asylum...
If the Americans were so minded then they could take sanctions against them.

Concise Oxford Dictionary (COD) の語釈は "be minded" の形では「ある具体的な何かをするつもりである」と云うことだし、COBUILD の方は「誰かが何かを "(is) minded to do" とは、その何かをすることを欲する又はするつもりであるということである」と云う意味である。ちなみに COBUILD の2つの例文を訳すと「当事内務省は、彼の政治亡命申請を拒否する意向であると表明していた」と「もしアメリカ側にそう云う積もりがあるというのだったとしたら、それに対する制裁を受けることになりもしようが」となる。

なお、COD も COBUILD も手元にあったもので調べたのだが、現在 COD は第11版、COBUILD は第5版の筈。


ではオンライン辞典ではどうか。

"Online Dictionary, Encyclopedia and Thesaurus. Free access." で "minded" を調べると:

minded
adj.
1. Disposed; inclined: I am not minded to answer any of your questions.

この語釈も「...したい」と云うことであるし、また例文を訳すなら「私は、君の質問には一切答える積もりはない」となる。


聖書からも引用できる。

Then Joseph her husband, being a just man, and not willing to make her a public example, was minded to put her away privily.
--Matthew 1:19 (King James Version)

これは、婚約中のマリアが、自分と関りなく妊娠したことを知ったヨセフが密かに彼女を離縁「しようと思った」と言う箇所である。「新共同訳」及び「文語訳」では、それぞれ次のようになっている。

夫ヨセフは正しい人であったので、マリアのことを表ざたにすることを望まず、ひそかに縁を切ろうと決心した。
--新共同訳「マタイによる福音書」第1章第19節

夫ヨセフは正しき人にて之を公然(おほやけ)にするを好まず、私(ひそか)に離縁せんと思ふ。
--文語訳「マタイ傅」第1章第19節


まぁ、これくらいでいいだろう。

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ロシア語で「秋」(と「冬」、「春」、「夏」)

本日昼過ぎ (2008/06/05 13:13:14)、キーフレーズ [ロシア語で秋] で、このサイトを訪問された方がいらしたようだ。

同様なケースで、前にも書いたことがある筈だが、こう云う場合は、日本語版のウィキペディアで、問題の言葉 (今は []) の項目を開いて (なければ仕方がないが、この場合はある)、そのページ左側にある [他の言語] コラム中から、ターゲットとなる言語名 (ロシア語ならば "Русский") をクリックすると、対応ページ、つまり、今の場合はロシア語ウィキペディア中の、"Осень" に辿り着く。

このようにすれば、大抵の場合は、その項目名として、求める言葉が得られる筈。[秋] の場合も、例外ではなくて "осень" (女性名詞) が求めるものである。その証拠に、その内容を読んでみると、次のようになっている。

Осень — одно из четырёх времён года между летом и зимой. Состоит из трёх месяцев: в северном полушарии — сентября, октября и ноября, в южном — марта, апреля и мая.

В отличие от календарной, астрономическая осень наступает позже — во время осеннего равноденствия 22 или 23 сентября (в северном полушарии) или 20 или 21 марта (в южном полушарии) и продолжается до зимнего солнцестояния (21 или 22 декабря в северном полушарии, 20 или 21 июня в южном полушарии).
--Осень

秋 - 一年の四季中、夏と冬との間の季節。北半球では9月、10月、11月、南半球では3月、4月、5月の3か月からなる。

暦の上の場合とは異なり、天文学的には、秋の始まりは遅くなり、(北半球では) 9月22日又は23日、あるいは (南半球では) 3月20日又は21日の昼夜平分日に秋となり、冬至 (北半球では12月21日又は22日、南半球では6月20日又は21日) まで続く。

記載が簡単過ぎて、「季節」の文化的意味合いが不明だが、「秋」の説明以外の何ものでもあるまい。

ちなみに、ロシア語版ウィキペディアのこのページには、四季が列挙されていて、次のようになっている。

Зима | Весна | Лето | Осень

夫々、順に「冬」(女性)、「春」(女性)、「夏」(中性)、「秋」である。

余談。クアーズ (Coors) 社から "ZIMA" と云うアルコール飲料が販売されているが、これはロシア語の зима を踏まえた商標とのこと (英文版ウィキペディア "Zima" の項参照)。

ネット上で訳語を調べる同様な手段で、ウィクショナリー日本語版の該当項目を見ると言うものが有るが、[] の場合、現時点ではロシア語訳は記載されていないようだ。


英語を軸にして調べると云う手段もある。その場合、取り敢えず便利であるのが "Webster's Online Dictionary" である。この場合は、検索フォームに、例えば「秋」と入力して、"Non-English" 指定で検索すると、英訳語が現れる (元の日本語よっては現れないこともあるだろうが、その場合は諦める) から、その意味が適切であるならクリックして、該当ページを開けば、その中にターゲット言語への訳語が記載されている可能性が大きい。実際、「秋」の場合は、"Autumn" のページ中に "осень" が見いだせる。("Fall" のページ中にも "осень" が採録されているが "fall" 自体の意味が多岐に亘るので、その訳語も多種類になってしまっている。)

他にも「手管」はあるのだが、私の拙い説明で分かるような人は、もともと知っているか、あるいは私なぞが説明しなくても、自得できる人だろうから、多弁は弄すまい。

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