「三角関数の幾つかの2次無理式の積分 (2017年10月31日 [火]」補足その1

[三角関数の幾つかの2次無理式の積分">] での記号の他に、次の記号を導入する ( は非負整数)。 以下、文脈から明らかなときは 及び のどちらも とのみ記するなど、適宜、変数の表示を省略することを、おことわりしておく。 自明な次の等式が成り立つ。 また、 なら、 なら が成り立つ。 まとめると、 のとき のとき また だから、 と との間に、次の基本的な関係式が成立する。 当然、次の逆の関係式が成り立つ。 の時 の時 また [三角関数の幾つかの2次無理式の積分] (2017年10月31日[火]) ) で指摘したように である。 以下、前記記事で求めなかった 及び を計算していこう。 まず、前記記事と同様な手法で、 を計算すると、次のようになる。 実は、これには、簡単な別解がある。つまり、 を で微分すると、 だから では次のようになる。 これも を使えば、別解 が得られる...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

三角関数の幾つかの2次無理式の積分

記事になるネタがないので、最近行った、幾つかの三角関数の無理式の積分計算をそのままアップする。 初めに、記号を決めておこう。 ここで、 と とが、それぞれ Legendre の第1種楕円積分と第2種楕円積分であるのは周知のとおり。そして、自明ながら、次の式が成り立っていることを注意しておく。 以下では、 , , 及び について、 の場合の計算を行う。 下記の計算で用いる主な関係式は,次の通りの簡単なものだ。 では、順次計算していこう。 しかるに だから、まとめると となる。 結局 が得られる。

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

メモ:岩波全書[数学公式 III] p.48 におけるヤコビのテータ関数の虚変換公式の誤り

本稿の草稿段階で、用語「Jacobi の虚変換」と「Jacobi の虚数変換」のどちらがヨリ広く通用しているのだろうと、google 検索してみたら、ウィキペディアに「ヤコビの虚数変換式」と云う項目が立てられていて、そこで、本稿の主題である [数学公式III] の誤りのことが指摘されていることに気が付いた (以前にも、テータ関数に就いてネットで調べたことがあるのは、下記にある通りだが、その時は見落としたらしい)。従って、本稿を書く意味はホボ無くなっている。しかし、新たに記事のネタを考えるのもメンドーなので、今までに書いた草稿を少しくドレッシングして投稿することにする。 更に、いきなり話を混線させるようなことをして申し訣ないが、[数学公式III] での誤りとは別に、ウィキペディア「ヤコビの虚数変換式」の第2の式 (つまり に就いての式) の右辺冒頭のマイナス符号は不要である。ウィキペディア ...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

"Rolling Stones" 命名の由来について推測したことがあるがハズレだったようだ。

いつのことだったか、「Rolling Stones って、なんで、Rolling Stones って言うんだろう? 」って考えたことがある。 勿論、それまでも "Rolling Stones" は、素直に、諺の "Rolling stone gathers no moss." が典拠なんだろうな、とは考えていた。しかし、「ロック」と「諺」とはそぐわない。この「そぐわなさ」は、うまく説明できないが、「ロック」は、少なくとも表面上は「処世知」と対立するが (日本古語の「傾(かぶ)く」を連想させる。ちなみに、rock は、「体を前後左右に揺り動かす」)、「諺」は「処世知」をスローガン化したものである、と、いったところかもしれない (「そぐわなさ」を「ロック」にすることはできるだろうが、また、「諺」にさえできるかもしれないが、「表層性の深い意味合い」と云った...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

今更ながら「ファインディング・ニモ」

以前、頭の中をかすめただけの思い付きを書き始めたのだが、「芯」になるものが探し出せず、話がまとまらなかった。しかし、ほかの「ネタ」で話を組み立てるのも気疎いので、そのまま発表する。 "Finding Nemo" (邦題「ファインディング・ニモ」) と云う「ディズニー映画 (製作会社:ピクサー・アニメーション・スタジオ )」があって、私は未見である。ただ、このアニメ映画の日本公開時 (2003年12月)、私の居宅には TV 受像機がまだあって、そこで流れされたキャンペーンの情報の切れ端は、私の記憶の中に残っている。 もっとも、私が承知しているのは、「人間にさらわれた『クマノミの男の子』(名前は『二モ (Nemo)』) を、お父さんクマノミ (名前は「マーリン (Marlin)」) が探しに行く」と云う、極めて概括的なことでしかない。 内容を知らない映画について、いきなり半...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

taxi の語源。「タクシー」に付いているから「タクシーメーター」と呼ぶではなく、「タクシーメーター」が付いているから「タクシー」と呼ぶのだと云う話。

以前から、taxi と云う英単語を見るたびに「変わった綴りだな」と云う思いが頭をよぎっていた。ただ、一瞬して忘れてしまう。 タクシーなど、年に一度、8月に、父の墓のある北関東の山奥に最寄駅から向かう時に利用するだけである。存命だった父に連れられて訪れた昔は、曲がりなりにもバスが、地元民でない人間にも利用するに足る頻度で通っていたのだが、現在では申し訳程度に運行されているだけだ。もっとも、当時は、道路が十分整備されていなくて、幅員に余裕がなく、道路の片方に迫った斜面から伸びた木の枝をこすりぬけながら走るバスが、道路逆側で誘う崖に転がり落ちるのではないかと、子供心にヒヤヒヤしたものだった。 話がズレた。兎に角、私は滅多にタクシーに乗車しない。だからと言っては悪かろうが、事実として "TAXI" への興味が持続しないので、そのまま、「気になる」が膨らむことはなかった。 しかし...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

本ブログ記事[等角速度円運動の旅行者における「双子のパラドクス」(2008年3月24日 [月])] 補足。あるいは、アインシュタインの「奇妙な結論」

本ブログの記事、[等角速度円運動の旅行者における「双子のパラドクス」] (2008年3月24日 [月]) に於いて、私は、表題その通りに、「等角速度円運動の旅行者」における「双子のパラドクス」を論じた。 実は、この時、私は重大な失態をしていた。それは、『等角速度円運動の旅行者における「双子のパラドクス」』の現象そのもの (当時としては、正確には、「現象の可能性」だが) は、「円」のみならず「一般の閉曲線上を等速度で移動させられる時計」の場合に就いて、アインシュタインが、"Zur Elektrodynamik bewegter Körper. In: Annalen der Physik und Chemie. 17, 1905, S.891–921" (「移動中の物体の電気力学」) で指摘していたのを言及しなかったのだ (ちなみに "bewegt" ...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

[メモ:2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 [天声人語] 中の「ゲーテの言葉」] (2011年6月10日[金]) への補足。オリバー・クロムウェル(Oliver Cromwell) の言葉へのリードリヒ・アウグスト・フォン・ハイエク (Friedrich August von Hayek) の言及

経済学者 (と云う一言で片づけて良いのか私には判断が付かない。ただし、世間的な通りが良い言い方をするなら所謂「ノーベル経済学賞」1974年受賞者) フリードリヒ・アウグスト・フォン・ハイエク (Friedrich August von Hayek) に、"The Constitution of liberty" (邦訳名「自由の条件」) と云う著作がある。その第1部第3章 THE COMMON SENSE OF PROGRESS のエピグラフとして、次の一文が銘されている。 Man never mounts higher than when he knows not where he is going. —Oliver Cromwell 人と云うものは、何処まで登るのか分かっていない時にこそ、一番の高みに到達する。 -オリバー・クロムウェル 本ブログの『メモ:2011年...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

メモ: 所謂「モンティ・ホール問題 (Monty Hall problem)」に就いて

以前、図書館から「放浪の天才数学者エルデシュ」と云う本を借りて読んだ時、彼が、所謂「モンティ・ホール問題 (Monty Hall problem)」に引っかかったと云うエピソードが紹介されていて (その後、文庫版を購入した。文庫版 /*草思社文庫 ISBN978-4-7942-1854-4*/ では第6章「はずれ」に書かれている)、その「問題」に就いて無知であった私は、ザッとネットで調べたことがある。 有名な問題らしく、ウィキペディアに項目が立てられていた (「モンティ・ホール問題」)。それに対する印象は、「説明がピンとこない」と云うものだった。実は、「放浪の天才数学者エルデシュ」にも解説があって、それも読んでいた訣だが、キツネにつままれた気分だった。しかし、「読んでいて理解できない・腑に落ちない」と云うことは、私のように超絶的に頭の悪い人間にはデフォルトで発生する現象なので、そうした場合...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

[メモ:2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 [天声人語] 中の「ゲーテの言葉」] (2011年6月10日[金])の訂正

本ブログの記事 [メモ:2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 [天声人語] 中の「ゲーテの言葉」] (2011年6月10日[金])で、私は、こう書いた。 日付が変わってしまったので、昨日の話になるが、先程、1日遅れでたまたま手にした「2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊 (東京本社13版)」を流し読みした所、[天声人語] がこう始まっていた (現時点では、同内容の物がウェブ上の [asahi.com(朝日新聞社):天声人語 2011年6月8日(水)] で見ることができる) ([ゑ]引用時補足:現在ではリンクが切れている)。 〈行き先を知らずして、遠くまで行けるものではない〉。ゲーテの言葉である。目的地が定まらないと足取りが重くなる。そんな意味だろう。逆に、確かな目標があれば急坂や回り道をしのぎ、転んでも起き上がり、大きな事を成せる --2011年6月8日 (水曜) 朝日新聞朝刊...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

岩波書店「位相解析の基礎」 [延長定理] (pp.59-60) の証明における初歩的ミス

自分の疎漏な知識を補強するために測度論や積分論の基礎に就いて書かれた本を拾い読みすることがある。その時に読む本は大体決まっているのだが、岩波書店の「位相解析の基礎」(1960年。吉田耕作・河田敬義・岩村聯) は、その中に入っていない。 それでも、他の本を読んでいて釈然としないときは、手がかりを求めて手を出すことがある。しかし、「位相解析の基礎」の第1編第4章 20.8 の [延長定理] (pp.59-60) の証明を読んで、少し残念だった。初歩的なミスをしているのだ。 [延長定理] は、集合 の冪集合 の部分集合の内、一定の条件 (「位相解析の基礎」p.52) を満たすものである「集合体」 (つまり「有限加法族」) 上の Jordan 式測度 が、 から生成される最小の Borel 集合体 上に延長される必要十分条件として の 上での可算加法性 ならば であること を主張する。 必要なこと...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

「高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵」補足 (「検算」篇)

本ブログの記事 [高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵] (2016年11月30日 [水]) では結果だけを書いたので、この記事では、その「検算」をしておく。 つまり、4次方程式 の4つの根 に対して の3つを根とし、主項係数が 1 の3次方程式が であることを示すことにする。 まず記号 を導入する。 これらの記号を用いて、改めて本稿の目的を述べれば、それは3次式 が に一致することを示すことにある。 別の言い方をするなら を示せばよい。 我々が求めようとしているのは を根とする3次方程式である訣だが、それを構成する前に、それぞれを で割った、 に就いて、若干検討しておく。そこで、まず、根 の置換が に及ぼす作用を見ることにする。 を2個づつに分けて、それぞれから作った和同士を掛け合わせて得られる積は、 , , の3通りしかないから、...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

高木貞治 [代数学講義改訂新版] p.194 での4次方程式の3次分解方程式の根の表記の瑕疵

[高木貞治]著 [代数学講義改訂新版] (1965年 共立出版 ISBN 978-4-320-01000-0) p.194 では、4次方程式 と、その根 に就いて、次のような記載がある。 四次方程式 を解くことは, 連立二元二次方程式 から を求めるのと同じである. この場合 (3) は すなわち になる. これは を根とする三次分解方程式である。 [以下、引用者 (ゑ) 補足] ただし、ここで (3) とあるのは、[代数学講義改訂新版] pp.192-193 に見られるように、連立2元2次方程式 から導かれる2次式 が2つの1次式の積に分解されるための条件式 を指す。 [引用者補足終了。] しかし、上記引用部分の最後の箇所は間違っている。単純なケアレスミスだと思うが、「三次分解方程式の根」のそれぞれは、係数 を乗じて としなければならない。

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

メモ: H.フランダース「微分形式の理論」第X章 問題7「サンヴナンの適合条件」(p.234) の前提に就いて。付け足し: 第X章 問題2 及び 問題3 (p.233) に就いての個人的述懐

以前、H.フランダース著「微分形式の理論」(1967年岩波書店刊。訳: 岩堀長慶) を通読したことがある。 著者自身が [まえがき] で認めているように、本書は、「微分形式」と云う「非常に偉大な力をもった新しい道具を, 工学者や物理学者のお役に立て」(p.vi) ることを主目的としている (「本書の材料を数学科の大学院学生に, 現代微分幾何学への入門として推薦することを躊躇はしない」(p.vii)とも豪語しているが・・・)。 原著発行 (1963年) から、半世紀以上経過しているため、的外れな評価になる可能性が高いことを認めつつも、それを棚上げして言うなら、本書の利点と、読んでいて感じる「歯がゆさ」とは、両方とも、この点に集約されるといってよいだろう。 ただし、「無いものねだり」を諦めるなら、微分形式の具体的利用の見本帖として充分に「お役に立つ」。 理論物理・数学の著作ではありがちなことだ...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

フェルミ、ハイゼンベルク、パウリ3人のカイラリティ

数年前のことになると思うが (2012年のことだったらしい)、近くの図書館で、「アインシュタインの反乱と量子コンピュータ」(発行年:2009年 著者:佐藤文隆 発行:京都大学学術出版会) と云う本を借りて通読したことがある。 「残念! 」と云う読後感だけが残っている (私としては、これは非常に珍しい「症例」)。たしか、著者自身も、内容について弁明めいたものを書いていたようだ。しかし、それだけなら、「『残念感』を味わいたい方には最適」と言う訣にもいかず、ここで取り上げるには及ばない。 しかし、ある一点で、私の記憶の底にコビリついたままのものがあるので、それを書いておく。まぁ、私自身のための厄落としである。 この本の第36ページに、3人の物理学者 (「マスコミ」風に言うと「天才物理学者」) の、所謂「スリーショット」写真が掲げられている。そのキャプションに曰く 1927年にイタリア・アルプスの...

» 続きを読む

| | コメント (0) | トラックバック (0)
|

«高木貞治 [代数学講義改訂新版] pp.276-277 に於ける叙述・記号の混乱